1、1解答必刷卷(一) 函数与导数考查范围:第 4讲 第 15讲题组一 真题集训1.2018全国卷 已知函数 f(x)=aex-lnx-1.(1)设 x=2是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间;(2)证明:当 a 时, f(x)0 .1e2.2018北京卷 设函数 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.(1)若曲线 y=f(x)在点(2, f(2)处的切线斜率为 0,求 a;(2)若 f(x)在 x=1处取得极小值,求 a的取值范围 .23.2018全国卷 已知函数 f(x)= x3-a(x2+x+1).13(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2)证明: f(x
2、)只有一个零点 .题组二 模拟强化4.2018湖南衡阳一模 已知函数 f(x)= +alnx.2x(1)若函数 f(x)在(0,2)上单调递减,求实数 a的取值范围;(2)设 h(x)=f(x)+|(a-2)x|,x1, + ),求证: h(x)2 .35.2018山西太原模拟 已知函数 f(x)=exsinx-cosx,g(x)=xcosx- ex,其中 e是自然对2数的底数 .(1)判断函数 f(x)在 0, 内零点的个数,并说明理由;2(2)若 x1 0, ,x2 0, ,f(x1)+g(x2) m,试求实数 m的取值范围 .2 26.2018广东六校三联 已知函数 f(x)=x2-2x
3、+1+a(lnx-x+1)(其中 aR 且 a为常数) .(1)若对于任意的 x(1, + ),都有 f(x)0成立,求 a的取值范围;(2)在(1)的条件下,若方程 f(x)+a+1=0在(0,2上有且只有一个实根,求 a的取值范围 .4解答必刷卷(一)1.解:(1) f(x)的定义域为(0, + ),f(x)=aex- .1x由题设知, f(2)=0,所以 a= .12e2从而 f(x)= ex-lnx-1,f(x)= ex- .12e2 12e2 1x当 02时, f(x)0.所以 f(x)在(0,2)单调递减,在(2, + )单调递增 .(2)证明:当 a 时, f(x) -lnx-1
4、.1e exe设 g(x)= -lnx-1,则 g(x)= - .exe exe1x当 01时, g(x)0.所以 x=1是 g(x)的最小值点 .故当 x0时, g(x) g(1)=0.因此,当 a 时, f(x)0 .1e2.解:(1)因为 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex,f(2)=(2a-1)e2.由题设知 f(2)=0,即(2 a-1)e2=0,解得 a= .12(2)方法一:由(1)得 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex.若 a1,则当 x ,1 时, f(x)0.所以 f(x)在 x=1处
5、取得极小值 .若 a1,则当 x(0,1)时, ax-1 x-10.所以 1不是 f(x)的极小值点 .综上可知, a的取值范围是(1, + ).方法二: f(x)=(ax-1)(x-1)ex. 当 a=0时,令 f(x)=0得 x=1.f(x),f(x)随 x的变化情况如下表:x (- ,1) 1 (1,+ )5f(x) + 0 -f(x) 极大值 所以 f(x)在 x=1处取得极大值,不合题意 . 当 a0时,令 f(x)=0得 x1= ,x2=1.1a(i)当 x1=x2,即 a=1时, f(x)=(x-1)2ex0,所以 f(x)在 R上单调递增,所以 f(x)无极值,不合题意 .(i
6、i)当 x1x2,即 01时, f(x),f(x)随 x的变化情况如下表:x (-, 1a) 1a (1a,1) 1 (1,+ )f(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)在 x=1处取得极小值,即 a1满足题意 . 当 a0;3 3当 x(3 -2 ,3+2 )时, f(x)0,所以 f(x)=0等价于 -3a=0.x3x2+x+1设 g(x)= -3a,则 g(x)= 0,仅当 x=0 时 g(x)=0,所以 g(x)在( - ,+ )x3x2+x+1 x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2单调递增 .故 g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零点 .
7、又 f(3a-1)=-6a2+2a- =-6 - 0,故 f(x)有一个零点 .13 (a-16)216 13综上, f(x)只有一个零点 .4.解:(1)由函数 f(x)在(0,2)上单调递减得对任意 x(0,2),恒有 f(x)= 0 成立,即ax-2x2a 对任意 x(0,2)恒成立,又当 x(0,2)时, 1,所以 a1 .2x 2x(2)证明:当 a2 时, h(x)=f(x)+(a-2)x= +alnx+(a-2)x(x1),所以 h(x)= +a-20,2x ax-2x2所以 h(x)在1, + )上是增函数,故 h(x) h(1)=a2 .当 a2.22-a综上所述, h(x)
8、2 .5.解:(1)函数 f(x)在 0, 内零点的个数为 1.2理由如下:因为 f(x)=exsinx-cosx,所以 f(x)=exsinx+excosx+sinx,当 00,所以函数 f(x)在 0, 上单调递增 .又因为 f(0)=-10,2 2 (2)e2所以根据零点存在性定理知函数 f(x)在 0, 内存在 1个零点 .2(2)因为不等式 f(x1)+g(x2) m等价于 f(x1) m-g(x2),所以 x1 0, ,x2 0, ,f(x1)+g(x2) m等价于 f(x1)min m-g(x2)min,即 f(x1)2 2min m-g(x2)max.7当 x 0, 时, f(
9、x)=exsinx+excosx+sinx0,故 f(x)在区间 0, 上单调递增,所以当2 2x=0时, f(x)取得最小值 -1.又 g(x)=cosx-xsinx- ex,2当 x 0, 时,0cos x1, xsinx0, ex ,2 2 2所以 g(x)0对于任意 x(1, + )恒成立,所以 f(x)在(1, + )上单调递增,所以 f(x)f(1)=0,此时满足题意;当 a2时,易知 f(x)在 1, 上单调递减,在 ,+ 上单调递增,a2 a2所以当 x 1, 时,有 f(x)0,所以要使 g(x)在(0,2上有且只有一个零点,(1e2) 1e2 ae2则 g(1)=0或 g(2)0,1e84e4所以 g(x)在(0,2上有且只有一个零点 .当 00,所以当 x ,2 时,总有 g(x)0,a28因为 1a+2,e-2a+2a所以 g( )= -(a+2)+(aln +2a+2)0,e-2a+2a e-2a+2a e-2a+2a e-2a+2a所以 g(x)在 0, 上必有零点,又因为 g(x)在 0, 上单调递增,a2 a2从而当 0a2时, g(x)在(0,2上有且只有一个零点 .综上所述,当 0a2 或 a- 或 a=-1时,2ln2方程 f(x)+a+1=0在(0,2上有且只有一个实根 .
