1、1第 14讲 函数的零点问题1.设 x0是函数 f(x)=3x+3x-8的一个零点,且 x0(k,k+1),kZ,则 k= . 2.双曲线 mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的 2倍,则实数 m= . 3.(2018江苏如皋高三上学期调研)一个封闭的正三棱柱容器,高为 3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点 E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为 . 4.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在平面直角坐标系 xOy中,设点的集合 A=(x,y),B= ,且 AB,则实数 a的取值范围是 |(x-1)2
2、+(y-1)2=a2 (x,y)| x 3,x+y-4 0,x-y+2a 0. 5.设 为锐角,若 cos = ,则 sin 的值为 . ( +6)45 (2 +12)6.在平行四边形 ABCD中,AD=4,BAD= ,E为 CD的中点,若 =4,则 AB的长为 . 3 ACBE7.(2018南京高三学情调研)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC,E 是 BC的中点,求证:(1)平面 AB1E平面 B1BCC1;(2)A1C平面 AB1E.8.(2018苏锡常镇四市高三调研)已知椭圆 C: + =1(ab0)经过点 , ,点 A是椭圆的下顶x2a2y2b2 ( 3,12)(1,32)
3、点.(1)求椭圆 C的标准方程;(2)过点 A且互相垂直的两直线 l1,l2与直线 y=x分别相交于 E,F两点,若 OE=OF,求直线 l1的斜率.23答案精解精析1.答案 1解析 因为 f(1)=3+3-80,且函数 f(x)=3x+3x-8单调递增,所以 x0(1,2),即 k=1.2.答案 -14解析 由题意得 m0,双曲线的标准方程为 y2- =1,则- =4,m=- .x2-1m 1m 143.答案 94解析 因为 E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱 EFCB-E1F1C1B1的体积 V=S 四边形 EFCB3= S34ABC3= SABC ,设图甲中水面的高度为 h,
4、则 SABC h= SABC ,94 94h= ,故答案为 .94 944.答案 0, 2解析 由 AB 得集合 A中的点都满足 B中的不等式组,则 a0,且 所以 0a .a 2,a 2,a 2a2, 25.答案 17250解析 由条件可得 cos =2cos2 -1= ,sin = ,所以 sin =sin(2 +3) ( +6) 725 (2 +3)2425 (2 +12)= = .(2 +3)-4 22 (2425-725)172506.答案 6解析 由点 E是 DC的中点,得 = + = - .BEBCCEAD12AB所以 =( + )ACBEADAB (AD-12AB)= - +
5、=16- + 4 =4,化简得 -2 -24=0,解得 =6(舍负).|AD|212|AB|212ADAB 12|AB|212 |AB| 12 |AB|2 |AB| |AB|7.证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,CC1平面 ABC.因为 AE平面 ABC,所以 CC1AE.因为 AB=AC,E为 BC的中点,所以 AEBC.4因为 BC平面 B1BCC1,CC1平面 B1BCC1,且 BCCC 1=C,所以 AE平面 B1BCC1.因为 AE平面 AB1E,所以平面 AB1E平面 B1BCC1.(2)如图,连接 A1B,设 A1BAB 1=F,连接 EF.在直三棱柱 ABC-A1
6、B1C1中,四边形 AA1B1B为平行四边形,所以 F为 A1B的中点.又因为 E是 BC的中点,所以 EFA 1C.因为 EF平面 AB1E,A1C平面 AB1E,所以 A1C平面 AB1E.8.解析 (1)由题意得 解得 即3a2+ 14b2=1,1a2+ 34b2=1, 1a2=14,1b2=1, a2=4,b2=1,所以椭圆 C的标准方程为 +y2=1.x24(2)由题意知 A(0,-1),直线 l1,l2的斜率存在且不为零,设 l1:y=k1x-1,与直线 y=x联立有得 E ,y=k1-1,y=x, ( 1k1-1, 1k1-1)易得直线 l2:y=- x-1,同理,F1k1,(1-1k1-1, 1-1k1-1)因为 OE=OF,所以 =|1k1-1|,|1-1k1-1| = ,k1+ =0无实数解;1k1-1 1-1k1-1 1k1 =- ,k1- =2, -2k1-1=0,解得 k1=1 .1k1-1 1-1k1-1 1k1 k21 2综上所得,直线 l1的斜率为 1 .25
