1、1课时作业(三十二) 第 32讲 数列的综合问题时间 /45分钟 分值 /100分基础热身1.2018银川 4月模拟 已知等差数列 an的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则 a3= ( )A.-10 B.-6C.-8 D.-42.2018河北衡水中学模拟 已知数列 是公差为 1的等差数列, Sn为 的前 n项和,an an若 S8=4S4,则 a10= ( )A. B.172 192C.10 D.123.2018河北衡水中学月考 已知数列 an是各项均为正数的等比数列,点 M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线 y=x-1上,则数列 an的前 n项和为 ( )A.2
2、n-2B.2n+1-2C.2n-1D.2n+1-14.张丘建算经卷上第 22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈 .”其意思为:现有一善于织布的女子,从第 2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第 1天织了 5尺布,现在一月(按 30天计算)共织 390尺布 .则该女子第 30天织布 ( )A.20尺 B.21尺 C.22尺 D.23尺5.在等比数列 an中,若 3a1, a5,2a3成等差数列,则 = . 12 a9+a10a7+a8能力提升6.2018成都七中零诊 在公比为 q的正项等比数列 an中, a4=4,则当 2a2+a6取得最小值时,log 2q= ( )A
3、. B.-14 142C. D.-18 187.2018江西景德镇一中二联 已知等比数列 an的前 n项和是 Sn,则下列说法一定正确的是 ( )A.若 a30,则 a20170,则 a20180,则 S20170D.若 a40,则 S201808.设实数 b,c,d成等差数列,且它们的和为 9,如果实数 a,b,c成公比不为 -1的等比数列,则 a+b+c的取值范围为 ( )A.(94,+ )B.(-,94)C. (3, + )94,3)D.(- ,-3) (-3,94)9.2018广东江门一模 记数列 的前 n项和为 Sn,若对任意正整数 n,都有 2Sn=an+1成an立,则 a2018
4、= ( )A.1 B.-1C.2 D.-210.2018山东威海二模 在数列 an中, an=2n-1,若一个 7行 8列的数表中,第 i行第 j列的元素为 cij=aiaj+ai+aj(i=1,2,7,j=1,2,8),则该数表中所有不相等的元素之和为( )A.216-10B.216+10C.216-18D.216+1311.2018银川 4月质检 已知 an是首项为 1的等比数列,数列 bn满足 b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=an+1,则数列 bn的前 n项和为 . 12.2018武汉二月调研 已知 Sn是等比数列 an的前 n项和,若 S3,S9,S6成等差数列,a2+a
5、5=4,则 a8= . 313.2018河南八市一模 在等差数列 an中, a3=7,a9=19,Sn为数列 an的前 n项和,则的最小值为 . Sn+10an+114.(12分)设 Sn为数列 an的前 n项和,已知 a3=7,an=2an-1+a2-2(n2) .(1)证明: an+1为等比数列;(2)求 an的通项公式,并判断 n,an,Sn是否成等差数列 .15.(13分)2018贵州凯里一中月考 已知数列 an满足 an+1=2an+2n+1,且 a1=2.(1)证明:数列 是等差数列;an2n(2)设数列 cn= -log2 ,求数列 cn的前 n项和 Sn.ann ann4难点突
6、破16.(5分)2018株洲二模 已知数列 an的前 n项和为 Sn,a1=1,且满足 anan+1=2Sn,数列bn满足 b1=15,bn+1-bn=2n,则数列 中第 项最小 . bnan17.(5分) 已知数列 an的前 n项和为 Sn,且数列 是首项为 3,公差为 2的等差数列,若Snnbn= ,数列 bn的前 n项和为 Tn,则使得 Sn+Tn268 成立的 n的最小值为 . a2n5课时作业(三十二)1.D 解析 根据题意知 a1=a3-4,a4=a3+2,因为 a1,a3,a4成等比数列,所以 =a4a1,即a23=(a3+2)(a3-4),所以 a3=-4,故选 D.a232.
7、B 解析 设数列 an的公差为 d,由 S8=4S4得 8a1+28d=4(4a1+6d),又 d=1,所以 a1= ,所12以 a10=a1+9d= .1923.C 解析 设数列 an的公比为 q,因为点 M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线 y=x-1上,所以 log2a2=2-1=1,即 a2=2,log2a5=5-1=4,即 a5=16,则 =q3=8,则 ,故 Sn= =2n-1,a5a2 q=2,a1=1 1-2n1-2故选 C.4.B 解析 由题意,该女子每天织的布的长度成等差数列,且 a1=5,设公差为 d,则由前 30项的和 S30=305+ d=390,解
8、得 d= ,所以 a30=5+29 =21,故选 B.30292 1629 16295.3 解析 若 3a1, a5,2a3成等差数列,则 a5=3a1+2a3.又 an为等比数列,设公比为 q,则12q4=3+2q2,可得( q2+1)(q2-3)=0,解得 q2=3(负值舍去),所以 = =q2=3.a9+a10a7+a8(a7+a8)q2a7+a86.A 解析2 a2+a62 =2 =8 ,当且仅当 q4=2即 q= (负值舍去)时取等号,所2a2a6 2a24 2 214以 log2q=log2 = ,故选 A.14147.C 解析 设数列 an的公比为 q,当 a3=a1q20时,
9、a10,若 q1,则 S2017= .当a1(1-q2017)1-qq0,1-q20170, 0,即 S20170;当 00,1-q20170,a1(1-q2017)1-q0,即 S20170;当 q1时,1 -q0,即 S20170.若 q=1,则a1(1-q2017)1-q a1(1-q2017)1-qS2017=2017a10.综上可得,当 a30时, S20170,故选 C.8.C 解析 实数 b,c,d成等差数列,且它们的和为 9,b+d= 2c,则 3c=9,即 c=3,又实数a,b,c成等比数列,则 b2=3a,且 a -b0, a+b+c= +b+3,由二次函数的性质可知,当
10、b=-b23时, +b+3取得最小值 ,a -b0, a+b+c 3,故 a+b+c的取值范围为 ,3 (3, + ),32 b23 94 94故选 C.69.B 解析 因为 2Sn=an+1,所以 2Sn-1=an-1+1(n2),所以 2an=2Sn-2Sn-1=an+1-(an-1+1)=an-an-1,即 an=-an-1(n2),又由 2Sn=an+1得 a1=1,所以 是等比数列,其首项为 1,公比为 -1,an所以 a2018=1(-1)2017=-1.故选 B.10.C 解析 该数表中第 i行第 j列的元素 cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j
11、-1=2i+j-1(i=1,2,7,j=1,2,8),数表如下所示 .ji 1 2 3 4 5 6 7 81 22-1 23-1 24-1 25-1 26-1 27-1 28-1 29-12 23-1 24-1 25-1 26-1 27-1 28-1 29-1 210-13 24-1 25-1 26-1 27-1 28-1 29-1 210-1 211-14 25-1 26-1 27-1 28-1 29-1 210-1 211-1 212-15 26-1 27-1 28-1 29-1 210-1 211-1 212-1 213-16 27-1 28-1 29-1 210-1 211-1 212
12、-1 213-1 214-17 28-1 29-1 210-1 211-1 212-1 213-1 214-1 215-1由表可知,该数表中所有不相等的元素之和为 22-1+23-1+215-1= -14=216-18.4(1-214)1-211. 解析 设数列 an的公比为 q,由题得 bn+1-bn= , 当 n=1时,3n2+n2 an+1an3= ,a 2=3,q= =3,b n+1-bn=3=d, 数列 bn是等差数列 .故数列 bn的前 n项和为 n2+a21 313= .n(n-1)2 3n2+n212.2 解析 因为 S3,S9,S6成等差数列,所以公比 q1,且 2 = +
13、,整理得1-q91-q1-q31-q1-q61-q2q6=1+q3,所以 q3=- 或 q3=1(舍去),所以 a2+a5=a2+a2q3=a2 1- =4,解得 a2=8,故12 12a8=a2q6=8 =2.14713.3 解析 a 3=7,a9=19, 公差 d= = =2,a n=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,S n=a9-a39-319-76=n(n+2),因此 = = (n+1)+ 2 =3,当且n(3+2n+1)2 Sn+10an+1n(n+2)+102n+2 12 9n+1 12 (n+1)9n+1仅当 n=2时取等号 .14.解:(1)证明: a 3=7,a
14、3=3a2-2,a 2=3,a n=2an-1+1,a 1=1,又 = =2(n2),an+1an-1+12an-1+2an-1+1 an+1是首项为 2,公比为 2的等比数列 .(2)由(1)知, an+1=2n,a n=2n-1.S n= -n=2n+1-n-2,2-2n+11-2n+S n-2an=n+2n+1-n-2-2(2n-1)=0,n+S n=2an,即 n,an,Sn成等差数列 .15.解:(1)证明: - = - = + - =1,且 =1, 是以 1为首项,1 为公差an+12n+1an2n2an+2n+12n+1 an2n2an2n+12n+12n+1an2n a121
15、an2n的等差数列 .(2)由(1)得 =1+(n-1)1=n,故 an=n2n,c n=2n-n.an2nS n=c1+c2+c3+cn=(21-1)+(22-2)+(23-3)+(2n-n)=(21+22+23+2n)-(1+2+3+n)=- =2n+1- -2.2(1-2n)1-2 (1+n)n2 n(n+1)2故数列 cn的前 n项和为 Sn=2n+1- -2(nN *).n(n+1)216.4 解析 当 n2 时,2 an=2Sn-2Sn-1=anan+1-an-1an,a n0, a n+1-an-1=2;当 n=1时,a1a2=2a1,解得 a2=2. 数列 an的奇数项与偶数项
16、分别成等差数列,公差都为 2,且a1=1,a2=2,进而得到数列 an为等差数列,其首项为 1,公差为 1,a n=1+n-1=n. 数列 bn满足 b1=15,bn+1-bn=2n, 当 n2 时, bn=2(n-1)+(n-2)+2+1+15=2 +15=n(n-1)(n-1)n2+15,当 n=1时,上式也成立, b n=n(n-1)+15, =n-1+ 2 -1(当且仅当 n= 时取等bnan 15n 15 15号),又 nN *,且 =3+ , =7,则数列 中第 4项最小 .b4a4 154b3a3 bnan17.5 解析 因为数列 是首项为 3,公差为 2的等差数列,所以 =3+
17、(n-1)2,化简得Snn SnnSn=2n2+n,则当 n2 时, Sn-1=2(n-1)2+(n-1),所以 an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-2(n-1)2+(n-1)=4n-1,当 n=1时, S1=a1=3,满足上式,所以 an=4n-1.因为 bn= ,所以a2nb1=a2,b2=a4,b3=a8,b4=a16,b5=a32,b6=a64,所以 Tn=a2+a4+a8+a16+ + =(23-1)+(24-a2n-1a2n1)+(25-1)+(2n+1-1)+(2n+2-1)=23+24+25+2n+1+2n+2-n=2n+3-n-8,所以 S1+T1=(212+1)8+(24-1-8)=10,S2+T2=(222+2)+(25-2-8)=32,S3+T3=(232+3)+(26-3-8)=74,S4+T4=(242+4)+(27-4-8)=152,S5+T5=(252+5)+(28-5-8)=298,所以使得Sn+Tn268 成立的 n的最小值为 5.
