1、1东2东东321 FEDCBA东6东东E DCBA第四章 三角形第一节 角、相交线与平行线考点 1角及其平分线常见的角若 090，则 为锐角；若 90180，则 为钝角；若 =90，则 为直角；若 =180，则 为平角；若 =360，则 为周角。互余 如果两个角的和为 90，那么这两个角互为余角。两角间的关系 互补 如果两个角的和为 180，那么这两个角互为补角。定义 如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。角平分线性质 角平分线上的点到角两边的距离相等。考点 2 同一平面内两直线的位置关考点 3 垂线性质及垂直平分线的性质1、 垂线的性质（1） 平面内经过一点有
2、且只有一条直线垂直于已知直线；（2） 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间的线段的长度叫做点到直线的距离。2、 垂直平分线（1） 性质：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。（2） 逆定理：和线段的两端点的距离相等的点在该 线段的垂直平分线上。考点 4 平行线与平行公理1、 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2、 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3、 平行线的性质定理与判定定理。习题精编1、从 3时到 6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）A30 B60 C90 D1202、如图，ABC
3、D，EFCD 于 F，已知2=30，则1 是（ ）A20 B60 C30 D452东3东东D C BA东7东东DC BA 东8东东21 ba东9东东EDCBA3、如图，C、D 是线段 AB上两点，若 CD=5cm，DB=8cm，且 D是 AC的中点，则 AC的长等于（ ）A3cm B6cm C8cm D11cm4、已知=72，则 的余角是 _。5、在命题“同位角相等，两直线平行”中，题设是：_。6、如图，ABCD，ACBC,垂足为 C，若A=40，则BCD=_。7、在 RtABC 中，C=90，若 BC=10,AD平分BAC 交 BC于点 D，且 BDCD=32，则点 D到线段 AB的距离为_
4、。8、如图，直线 a、b 被第三条直线 c所截，并且 ab，若1=65，则2=_9、如图，B、A、E 三点在同一条直线上，请你添加一个条件，使 ADBC，你所添加的条件是_（不允许添加任何辅助线） 。第二节 三角形及 其性质考点 1 三角形的分类（按边分、按角分）1、 按边分三条边都不相等 有两边相等 三条边都相等不等边三角形 等腰三角形 等边三角形2、 按角分3、 按角、边综合分类3考点 2 一般三角形的性质1、 三角形的三边关系及内角和定理（1） 三角形的两边这和大于第三边，两边之差小于第三边。（2） 三角形的内角和等于 180。（3） 在同一直角三角形中，大边对大角，小边对小角。2、 三
5、角形内外角的关系（1） 三角形的任一个外角等于与它不相邻的两相个内角之和。（2） 三角形的任一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（3） 三角形的“四线”四线 定义 备注中线连接一个顶点和它所对边的中点的连线段永远在三角形内，每条中线平分三角形面积高线从三角形一个顶点向它对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形的一条高在三角形内，其他两条高分别与两直角边重合；钝角三角形的一条高在三角形内，其他两条高在三角形外。角平分线一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角顶点和交点的线段中位线 三角形两边中点的连线 永远在三角形内（4） 三角形的“四心 ”四心 定
6、义 备注重心 三条中线的交点 把中线分成 21 两部分，永远在三角形内垂心 三条高所在直线的交点 把三个内角分成相等的两组，每组角的度数和为90内心 三条内角平分线的交点 内接圆圆心，到三边距离相等，以内心和原三角形三个顶点连接组成的三个三角形面积的比等于原三角形三边的外心 三边中垂线的交点 外接圆的圆心，到三个顶点距离相等。考点 3 特殊三角形的性质及判定三角形 性质 判定4等腰三角形（1）两腰相等，两底角相等；（2）顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；（3）是轴对称图形，有三条对称轴。（1）有两边相等；（2）有两角相等。等边三角形（1）三边相等；（2）三角相等，且每一个角都等于
7、 60；（3）内外心重合；（4）是轴对称图形，有三条对称轴。（1）三边都相等；（2）三角都相等；（3）有一个角是 60的等腰三角形。直角三角形（1）两锐角之和等于 90；（2）斜边上的中线等于斜边的一半；（3）30角所对的直角边等于斜边的一半；（4）勾股定理；（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所在的锐角等于 30；（6）直角三角形的面积，等于两直角边乘积的一半。（1）有一个角为 90；（2）勾股定理的逆定理：若，则以a、b、c 为边的三角形是直角三角形。第三节 全等三 角形考点 1 全等三角形的性质性质 1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。性质 2、全等三角
8、形的 对应线段（角平分线、中线、高、中位线）相等，对应周长相等，对应面积相等。考点 2 三角形全等的判定已知条件 图形 结论三边 SSS两边一角 两边夹角 SAS5东1东东DCBA东2东东PO DCBA两角夹边 ASA两角一边两角对边AAS直角三角形 HL三角形全等的证明思路：考点 3 直角三角形全等的性质及判定（1） 性质：和一般三角形全等的性质相同。（2） 判定：HL 公理；斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。考点 4 全等三角形的应用全等三角形的应用主要有：证明线段、角相等；求线段的长度、角的度数、三角形面积；测量不可直接测量的距离等。习题精编：1、如图，在 ABCD 中，E 是
9、AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由。2、如图，OP 平分AOD，且 OA=OB（1） 写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线） ；（2） 从（10）中任选一个结论进行证明。6东3东东FED CBA东4东东PEDCBAC BAa3、 如图，点 B、D、C、F 在一条直线上，且 BC=FD，AB=EF。（1） 请你添加一个条件（不再清加辅助线） ，使ABCEFD，你添加的条件是；（2） 添加了条件后，证明ABCEFD。4、已知：如图，点 P为平行四边形 ABCD中 CD边的延长线上的一点，连接 BP，交 AD于点E。探究：当 PD与 CD有什么数量关系时
10、， ABEDPE，画出图形并证明ABEDPE。第四节 解直角三角形考点 1 三角函数的定义锐角三角函数的定义在 RtABC 中，C=90, A、B、C的对边分别为 a、b、c，正弦 = ；余sin弦 = ；正切 =考点 2 特殊角的三角函数值角度三角函数 30 45 60sin 12 22 3232 2233 1考点 3 解直角三角形的类型和解法已知条件 图形 解法一直角边和一锐角 B=90-A，c = ,7cC BAbaC BAcaC BA东东东 东东东东 东东东东东东东lh（a，A）b = 或（ b = tan）22已知斜边和一个锐角（c，A）B=90-A,a = c ,b = c (或
11、b = 22）已获知两直角边（a,b） C = ,由 = 求A, B=90-A已知斜边和一条直角边(c,a)b = ，由 = ，22求A，B=90-A考点 4 直角三角形边角关系的应用仰角、俯角在视线与水平视线所成的锐角中，视线在水平上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。坡度（坡比） 、坡角坡面的铅直高度 h和宽度 l的比叫坡度（坡比） ，用字母 i表示；坡面与水平线的夹角 叫做坡角。i= =习题精编840P DCBA6045东东PA1、如图，小明家住的楼房高度 AB=10米，到对面较高楼房的距离 BD=20米，当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平线的夹角为 40，根据以上条件
12、，小明便知楼房CD的高。请你写出计算过程（结果精确到 0.1米，参考数据：sin400.64,cos400.77,tan400.84）3、 如图，小岛 A在港口 P的南偏西 45方向，距离港口 70海里外甲船从 A出发，乙船从港口 P出发沿 AP方向以每小时 20海里的速度驶向港口 P；乙 船从港口 P出发沿着南偏东 60方向，以每小时 15海里的速度 驶离港口，若两船同时出发。（1） 甲船出发 x小时， 与港口 P的距离是多少海里（用含 x的式子表示）？（2） 几小时后两船与港口 P的距离相等？（3） 当乙船在甲船的正方向时，船体发生了故障不能继续航行，此时，乙船向甲船发出求救信号，问甲船以现有航速赶去救援，需几小时能到达出事地点（不考虑其它影响航速的因素）？(最后结果精确到 0.1)（参考数据： 1.4121.73）， 31
