1、1专题 13 空间点、线、面的位置关系空间线面位置关系的判断核 心 提 炼 空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断(1)如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )(2)(2017高考全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D
2、 A1E AC【答案】 (1)A (2)C【解析】 (1)对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 AB CD， M， Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ CD，所以 AB MQ，又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB平面 MNQ.故选 A.(2)由正方体的性质，得 A1B1 BC1， B1C BC1，且 B1C A1B1 B1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面A1B1CD，所以 A1E BC1，故选 C.判断空间线面位置关系应注意的问题2解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的
3、各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 【对点训练】1(2019湖北七市(州)联考)设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直【答案】B2(2019成都第一次诊断性检测)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 与棱 AB， AC， A1C1， A1B1分别交于点 E， F， G，
4、 H，且直线 AA1平面 .有下列三个命题：四边形 EFGH 是平行四 边形；平面 平面BCC1B1；平面 平面 BCFE.其中正确的命题有( )A BC D【答案】C.【解析】AA1平面 ，平面 平面 AA1B1B EH，所以 AA1 EH.同理 AA1 GF，所以 EH GF，又 ABCA1B1C1是直三棱柱，易知 EH GF AA1，所以四边形 EFGH 是平行四边形，故正确；若平面 平面 BB1C1C，由平面 平面 A1B1C1 GH，平面 BCC1B1平面 A1B1C1 B1C1，知 GH B1C1，而 GH B1C1不一定成立，故错误；由 AA1平面 BCFE，结合 AA1 EH
5、知 EH平面 BCFE，又 EH平面 ，所以平面 平面 BCFE.综上可知，选 C.空间平行、垂直关系的证明核 心 提 炼 31直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a ba .(2)线面平行的性质定理： a ， a ， ba b.(3)面面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b .(4)面面平行的性质定理： ， a， ba b.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l nl .(2)线面垂直的性质定理： a ， b a b.(3)面面垂直的判定定理： a ， a .(4)面面垂直
6、的性质定理： ， l， a ， a la .(2017高考北京卷)如图，在三棱锥 PABC 中， PA AB， PA BC， AB BC， PA AB BC2， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点(1)求证： PA BD； 5(2019 成都第二次诊断性检测)已知 m， n 是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且m ， n .有下列命题：若 ，则 m n；若 ，则 m ；若 l，且m l， n l，则 ；若 l，且 m l， m n，则 .其中真命题的个数是( )A0 B1C2 D3【答案】B.【解析】对于，直线 m， n 可能异面；易知正确；对于，直线 m， n
7、 同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，错误；对于，当直线 n l 时，不能推出两个平面垂直故真命题 的个数为 1.故选 B.6.如图所示，直线 PA 垂直于 O 所在的平面， ABC 内接于 O，且 AB 为 O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点现有结论： BC PC； OM平面 APC；点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长其中正确的是_【答案】：4【解析】：对于，因为 PA平面 ABC，所以 PA BC.因为 AB 为 O 的直径，所以 BC AC，所以 BC平面 PAC，又 PC平面 PAC，所以 BC PC；对于，因为点 M 为线段 PB 的中点，所以 OM PA，
8、因为 PA平面 PAC， 所以 OM平面 PAC；对于，由知 BC平面 PAC，所以线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离，故都正确7已知 ， 是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面 ， ， ；存在一条直线 a， a ；存在两条垂直的直线 a， b， a ， b .其中，所有能成为“ ”的充要条件的序号是_答案：8(2019武昌调研)在矩形 ABCD 中， AB BC，现将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直；存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直；存在某个位置，使得直线
9、 AD 与直线 BC 垂直其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)答案：解析：假设 AC 与 BD 垂直，过点 A 作 AE BD 于 E，连接 CE.则Error! BD平面 AECBD CE，而在平面BCD 中， EC 与 BD 不垂直，故假设不成立，错假设 AB CD，因为 AB AD，所以 AB平面 ACD，所以 AB AC，由 AB BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使 AB CD，故假设成立，正确假设 AD BC，因为 DC BC，所以 BC平面 ADC，所以 BC AC，即 ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，而 AB BC，故矛盾，假设不成立，错综上，填.9(2
10、019石家庄质量检测(一)5如图，四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，AD BC， CD BC， AD2， AB BC3， PA4， M 为 AD 的中点， N 为 PC 上一点，且 PC3 PN.(1)求证： MN平面 PAB；(2)求点 M 到平面 PAN 的距离【解析】：(1)证明：在平面 PBC 内作 NH BC 交 PB 于点 H，连接 AH，在 PBC 中， NH BC，且 NH BC1， AM AD1.13 12又 AD BC，所以 NH AM 且 NH AM，所以四边形 AMNH 为平行四边形，所以 MN AH，又 AH平面 PAB， MN平面
11、 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)连接 AC， MC， PM，平面 PAN 即为平面 PAC，设点 M 到平面 PAC 的距离为 h.由题意可得 CD2 ， AC2 ，所以 S PAC PAAC4 ，2 312 3所以 S AMC AMCD ，12 2由 VMPAC VPAMC，得 S PACh S AMCPA，13 13即 4 h 4，所以 h ，3 263所以点 M 到平面 PAN 的距离为 .6310(2017高考全国卷)如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD CD.(1)证明： AC BD；(2)已知 ACD 是直角三角形， AB BD.若 E 为棱 BD 上与
12、 D 不重合的点，且 AE EC，求四面体 ABCE 与四面6体 ACDE 的体积比【解析】：(1)证明：取 AC 的中点 O，连接 DO， BO.因为 AD CD，所以 AC DO.又由于 ABC 是正三角形，所以 AC BO.从而 AC平面 DOB，故 AC BD.(2)连接 EO.由(1)及题设知 ADC90，所以 DO AO.在 Rt AOB 中， BO2 AO2 AB2.又 AB BD，所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB90.由题设知 AEC 为直角三角形，所以 EO AC.12又 ABC 是正三角形，且 AB BD，所以 EO BD.12故 E 为 BD
13、 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，四面体 ABCE 的体积为四面体12ABCD 的体积的 ，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11.12能力提升1(2016高考全国卷)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为( )A. B32 22C. D.33 13【答案】A.【解析】因为过点 A 的平面 与平面 CB1D1平行，平面 ABCD平面 A1B1C1D1，所以 m B1D1 BD，又 A1B平面 CB1D1，所以 n A1B，
14、则 BD 与 A1B 所成的角为所求角，所以 m， n 所成角的正弦值为 ，选 A.322如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点，且 AP ，过 B1、 D1、 P 的平面交a3底面 ABCD 于 PQ， Q 在直线 CD 上，则 PQ_7答案： a223解析：因为平面 A1B1C1D1平面 ABCD，而平面 B1D1P平面 ABCD PQ，平面 B1D1P平面 A1B1C1D1 B1D1，所以B1D1 PQ.连接 BD，因为 B1D1 BD，所以 BD PQ，设 PQ AB M，因为 AB CD，所以 APM DPQ.所以 2，即 PQ2 PM.
15、PQPM PDAP又知 APM ADB，所以 ，PMBD APAD 13所以 PM BD，又 BD a，13 2所以 PQ a.2233(2019.洛阳第一次统考)如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，AB CD， AB BC， DC BC AB1，点 M 在线段 EC 上12(1)证明：平面 BDM平面 ADEF；(2)若 AE平面 MDB，求三棱锥 EBDM 的体积8【解析】：(1)证明：因为 DC BC1， DC BC，所以 BD .2在梯形 ABCD 中， AD ， AB2，2所以 AD2 BD2 AB2，所以 ADB90.所以 AD BD.又平面 ADEF平面
16、 ABCD， ED AD，平面 ADEF平面 ABCD AD， ED平面 ADEF，所以 ED平面 ABCD，因为 BD平面 ABCD，所以 BD ED.又 AD DE D，所以 BD平面 ADEF.又 BD平面 BDM，所以平面 BDM平面 ADEF.(2)如图，连接 AC， AC BD O，连接 MO，因为平面 EAC平面 MBD MO， AE平面 MDB， AE平面 EAC.所以 AE OM.又 AB CD，所以 2，EMMC AOOC ABCDS EDM S EDC 1 .23 23 12 2 23因为 ED平面 ABCD， BC平面 ABCD，所以 DE BC.因为 AB CD， A
17、B BC，所以 BC CD.又 ED DC D，所以 BC平面 EDC.所以 VEBDM VBEDM S EDMBC 1 .13 13 23 294如图 1，在直角梯形 ABCD 中， ADC90， CD AB， AD CD AB2，点 E 为 AC 中点将 ADC 沿12AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 D ABC，如图 2 所示(1)在 CD 上找一点 F，使 AD平面 EFB；9(2)求点 C 到平面 ABD 的距离【解析】： (1)如图，取 CD 的中点 F，连接 EF， BF，在 ACD 中，因为 E， F 分别为 AC， CD 的中点，所以 EF 为 ACD 的中位线，所以 AD EF，因为 EF平面 EFB， AD平面 EFB，所以 AD平面 EFB.因为三棱锥 B ACD 的高 BC2 ，2S ACD ADCD2.12又 VC ABD VB ADC，即 2 h 22 ，13 3 13 2解得 h .263即点 C 到平面 ABD 的距离为 .26310
