1、1课时作业(三十一) 第 31 讲 数列求和时间 /45 分钟 分值 /100 分基础热身1.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a4,a6是方程 x2-18x+p=0 的两根,则 S9= ( )A.9 B.81 C.5 D.452.设 Sn为等比数列 an的前 n 项和,若 a2-8a5=0,则 = ( )S8S4A. B. C.2 D.1712 17163.已知数列 an的通项公式是 an=(-1)n(3n-1),则 a1+a2+a10= ( )A.15 B.12 C.-12 D.-154.2018江西莲塘一中、临川二中联考 已知 f(x)= - +1,数列 an满足 an=f(0
2、)ex-12e12-x+f +f +f +f(1),则 a2017= ( )(1n) (2n) (n-1n)A.2018 B.2019C.2020 D.20215.2018宁夏银川一中模拟 已知 an是等差数列, a1=1,公差 d0, Sn为其前 n 项和,若a1,a2,a5成等比数列,则 S8= . 能力提升6.我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:现有一根金杖,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下一尺,重 4 斤,在细的一端截下一尺,重 2 斤,问依次每一尺各重多少斤?设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化
3、的,则金杖的重量为 ( )A.6 斤 B.10 斤C.12 斤 D.15 斤7.2019湖南师大附中月考 设正项等比数列 an的前 n 项和为 Sn,且 1024 的 n 的最小值为 . 14.(10 分)设公差不为零的等差数列 an的前 5 项和为 55,且 a2, ,a4-9 成等比数a6+a7列 .(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bn= ,数列 bn的前 n 项和为 Sn,求证: Sn1024, (4+2n)(n-1)2 4(1-2n-1)1-2当 n=8 时, T8=107+29+4=5861024 的 n 的最小值为 9.14.解:(1)设等差数列 an的公差为 d(d0),
4、则 解得 或 (舍去),5a1+542 d=55,( a1+5d+a1+6d)2=(a1+d)(a1+3d-9), a1=7,d=2 a1=11,d=0故数列 an的通项公式为 an=7+(n-1)2=2n+5.(2)证明:由 an=2n+5,得 bn= = = - ,1(an-6)(an-4) 1(2n-1)(2n+1)12 12n-1 12n+1所以 Sn= 1- + - + - = 1- .12 13 1315 12n-1 12n+1 12 12n+1 1215.解:(1)设数列 an的公比为 q(0q1),由 a2,2a3,a4+3 成等差数列,得 4a3=a2+a4+3,又 a2=4
5、,所以 16q=4+4q2+3,即 4q2-16q+7=0,解得 q= 或 q= (舍去),12 726故 an=a2qn-2=4 = ,(12)n-2(12)n-4即数列 an的通项公式为 an= .(12)n-4(2)bn= log2 =n2n-4,1an 16an则 Sn=1 +2 +3 +n2n-4,18 14 122Sn=1 +2 +31+(n-1)2n-4+n2n-3,14 12两式相减,得 -Sn= + + +2n-4-n2n-3,181412所以 Sn=- + + +2n-4 +n2n-3= +n2n-3=(n-1)2n-3+ .181412 -18+2n-31-2 1816.解:(1)当 n2 时, an=Sn-Sn-1=n;当 n=1 时, a1=S1=1,满足上式 .综上可知, an=n.(2)由(1)知 bn=n3n,则 Tn=131+232+333+n3n,3Tn=132+233+334+n3n+1,两式相减,得 -2Tn=3+32+33+3n-n3n+1= -n3n+1,3(1-3n)1-3T n= + - 3n+1.34 n214
