1、1专题 12 空间几何体的三视图、表面积及体积空间几何体的三视图核 心 提 炼 一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” (1)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A3 B2 2 3C2 D.22(2)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成 ，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A10 B12 C14 D16【答案
2、】 (1)B (2)B【解析】 (1)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 PABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中由图可知该四棱锥的最长棱为 PD， PD 2 .故选 B.22 22 22 32(2)由多面体的三视图还原直观图如图所示该几何体由上方的三棱锥 ABCE 和下方的三棱柱 BCEB1C1A1构成，其中平面 CC1A1A 和平面 BB1A1A 是梯形，则梯形的面积之和为 2 12.故选 B.（ 2 4） 22由三视图还原到直观图的三个步骤(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的
3、位置 格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是( )83【答案】D.【解析】由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为 2，其底面为正方形，面积为 224，因为该几何体的体积为 42 ，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形选 D.13 83空间几何体的表面积和体积考向 1 由空间几何体的结构特征计算表面积与体积1柱体、锥体、台体的侧面积公式3(1)S 柱侧 ch(c 为底面周长， h 为高)；(2)S 锥侧 ch( c 为底面周长， h为斜高)；12(3)S 台侧 (c c) h( c， c 分
4、别为上下底面的周长， h为斜高)122柱体、锥体、台体的体积公式(1)V 柱体 Sh(S 为底面面积， h 为高)；(2)V 锥体 Sh(S 为底面面积， h 为高)；13(3)V 台 (S S) h(S， S分别为上下底面面积， h 为高)(不要求记忆)13 SS(2017高考全国卷)如图，在四棱锥 PABCD 中， AB CD，且 BAP CDP90. (1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PA PD AB DC， APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积83【解析】 (1)证明：由已知 BAP CDP90，得 AB AP， CD PD.由于 AB CD，
5、故 AB PD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.4考向 2 由三视图计算空间几何体的体积和表面积根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状 第二步：由三视图中的数量标示确定该几何体的各个度量第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解 格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63 C42 D.36(2)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A1836 B54
6、185 5C90 D81【答案】 (1)B (2)B空间几何体的表面积与体积的求法(1)据三视图求表面积、体积时，解题的关键是对所给三视图进行分析，得到几何体的直观图；(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，求组合体的表面积时要注意重合部分的面积；(3)求规则几何体的体积时，只需确定底面与相应的高，而求一些不规则几何体的体积时，往往需采用分5割或补形思想，转化求解 【对点训练】1(2019广州五校协作体第一次诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 1 B（ 10 22） 2 136C. 1 D. 1（ 11 2） 2 （ 11 22） 2【答案】C.【解析】由三视图可知
7、该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为 122 22 321，选 C.（ 11 2） 22(2017高考山东卷)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为14_【答案】：2 2【解析】：由题意知该几何体是由一个长方体和两个 圆柱体构成，其中长方体的体积 V12112，14两个 圆柱体的体积之和 V2 1 212 ，所以该几何体的体积 V V1 V22 .14 14 2 2与球有关的切、接问题考向 1 外接球(1)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( 6)A B34C. D. 2 4(2)已知三棱锥 S
8、ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面SCB， SA AC， SB BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_【答案】 (1)B (2)36【解析】 (1)球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的 ，球的半径为 1，则圆柱底面圆的半径 r 12 ，故该圆柱的体积 V( )21 ，故选 B.1 （ 12） 2 32 32 34(2)设球 O 的半径为 R，因为 SC 为球 O 的直径，所以点 O 为 SC 的中点，连接 AO， OB，因为SA AC， SB BC，所以 AO SC， BO SC，因为平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面
9、SCB SC，所以 AO平面 SCB，所以 VSABC VASBC S SBCAO ( SCOB)AO，即 9 ( 2RR)R，解得13 13 12 13 12R3，所以球 O 的表面积为 S4 R243 236.考向 2 内切球(1)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC， AB6， BC8， AA13，则 V的最大值是( )A4 B92C6 D.323(2)如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱 O1O2 的体积为 V1 ，球 O 的体积为 V2 ，则 的值是_ 格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥
10、的三V1V2视图，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A136 B347C25 D18【答案】B.【解析】由三视图知，该四棱锥的底面是边长为 3 的正方形、高为 4，且有一条侧棱垂直于底面，所以可将该四棱锥补形为长、宽、高分别为 3、3、4 的长方体，该长方体外接球的半径 R 即为该四棱锥外接球的半径，所以 2R ，解得 R ，所以该四棱锥外接球的表面积为 4 R234，选 B.32 32 423427(2018合肥质量检测(二)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )A. B283 2823C28 D226 3【答案】A.【解析】由三视图知，该几何体为三棱台，其上、下底面分
11、别是直角边为 2，4 的等腰直角三角形，高为2，所以该几何体的体积 V 22 44 2 ，故选13 12 12 （ 1222） （ 1244） 283A.8一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A726 B724C486 D4848【答案】A.【解析】由三视图知，该几何体由一个正方体的 部分与一个圆柱的 部分组合而成(如图所示)，其表面积34 14为 162(164)24(22)726，故选 A.9(20 19广西三市联考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A6 B9C12 D18【答案】B.【解析】该几何体是一个直三棱柱截去 所
12、得，如图所示，其体积为 3429.14 34 1210(2019贵阳检测)三棱锥 PABC 的四个顶点都在体积为 的球的表面上，底面 ABC 所在的小圆面5003积为 16，则该三棱锥的高的最大值为( )A4 B6C8 D10【答案】C.【解析】依题意，设题中球的球心为 O、半径为 R， ABC 的外接圆半径为 r，则 ，解得4 R33 5003R5，由 r216，解得 r4，又球心 O 到平面 ABC 的距 离为 3，因此三棱锥 PABC 的高的R2 r2最大值为 538，选 C. (2)在平面 PCBM 内，过点 M 作 MN BC 交 BC 于点 N，连接 AN，则 CN PM1，又 P
13、M BC，所以四边形 PMNC 为平行四边形，所以 PC MN 且 PC MN，由(1)得 PC平面 ABC，所以 MN平面 ABC，在 ACN 中， AN2 AC2 CN22 ACCNcos 1203，即 AN .3又 AM2，所以在 Rt AMN 中， MN1，所以 PC MN1.9在平面 ABC 内，过点 A 作 AH BC 交 BC 的延长线于点 H，则 AH平面 PMC，因为 AC CN1， ACB120，所以 ANC30.所以在 Rt AHN 中， AH AN ，12 32而 S PMC 11 ，12 12所以 VPMAC VAPMC .13 12 32 3126(2019成都第一
14、次诊断性检测)如图(1)，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别是 AB， BC 的中点， BD 与 EF交于点 H，点 G， R 分别在线段 DH， HB 上，且 .将 AED， CFD， BEF 分别沿 DE， DF， EF 折起，DGGH BRRH使点 A， B， C 重合于点 P，如图(2)所示(1)求证： GR平面 PEF；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径【解析】：(1)证明：在正方形 ABCD 中， A， ABC， C 为直角所以在三棱锥 PDEF 中， PE， PF， PD 两两垂直所以 PD平面 PEF.因为 ，即 ，所以在 PDH 中， RG PD.DGGH BRRH DGGH PRRH所以 GR平面 PEF.(2)正方形 ABCD 边长为 4.由题意知， PE PF2， PD4， EF2 ， DF2 .2 5所以 S PEF2， S DPF S DPE4.S DEF 2 6.12 2 （ 25） 2 （ 2） 2设三棱锥 PDEF 内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 VPDEF 224 (S PEF2 S DPF S DEF)r，解得 r .13 12 13 12所以三棱锥 PDEF 的内切球的半径为 .1210
