1、1课时作业 53 抛物线基础达标一、选择题1若抛物线 y22 px(p0)上一点 P(2， y0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( )A y24 x B y26 xC y28 x D y210 x解析：因为抛物线 y22 px，所以准线为 x .p2因为点 P(2， y0)到其准线的距离为 4，所以 4，所以 p4，|p2 2|所以抛物线的标准方程为 y28 x.答案：C22019广东珠海模拟已知抛物线 y24 x的焦点为 F，准线为 l，点 P为抛物线上一点，且在第一象限， PA l，垂足为 A，| PF|4，则直线 AF的倾斜角等于( )A. B.712 23C. D.34 5
2、6解析：由抛物线 y24 x知焦点 F的坐标为(1,0)，准线 l的方程为 x1，由抛物线定义可知| PA| PF|4，所以点 P的坐标为(3,2 )，因此点 A的坐标为(1,2 )，所以3 3kAF ，所以直线 AF的倾斜角等于 ，故选 B.23 0 1 1 3 23答案：B32019福州质量检测在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，准线为 l.过 F的直线交 C于 A， B两点，交 l于点 E，直线 AO交 l于点 D.若|BE|2| BF|，且| AF|3，则| BD|( )A1 B3C3 或 9 D1 或 9解析：分别过点 A， B作 AA1， B
3、B1垂直于 l，且垂足分别为 A1， B1，依题意，易证BD x轴，所以 D与 B1重合由已知条件| BE|2| BF|得，| BE|2| BB1|，所以 BEB130.又| AA1| AF|3，2如图 1， ，所以 ，解得| BD|1，|BD|AA1| |BE|AE| |BD|3 2|BD|3|BD| 3如图 2， ，所以 ，解得| BD|9.|BD|AA1| |BE|AE| |BD|3 2|BD|BD| 3综上，| BD|为 1或 9，故选 D.答案：D42019河南百校联盟已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M在抛物线 C上，且| MO| MF| (O为坐标原点)，则
4、 ( )32 OM MF A B.74 74C. D94 94解析：不妨设 M(m， )(m0)，易知抛物线 C的焦点 F的坐标为 ，因为2pm (p2， 0)|MO| MF| ，所以Error!解得 m ， p2，所以 ， ，所32 12 OM (12， 2) MF (12， 2)以 2 .故选 A.OM MF 14 74答案：A52019湖南岳阳模拟若直线 y2 x 与抛物线 x22 py(p0)相交于 A， B两点，p2则| AB|等于( )A5 p B10 pC11 p D12 p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得 x24 px p20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，
5、则 x1 x24 p， y1 y29 p，直线过抛物线的焦点，| AB| y1 y2 p10 p，故选 B.答案：B二、填空题362019长沙模拟已知抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点为 F(3,0)，P1， P2， P2017是抛物线 C上的点，它们的横坐标依次为 x1， x2， x2 017，若x1 x2 x2 0172 017，则| P1F| P2F| P2 017F|_.解析：因为抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点为 F(3,0)，所以抛物线 C的方程为y212 x，其准线方程为 x3.由抛物线的定义可得| PiF| xi3( i1,2，2 017)，所以| P1F| P2F| P2 01
6、7F|( x13)( x23)( x2 0173) x1 x2 x2 01732 0178 068.答案：8 06872019宝安，潮阳，桂城八校联考过抛物线 y24 x的焦点 F的直线交该抛物线于 A， B两点，若| AF|3，则| BF|_.解析：解法一 由题意知，抛物线的焦点 F的坐标为(1,0)，| AF|3，由抛物线的定义知，点 A到准线 x1 的距离为 3，所以点 A的横坐标为 2.如图，不妨设点 A在第一象限，将 x2 代入 y24 x，得 y28，所以点 A的纵坐标为 2 ，即 A(2,2 )，所以直线 AF2 2的方程为 y2 (x1)由 Error!解得Error!或Err
7、or!所以点 B的横坐标为 ，所以| BF| .212 32解法二 如图，不妨设点 A在第一象限，设 AFx ， A(xA， yA)， B(xB， yB)，则由抛物线的定义知 xA123cos 3，解得 cos .又13|BF| xB11| BF|cos 12 |BF|，所以| BF| .13 32答案：3282019合肥质量检测抛物线 E： y24 x的焦点为 F，准线 l与 x轴交于点 A，过抛物线 E上一点 P(在第一象限内)作 l的垂直 PQ，垂足为 Q.若四边形 AFPQ的周长为 16，则点 P的坐标为_解析：设 P(x， y)，其中 x0， y0，由抛物线的定义知| PF| PQ|
8、 x1.根据题意知|AF|2，| QA| y，则Error! Error!或Error!(舍去)所以点 P的坐标为(4,4)答案：(4,4)4三、解答题9抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线 1( a0， b0)的一个焦点，并与双x2a2 y2b2曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为 ，求抛物线与双曲线的方程(32， 6)解析：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， p2 c.设抛物线方程为 y24 cx，抛物线过点 ，(32， 6)64 c .32 c1，故抛物线方程为 y24 x.又双曲线 1 过点 ，x2a2 y2b2 (32， 6) 1.又 a2 b2 c
9、21，94a2 6b2 1.94a2 61 a2 a2 或 a29(舍去)14 b2 ，34故双曲线方程为 1.x214y234102017全国卷设 A， B为曲线 C： y 上两点， A与 B的横坐标之和为 4.x24(1)求直线 AB的斜率；(2)设 M为曲线 C上一点， C在 M处的切线与直线 AB平行，且 AM BM，求直线 AB的方程解析：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， y1 ， y2 ， x1 x24，x214 x24于是直线 AB的斜率 k 1.y1 y2x1 x2 x1 x24(2)由 y ，得 y .x24 x25设 M(x3， y3)，
10、由题设知 1，解得 x32，于是 M(2,1)x32设直线 AB的方程为 y x m，故线段 AB的中点为 N(2,2 m)，| MN| m1|.将 y x m代入 y 得 x24 x4 m0.x24当 16( m1)0，即 m1 时， x1,222 .m 1从而| AB| |x1 x2|4 .2 2 m 1由题设知| AB|2| MN|，即 4 2( m1)，解得 m7.2 m 1所以直线 AB的方程为 y x7.能力挑战112019湖北四地七校联考已知抛物线 y22 px(p0)，点 C(4,0)，过抛物线的焦点作垂直于 x轴的直线，与抛物线交于 A， B两点，若 CAB的面积为 24，则
11、以直线 AB为准线的抛物线的标准方程是( )A y24 x B y24 xC y28 x D y28 x解析：因为 AB x轴，且 AB过点 F，所以 AB是焦点弦，且| AB|2 p，所以 SCAB 2p 24，解得 p4 或12(舍)，所以抛物线方程为 y28 x，所以直线 AB12 (p2 4)的方程为 x2，所以以直线 AB为准线的抛物线的标准方程为 y28 x，故选 D.答案：D122018全国卷设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直23线与 C交于 M， N两点，则 ( )FM FN A5 B6C7 D8解析：由题意知直线 MN的方程为 y (x2)，
12、23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error! 或Error!不妨设 M为(1,2)， N为(4,4)又抛物线焦点为 F(1,0)， (0,2)， (3,4)FM FN 03248.FM FN 6故选 D.答案：D132018全国卷已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A， B两点若 AMB90，则 k_.解析：解法一 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! y y 4( x1 x2)， k .21 2y1 y2x1 x2 4y1 y2设 AB中点 M( x0， y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A，
13、B作准线 x1 的垂线，垂足为 A， B，则| MM| |AB| (|AF| BF|)12 12 (|AA| BB|)12 M( x0， y0)为 AB中点， M为 A B的中点， MM平行于 x轴， y1 y22， k2.解法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，设直线方程为 y k(x1)，直线方程与 y24 x联立，消去 y，得 k2x2(2 k24) x k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x21， x1 x2 .2k2 4k2由 M(1,1)，得 (1 x1,1 y1)， (1 x2,1 y2)AM BM 由 AMB90，得 0，AM BM ( x11)( x21)( y11)( y21)0， x1x2( x1 x2)1 y1y2( y1 y2)10.又 y1y2 k(x11) k(x21) k2x1x2( x1 x2)1， y1 y2 k(x1 x22)，1 1 k2 k 10，2k2 4k2 (1 2k2 4k2 1) (2k2 4k2 2)整理得 10，解得 k2.4k2 4k答案：27
