1、14.2 用数学归纳法证明不等式举例预习案一、预习目标及范围1会用数学归纳法证明简单的不等式2会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件二、预习要点教材整理 用数学归纳法证明不等式1贝努利(Bernoulli)不等式如果 x 是实数，且 x1， x0， n 为大于 1 的自然数，那么有(1 x)n .2在运用数学归纳法证 明不等式时，由 n k 成立，推导 n k1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行三、预习检测1.用数学归纳法证明“2 n n21 对于 n n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A2 B3 C5 D
2、62用数学归纳法证明 1 1)时，第一步证明不等式12 13 12n 1_成立3试证明：1 1， nN )，求证： S2n1 (n2， nN ).12 13 1n n2【精彩点拨】 先求 Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意 Sn表示前 n 项的和( n1)，首先验证 n2；然后证明归纳递推再练一题1若在本例中，条件变为“设 f(n)1 (nN )，由 f(1)1 ， f(3)12 13 1n 121， f(7) ， f(15)2，” .试问： f(2n1)与 大小关系如何？试猜想并加以证明32 n22例 2 证明：2 n2 n2(nN )【精彩点拨】 验 证 n 1， 2，
3、3时不 等 式 成 立 假 设 n k成 立 ，推 证 n k 1 n k 1成 立 ，结 论 得 证再练一题2用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式 (113)(1 15) (1 12n 1)均成立2n 12题型二、不等式中的探索、猜想、证明例 3 若不等式 对一切正整数 n 都成立，求正整数1n 1 1n 2 1n 3 13n 1a24a 的最大值，并证明你的结论【精彩点拨】 先通过 n 取值 计算，求出 a 的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便再练一题3设 an1 (nN )，是否存在 n 的整式 g(n)，使得等式12 13
4、1na1 a2 a3 an1 g(n)(an1)对大于 1的一切正整数 n 都成立？证明你的结论二、随堂检测1数学归纳法适用于证明的命题的类型是( )A已知结论B结论已知C直接证明比较困难D与正整数有关2用数学归纳法证明不等式 1 2 (n2， nN )时，第一步应123 133 1n3 1n验证不等式( )A1 2 B1 2123 12 123 133 13C1 2 D.1 2123 13 123 133 143用数学归纳法证不等式 1 成立，起始值至少取( )12 14 12n 1 127643A7 B8 C9 D104参考答案预习检测：1.【解析】 n 取 1,2,3,4 时不等式不成立
5、，起始值为 5.【答案】 C2.【解析】 因为 n1，所以第一步 n2，即证明 1 2 成立12 13【答案】 1 212 133.【证明】 (1)当 n1 时，不等式成立(2)假设 n k(k1， kN )时，不等式成立，即1 2 .12 13 1k k那么 n k1 时，(1 12 13 1k) 1k 12 k1k 1 2kk 1 1k 1 ()2 .k 1这就是说， n k1 时，不等式也成立根据(1)(2)可知不等式对 nN 成立随堂检测：1.【解析】 数学归纳法证明的是与正整数有关的命题故应选 D.【答案】 D2.【解析】 n02 时，首项为 1，末项为 .123【答案】 A3.【解析】 左边等比数列求和 Sn1 (12)n 1 122 ，1 (12)n 12764即 1 ， ，(12)n 127128 (12)n 1128 ，(12)n (12)7 5 n7， n 取 8，选 B.【答案】 B
