1、1课时作业(三十六) 第 36 讲 基本不等式时间 /30 分钟 分值 /80 分基础热身1.已知 a,b(0, + ),且 a+b=1,则 ab 的最大值为 ( )A.1 B. C. D.14 12 222.设 x0,y0,且 x+y=3,则 2x+2y的最小值是 ( )A.8 B.6 C.3 D.42 23.已知 a,bR,且 ab0,则下列结论恒成立的是 ( )A.a+b2 abB. + 2abbaC. 2|ab+ba|D.a2+b22ab4.2018河南平顶山一模 若对于任意的 x0,不等式 a 恒成立,则实数 a 的取xx2+3x+1值范围为 ( )A. ,+ B. ,+15 15C
2、. - , D. - ,15 155.2018北京朝阳区二模 已知 x0,y0,且满足 x+y=4,则 lgx+lgy 的最大值为 .能力提升6.已知向量 a=(1,x2),b=(-2,y2-2),若 a,b 共线,则 xy 的最大值为 ( )A. B.1 C. D.222 2 27.2018广西南宁二中月考 已知 x0,y0,lg2x+lg8y=lg2,则 + 的最小值是 ( )1x13yA.4 B.3 C.2 D.18.设 a0,b2,且 a+b=3,则 + 的最小值是 ( )2a 1b-2A.6 B.2 2C.4 D.3+22 229.2018东北三省四市教研联合体模拟 在首项与公比相等
3、的等比数列 an中,am = (m,nN *),则 + 的最小值为 ( )a2na242m1nA.1 B.32C.2 D.92图 K36-110.几何原本第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明 .现有如图 K36-1 所示的图形,点 F 在半圆 O 上,点 C 在半径 OB 上,且 OF AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为 ( )A. (a0,b0)a+b2 abB.a2+b22 ab(a0,b0)C. (a0,b0)2aba+b abD. (a0,b0)
4、a+b2 a2+b2211.已知 x0,y0,且 2x4y=4,则 xy 的最大值为 . 12.若 ab0,则 a2+ 的最小值是 . 14b(a-b)13.2018天津和平区二模 已知 ab0,a+b=3,则 + 的最小值为 . b2a+2 a2b+114.2018河北保定一模 已知实数 x,y 满足 若 z=3x-2y 取得最小值时2x-y-2 0,x+2y+2 0,x-y 0, 的最优解( x,y)满足 ax+by=2(ab0),则 的最小值为 . a+4bab难点突破15.(5 分)某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 400 平方米的三级污水处理池,如图 K36-2 所示,池外圈造价
5、为每米 200 元,中间两条隔墙造价为每米 250 元,池底造价为每平方米 80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖) .若使污水池的总造价最低,则污水池的长和宽分别为( )3图 K36-2A.40 米,10 米 B.20 米,20 米C.30 米, 米 D.50 米,8 米40316.(5 分)2018天津重点中学联考 已知 a,bR,且 a 是 2-b 与 -3b 的等差中项,则的最大值为 . 4ab2|a|+|b|4课时作业(三十六)1.B 解析 因为 a,b(0, + ),所以 1=a+b2 ,所以 ab ,当且仅当 a=b= 时等号成ab14 12立 .2.D 解析 因为 x0,y0,且
6、 x+y=3,所以 2x+2y2 =2 =2 =4 ,当且仅2x2y 2x+y 23 2当 x=y= 时,2 x+2y取得最小值 4 .32 23.C 解析 因为 和 同号,所以 = + 2,当且仅当 |a|=|b|时等号成立 .ab ba |ab+ba|ab|ba|4.A 解析 由 x0,得 = = ,当且仅当 x=1 时等号成立,则 a .xx2+3x+1 1x+1x+3 12x1x+315 155.2lg2 解析 因为 x+y=4,x0,y0,所以 xy 2=4,当且仅当 x=y=2 时等号成立,因x+y2此 lgx+lgy=lgxylg4 =2lg2.6.A 解析 依题意得 2x2+y
7、2=2,因此 2=2x2+y2 2 xy,从而 - xy ,故选 A.222 227.A 解析 因为 x0,y0,且 lg2x+lg8y=lg2x+3y=lg2,所以 x+3y=1,则+ = + =2+ + 2 +2 =4 当且仅当 = ,即 x=3y= 时取等号 .故选 A.1x13yx+3yx x+3y3y 3yx x3y 3yxx3y 3yx x3y 128.D 解析 a 0,b2,且 a+b=3,a+b- 2=1, + = (a+b-2)2a 1b-2(2a+ 1b-2)=2+1+ + 3 +2 ,当且仅当 a= (b-2),即 b=1+ ,a=2- 时取等号,则 +2(b-2)a a
8、b-2 2 2 2 2 2a的最小值是 3+2 ,故选 D.1b-2 29.A 解析 设等比数列 an的公比为 q,由题意可得 a1=q,a m = ,a 1qm-1(a1qn-1)a2na242=(a1q3)2,即 qmq2n=q8,因此 m+2n=8. + =(m+2n) + = 2+ + +2 (4 +4) =1,当2m1n 2m1n 18 mn4nm 18 18且仅当 m=2n=4 时取等号,故选 A.10.D 解析 由图可知 OF= AB= ,OC= .在 Rt OCF 中,由勾股定理可得 CF=12 a+b2 a-b2= .CF OF, (a0,b0).故选 D.(a+b2)2+(
9、a-b2)2 a2+b22 a2+b22 a+b211. 解析 x 0,y0,且122x4y=4, 2x4y=2x+2y=22,x+ 2y=2,xy= x2y 2= ,当且仅当 x=1,y= 时取等12 12x+2y2 12 12号, xy 的最大值为 .12512.2 解析 ab 0,a 2+ a2+ =a2+ 2 =2,当且仅当 a=1,b= 时14b(a-b) 1(b+a-b)2 1a2 a21a2 12取等号,故所求最小值为 2.13. 解析 ab 0,a+b=3,a+ 2+b+1=6.则 + = (a+2)+(b+1)32 b2a+2 a2b+116+ = a2+b2+ + (a2+
10、b2+2ab)= (a+b)2= ,当且仅当 b(b+1)=a(a+2),即b2a+2 a2b+1 16 b2(b+1)a+2 a2(a+2)b+1 16 16 32b= ,a= 时取等号 .53 4314.9 解析 作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线 z=3x-2y 经过点 A(2,2)时, z 取得最小值,此时最优解为(2,2),则 2a+2b=2,即a+b=1, = + = + (a+b)=5+ + 5 +2 =9,当且仅当 a=2b 时取等号,则 的a+4bab1b4a 1b4a ab4ba ab4ba a+4bab最小值为 9.15.C 解析 设总造价为 y 元,污水池的
11、长为 x 米,则宽为 米,总造价400xy= 200+2250 +80400=400 +32000400 2 +32000=(2x+2400x) 400x (x+900x) x900x56000(元),当且仅当 x= ,即 x=30 时等号成立,此时污水池的宽为 米 .900x 40316. 解析 a 是 2-b 与 -3b 的等差中项, 2a=2-b-3b,可得 a+2b=1.当 ab0 时, 0, 要使 有最大值,则 ab0.不妨设4ab2|a|+|b| 4ab2|a|+|b| 4ab2|a|+|b|a0,b0(a0,b0 时情况一样),则 = = = = = ,4ab2|a|+|b| 4ab2a+b 1(12b+14a)(a+2b) 154+a2b+b2a 154+2 a2bb2a 154+149当且仅当 = ,即 a=b= 时等号成立,故 的最大值为 .a2bb2a 13 4ab2|a|+|b| 496
