1、1课时作业 52 双曲线基础达标一、选择题12019山西八校联考已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 4 ，渐近线方x2a2 y2b2 5程为 2xy0，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y216 x216 y24C. 1 D. 1x216 y264 x264 y216解析：解法一 易知双曲线 (a0， b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为x2a2 y2b22xy0，得 2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，结合 c2 a2 b2，可得ba 5 5a2， b4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y216解法二 易知双曲线的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方
2、程为 2xy0，可设双曲线的方程为 x2 ( 0)，即 1，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，所以y24 x2 y24 5 5 4 20， 4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y216答案：A22019山东潍坊模拟已知双曲线 1( a0， b0)的焦点到渐近线的距离为x2a2 y2b2，且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( )3A1 B. 3C2 D2 3解析：由题意知双曲线的焦点( c,0)到渐近线 bx ay0 的距离为 b ，即bca2 b2 3c2 a23，又 e 2，所以 a1，该双曲线的实轴的长为 2a2.ca答案：C32018全国卷已知双曲线 C： 1( a0
3、， b0)的离心率为 ，则点(4,0)x2a2 y2b2 2到 C 的渐近线的距离为( )A. B222C. D2322 2解析：由题意，得 e ， c2 a2 b2，得 a2 b2.又因为 a0， b0，所以 a b，ca 2渐近线方程为 xy0，点(4,0)到渐近线的距离为 2 .故选 D.42 2答案：D42019江西五校联考已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 2，左，右x2a2 y2b2焦点分别为 F1， F2，点 A 在双曲线 C 上，若 AF1F2的周长为 10a，则 AF1F2的面积为( )A2 a2 B. a215 15C30 a2 D15 a2解析：由双曲线的对
4、称性不妨设 A 在双曲线的右支上，由 e 2，得 c2 a，caAF1F2的周长为| AF1| AF2| F1F2| AF1| AF2|4 a，又 AF1F2的周长为10a，| AF1| AF2|6 a，又| AF1| AF2|2 a，| AF1|4 a，| AF2|2 a，在 AF1F2中，| F1F2|4 a，cos F1AF2 .|AF1|2 |AF2|2 |F1F2|22|AF1|AF2| 4a 2 2a 2 4a 224a2a 14sin F1AF2 ， S154AF1F2 |AF1|AF2|sin F1AF2 4a2a a2.故选 B.12 12 155 15答案：B52019南昌
5、调研已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2， P 为双曲线 C 上第二象限内一点，若直线 y x 恰为线段 PF2的垂直平分线，则双ba曲线 C 的离心率为( )A. B.2 3C. D.5 63解析：由题，结合图知，直线 PF2的方程为 y (x c)，设直线 PF2与直线 y xab ba的交点为 N，易知 N ，又线段 PF2的中点为 N，故 P ，因为点 P 在双(a2c， abc) (2a2 c2c ， 2abc)曲线 C 上，所以 1，即 5a2 c2，所以 e . 2a2 c2 2a2c2 4a2b2c2b2 ca 5答案：C二、填
6、空题6已知双曲线 1 的一个焦点是(0,2)，椭圆 1 的焦距等于 4，则x2m y23m y2n x2mn_.解析：因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在 y 轴上，所以双曲线的方程为 y2 3m1，即 a23 m， b2 m，所以 c23 m m4 m4，解得 m1.所以椭圆方程x2 m为 x21，且 n0，椭圆的焦距为 4，所以 c2 n14 或 1 n4，解得 n5 或y2n3(舍去)答案：572019太原高三模拟设 P 为双曲线 1 上一点， F1， F2分别是双曲线的左、x22 y22右焦点，若| PF1|2| PF2|，则 cos PF2F1_.解析：| PF1|2| PF2|
7、，点 P 在双曲线的右支上，| PF1| PF2|2 ，| PF1|4 ，| PF2|2 ，又| F1F2|4，由余弦定理得，2 2 2cos PF2F1 .16 8 322422 24答案：2482019益阳市，湘潭市高三调研已知 F 为双曲线 1( a0， b0)的左焦点，x2a2 y2b2定点 A 为双曲线虚轴的一个端点，过 F， A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴右侧的交点为 B，若 3 ，则此双曲线的离心率为_AB FA 解析： F( c,0)， A(0， b)，得直线 AF： y x b.根据题意知，直线 AF 与渐近线 ybcx 相交，联立得Error!消去 x 得，
8、yB .由 3 ，得 yB4 b，所以 4 b，化简ba bcc a AB FA bcc a得 3c4 a，离心率 e .434答案：43三、解答题9若双曲线 E： y21( a0)的离心率等于 ，直线 y kx1 与双曲线 E 的右支x2a2 2交于 A， B 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若| AB|6 ，求 k 的值3解析：(1)由Error!得Error!故双曲线 E 的方程为 x2 y21.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得(1 k2)x22 kx20.直线与双曲线右支交于 A， B 两点，故Error!即Error! 所以 1 k .2故 k 的取
9、值范围为(1， )2(2)由得 x1 x2 ， x1x2 ，2kk2 1 2k2 1| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x22 6 ， 1 k2 2 k2 k2 1 2 3整理得 28k455 k2250， k2 或 k2 .又 1 k ， k .57 54 2 5210已知椭圆 C1的方程为 y21，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，x24而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O 为坐标原点(1)求双曲线 C2的方程；(2)若直线 l： y kx 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2，求 k2 OA OB 的取值范围解析：(1)设双曲线 C2
10、的方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2则 a2413， c24，再由 a2 b2 c2，得 b21，故双曲线 C2的方程为 y21.x235(2)将 y kx 代入 y21，2x23得(13 k2)x26 kx90.2由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得Error! k22，即 x1x2 y1y22，OA OB 2，即 0，3k2 73k2 1 3k2 93k2 1解得 0， b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直x2a2 y2b2于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1 d26，则双曲线的方程为(
11、)A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. 1 D. 1x23 y29 x29 y23解析：本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2， e21 4， 3，即x2a2 y2b2 b2a2 b2a2b23 a2， c2 a2 b24 a2，6由题意可设 A(2a,3a)， B(2a，3 a)， 3，渐近线方程为 y x，b2a2 3则点 A 与点 B 到直线 x y0 的距离分别为 d1 a， d23|23a 3a|2 23 32 a，又 d1 d26，|23a 3a|2 23 32 a a6，解得 a ， b29.双
12、曲线的方程为 1，故选 C.23 32 23 32 3 x23 y29答案：C122018全国卷已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，x23过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 OMN 为直角三角形，则| MN|( )A. B332C2 D43解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线夹角为 2 ，则有 tan ，所以 30.13 33所以 MON2 60.又 OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN ON，如图所示在 Rt ONF 中，| OF|2，则| ON| .3则在 Rt OMN 中，| MN|
13、ON|tan2 tan603.3故选 B.答案：B132018北京卷已知椭圆 M： 1( ab0)，双曲线 N： 1.若双曲线x2a2 y2b2 x2m2 y2n2N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_解析：解法一 如图是一个正六边形， A， B， C， D 是双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M的四个交点， F1， F2为椭圆 M 的两个焦点7直线 AC 是双曲线 N 的一条渐近线，且其方程为 y x，3 .设 m k，则 n k，则双曲线 N 的离心率 e2 2.nm 3 3 k2 3k 2k连接 F1C，在正六边形 ABF2CDF1中，可得 F1CF290， CF1F230.设椭圆的焦距为 2c，则| CF2| c，| CF1| c，再由椭圆的定义得3|CF1| CF2|2 a，即( 1) c2 a，椭圆 M 的离心率 e1 3ca 23 1 1.2 3 1 3 1 3 1 3解法二 双曲线 N 的离心率同解法一由题意可得 C 点坐标为 ，代入椭圆 M(c2， 32c)的方程，并结合 a， b， c 的关系，联立得方程组Error!解得 1 .ca 3 (ca 3 1舍 去 )答案： 1,23
