1、1数列的综合问题1删去正整数数列 1,2,3， 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第 2 018 项是( )A2 062 B2 063C2 064 D2 065答案 B解析 由题意可得，这些数可以写为 12,2,3,22,5,6,7,8,32，第 k 个平方数与第 k1 个平方数之间有2k 个正整数，而数列 12,2,3,22,5,6,7,8,32，45 2共有 2 025 项，去掉 45 个平方数后，还剩余 2 025451 980(个)数，所以去掉平方数后第 2 018 项应在 2 025 后的第 38 个数，即是原来数列的第 2 063 项，即为 2 063.2已知数列 an
2、满足 010 的 n 的最小值为( )A60 B61 C121 D122答案 B 解析 由 a 8 a 40，得 a 8，41 21 214a21所以 a 88( n1)8 n，2n4a2n所以 2 a 48 n4，(an2an) 2n 4a2n所以 an 2 ，2an 2n 1即 a 2 an20，2n 2n 1所以 an ，2 2n 12 2n 12 2n 1 2n 1因为 010 得 11，2n 1所以 n60.3已知数列 an满足 a11， an1 an2( nN *)， Sn为数列 an的前 n 项和 ，则( )A an2 n1 B Sn n2C an2 n1 D Sn2 n1答案
3、B2解析 由题意得 a2 a12， a3 a22， a4 a32，an an1 2， a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 2( n1)， an a12( n1)， an2 n1. a11， a23， a35， an2 n1， a1 a2 a3 an1352 n1， Sn (12 n1) n2.n24数列 an满足 a1 ， an (nN *)，若对 nN *，都有 k 成立，则最小的整数65 an 1 1an 1 1a1 1a2 1ank 是( )A3 B4 C5 D6答案 C5已知 f(n)表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，例如：12 的因数有 1,2,3,4,6,12，
4、则 f(12)3；21 的因数有 1,3,7,21，则 f(21)21，那么 (i)的值为( )100i 51fA2 488 B2 4 95 C2 498 D2 500答案 D解析 由 f(n)的定义知 f(n) f(2n)，且若 n 为奇数则 f(n) n，3则 (i) f(1) f(2) f(100)100i 1f13599 f(2) f(4) f(100) f(1) f(2) f(50)50(1 99)22 500 (i)，50i 1f (i) (i) (i)2 500.100i 51f100i 1f50i 1f6若数列 an满足 1，且 a15，则数列 an的前 100 项中，能被 5
5、 整除的项数为( )an 12n 5 an2n 3A42 B40 C30 D20答案 B解析 数列 an满足 1，an 12n 5 an2n 3即 1，且 1，an 12 n 1 3 an2n 3 a121 3数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，an2n 3 n， an2n 3由得 bn n2，从而 cn n2n2 .1 n 1 n 2记 C1 123 134 1 n 1 n 2 (12 13) (13 14) ( 1n 1 1n 2) ，n2 n 2记 C212 1 22 0 n2n2 ，则 2C212 022 1 n2n1 ，两式相减得 C2( n1)2 n1 ，12从而 Tn
6、 n1)2 n1 n2 n 2 12 ( n1)2 n1 ，n 1n 24则不等式 Tn0，因为 nN *且 n1，故 n9，从而最小正整数 n 的值是 10.14已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn n2( an2)( nN *)(1)证明：数列 an1为等比数列；(2)若 bn anlog2(an1)，数列 bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn.(1)证明 Sn n2( an2)，当 n2 时， Sn1 ( n1)2( an1 2)，两式相减，得 an12 an2 an1 ， an2 an1 1， an12( an1 1)， 2( n2)(常数)an 1an 1 1又当 n
7、1 时， a112( a12)，得 a13， a112，数列 an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列(2)解 由(1)知， an122 n1 2 n， an2 n1，又 bn anlog2(an1)， bn n(2n1)， Tn b1 b2 b3 bn(1222 232 3 n2n)(123 n)，设 An1222 232 3( n1)2 n1 n2n，则 2An12 222 3( n1)2 n n2n1 ，两式相减，得 An22 22 32 n n2n1 n2n1 ，2 1 2n1 2 An( n1)2 n1 2.又 123 n ，n n 12 Tn( n1)2 n1 2 (nN *)n n 125
