1、1空间几何体1已知 ， 是两个不同的平面， l 是一条直线，给出下列说法：若 l ， ，则 l ；若 l ， ，则 l ；若 l ， ，则 l ；若 l ， ，则 l .其中说法正确的个数为( )A3 B2 C1 D4答案 C解析 若 l ， ，则 l 或 l ，不正确；若 l ， ，则 l 或 l ，不正确；若 l ， ，则 l ，正确；若 l ， ，则 l 或 l 或 l 与 相交且 l与 不垂直，不正确，故选 C.2如图， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH， MN 是异面直线的图形的序号为( )A B C D答案 D 解析 由题意可得图中 GH 与
2、MN 平行，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意；图中 GH 与 MN 相交，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意 28已知正四棱锥 P ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 ，若该正四棱锥的体积为22，则此球的体积为( )A. B. C. D.1243 62581 50081 2569答案 C解析 如图所示，设底面正方形 ABCD 的中心为 O，正四棱锥 P ABCD 的外接球的球心为 O，底面正方形的边长为 ，2 O D1，正四棱锥的体积为 2， VP ABCD ( )2PO2，解得 PO3，13 2 OO| PO PO|3 R|，在 Rt OO D 中
3、，由勾股定理可得 OO 2 O D2 OD2，即(3 R)21 2 R2，解得 R ，53 V 球 R3 3 .43 43 (53) 500819在三棱锥 S ABC 中，侧棱 SA底面 ABC， AB5， BC8， ABC60， SA2 ，则该三棱锥的外5接球的表面积为( ) A. B. 643 2563C. D. 4363 2 048 327答案 B解析 由题意知， AB5， BC8， ABC60，则根据余弦定理可得3AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABC，解得 AC7，设 ABC 的外接圆半径为 r，则 ABC 的外接圆直径 2r ， r ，ACsin B 732 73又侧棱
4、SA底面 ABC，三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离 d SA ，则外接球的半径 R 12 5 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 S4 R2 .(73)2 ( 5)2 643 256310一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A16 B8 82C2 2 8 D4 4 82 6 2 6答案 D解析 由三视图知，该几何体是底面边长为 2 的正方形，高 PD2 的四棱锥 P ABCD，因为22 22 2PD平面 ABCD，且四边形 ABCD 是正方形，易得 BC PC， BA PA，又 PC 2 ，PD2 CD2 22 2 2 2 3所以 S PCD S PAD 22
5、2 ，12 2 2S PAB S PBC 2 2 2 .12 2 3 6所以几何体的表面积为 4 4 8.6 211在正三棱锥 S ABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AM SB，底面边长 AB2 ，则正三棱锥 S ABC 的外24接球的表面积为( )A6 B12C32 D36答案 B解析 因为三棱锥 S ABC 为正三棱锥，所以 SB AC，又 AM SB， AC AM A， AC， AM平面 SAC，所以SB平面 SAC，所以 SB SA， SB SC，同理 SA SC，即 SA， SB， SC 三线两两垂直，且 AB2 ，所以2SA SB SC2，所以(2 R)232 212，所以
6、球的表面积 S4 R212，故选 B.12若四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.815 8120 1015 10120答案 C解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥 P ABCD，如图所示，平面 PAD平面 ABCD，由于 PAD 为等腰三角形， PA PD3， AD4，四边形 ABCD 为矩形， CD2，过 PAD 的外心 F 作平面 PAD的垂线，过矩形 ABCD 的中心 H 作平面 ABCD 的垂线，两条垂线交于一点 O，则 O 为四棱锥外接球的球心，在 PAD 中，cos APD ，则 sin APD ，32 32 42233
7、 19 4 5952PF ， PF ，ADsin APD 44 59 9 55 9 510PE ， OH EF ，9 4 5 59 510 510BH ，12 16 4 5OB ，OH2 BH25100 5 50510所以 S4 .505100 101513如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧 面积的取值范围为( )A(1,2) B(1,2C(0,2 D(0,2)答案 D解析 设四棱锥一个侧面为 APQ， APQ x，过点 A 作 AH PQ，则 AH PQtan x 12 AC PQ2 2 2 PQ2 PQ，212 PQ ， AH ，2 21
8、tan x 2tan x1 tan x S4 PQAH2 PQAH122 ， x ，2 21 tan x 2tan x1 tan x 8tan x 1 tan x 2 4， 2) S 8tan x 1 tan x 2 8tan x1 tan2x 2tan x 2，81tan x tan x 2 82 26，(当 且 仅 当 tan x 1， 即 x 4时 取 等 号 )而 tan x0，故 S0， S2 时， APQ 是等腰直角三角形，顶角 PAQ90，阴影部分不存在，折叠后 A 与 O 重合，构不成棱锥， S 的取值范围为(0,2)，故选 D. 14已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图
9、是顶角为 120的等腰三角形，侧(左)视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为_，该三棱锥的外接球的体积为_答案 4 3 1520 53解析 由三视图得几何体的直观图如图所示， S 表 2 22 2 2 112 12 3 5 12 34 .15 3以 D 为原点， DB 所在直线为 x 轴， DE 所在直线为 y 轴， DA 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系D xyz，则 D(0,0,0)， A(0,0,2)， B(2,0,0)， C(1， ，0)，3设球心坐标为( x， y， z)，( x2) 2 y2 z2 x2 y2 z2，x2 y2( z2 )2 x2 y2 z2，(x1) 2(
10、y )2 z2 x2 y2 z2，3 x1， y ， z1， 37球心坐标是(1， ，1)，3球的半径是 .12 ( 3)2 12 5球的体积是 3 .43 ( 5) 20 5315.如图所示，三棱锥 P ABC 中， ABC 是边长为 3 的等边三角形， D 是线段 AB 的中点， DE PB E，且DE AB，若 EDC120， PA ， PB ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为_32 3 32答案 13解析 在三棱锥 P ABC 中， ABC 是边长为 3 的等边三角形，设 ABC 的外心为 O1，外接圆的半径 O1A ，在 PAB 中， PA ， PB ， AB3，满足 PA2
11、 PB2 AB2，所以 PAB 为直角三角形，32sin 60 3 32 3 32 PAB 的外接圆的圆心为 D，由于 CD AB， ED AB， EDC120为二面角 P AB C 的平面角，分别过两个三角形的外心 O1， D 作两个半平面的垂线交于点 O，则 O 为三棱锥 P ABC 的外接球的球心 ，在 Rt OO1D 中， ODO130， DO1 ，32则 cos 30 ， OD1，连接 OA，设 OA R，O1DOD 32OD则 R2 AD2 OD2 21 2 ，(32) 134S 球 4 R24 13. 134如图，过 P 作 PO AE，垂足为 O，因为平面 PAE平面 ABCDE，平面 PAE平面 ABCDE AE， PO平面 PAE， 所以 PO平面 ABCDE， PO 为五棱锥 P ABCDE 的高在平面 PAE 内， PA PE10 AE6， P 在以 A， E 为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，由椭圆的几何 性质知，当点 P 为短轴端点时， P 到 AE 的距离最大，此时 PA PE5， OA OE3，所以 POmax4，所以( VP ABCDE)max SABCDEPOmax13 284 .13 11238(2)证明 连接 OB，如图，由(1)知， OA AB3，
