1、1空间中的平行与垂直【2019 年高考考纲解读】1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组 合体为载体进行考查，难度中档【重点、难点剖析】1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a ba .(2)线面平行的性质定理： a ， a ， ba b.(3)面面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b .(4)面面平行的性质定理： ， a， ba b
2、.2平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l nl .(2)线面垂直的性质定理： a ， b a b.(3)面面垂直的判定定理： a ， a .(4)面面垂直的性质定理： ， l， a ， a la .4垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个
3、平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.2【题型示例】题型一 空间中点线面位置关系的判断(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断 【例 1】2018全国卷在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，则异面直线 AD1与 DB1所成3角的余弦值为( )A. B.15 56C. D.55 22【解析】 如图(1)，在长方体 ABCDA1B1C1D1 的一侧补上一个相同的长方体方 法 1：A B BAA1 B1 B1A1.连接
4、 B1B，由长方体性质可知， B1B AD1，所以 DB1B为异面直线 AD1 与 DB1 所成的角或其补角连接 DB，由题意，得 DB ，12 1 1 2 5B B1 2，12 3 2DB1 .12 12 3 2 5在 DB B1 中，由余弦定理，得DB 2 B B 1 DB 12 22B B1DB1cos DB1B，即 54522 cos DB1B， cos DB1B .555故选 C.3如图(2)，分别以 DA， DC， DD1 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系方 法 2：【答案】C【方法技巧】判断空间位置关系的两种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直
5、的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.【变式探究】在正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱所在直线与直线 BA1是异面直线的条数为( )A4 B5 C6 D74解析：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线 CD， C1D1， C1C， D1D， B1C1， AD，共有 6 条直线与直线 BA1是异面直线，故选 C.答案：C【举一反三】设 l， m， n 为三条不同的直线， 为一个平面，则下列命题中正确的个数是( )若 l ，则 l 与 相交；若 m ， n ， l m， l n，则 l ；若
6、 l m， m n， l ，则n ；若 l m， m ， n ，则 l n.A1 B2C3 D4解析：对于，若 l ，则 l 与 不可能平行， l 也不可能在 内，所以 l 与 相交，正确；对于，若 m ， n ， l m， l n，则有可能是 l ，故 错误；对于，若 l m， m n，则 l n，又l ，所以 n ，故正确；对于，因为 m ， n ，所以 m n，又 l m，所以 l n，故正确，选 C.答案：C【变式探究】 【2017 江苏，15】 如图，在三棱锥 A-BCD 中， AB AD， BC BD， 平面 ABD平面 BCD， 点 E， F(E 与 A， D 不重合)分别在棱
7、AD， BD 上，且 EF AD. 求证：（1） EF平面 ABC；（2） AD AC.(第 15 题)ADBCEF5【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面 内，因为 AB AD， ，所以 .ABDEFADEFAB又因为 平面 ABC， 平面 ABC，所以 EF平面 ABC.EFAB【变式探究】 【2016 高考江苏卷】如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， D， E 分别为 AB， BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 1DAF ，11AC. 求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F. 【答案】 （1）详见解析（2）详见解
8、析6【解析】证明：（1）在直三棱柱 中， 1/AC在三角形 ABC 中，因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点.所以 /DEAC，于是 1/EAC又因为 DE平面 平面 1F所以直线 DE/平面 1F（2）在直三棱柱 中，因为 1AC平面 1B，所以 1AC又因为 所以 1平面 1因为 BD平面 A，所以 1CBD又因为所以因为直线 ，所以 1BDE平 面【举一反三】已 知 m， n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，
9、n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析 对于 A， ， 垂直于同一平面， ， 关系不确定，A 错；对于 B， m， n 平行于同一平面， m， n关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C， ， 不平行，但 内能找出平行于 的直线，如 中平行于 ， 交线的直线平行于 ，故 C 错；对于 D，若假设 m， n 垂直于同一平面，则 m n，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确答案 D【变式探究】如图，在直三棱柱 ABC A B C中， AB AA AC2， BAC ， 点 D， E 分别是23BC， A B的中点7(1)求证： DE平面 ACC A；(2)求二面角 B A
10、D C的余弦值【解析】(1)证明：取 AC 的中点 F，连接 DF， A F，则 DF AB，又 A E AB，所以 DF A E，又因为 DF AB， A E AB，12 12所以 DF AE，所以四边形 DFA E 是平行四边形，所以 ED A F，又 A F平面 ACC A，所以 ED平面 ACC A.(2)在平面 ABC 中，以过点 A 且垂直于 AC 的直线为 x 轴，直线 AC 为 y 轴， AA为 z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz.所以点 A(0,0,0)， B( ，1,0)， C(0,2,0)， B( ，1,2)， C(0,2,2)， D .3 3 (32， 12， 0)
11、所以 ， ( ，1,2)， (0,2,2)AD ( 32， 12， 0) AB 3 AC 设平面 B AD 的法向量为 m( x， y， z)，则由 m 0 和 m 0，得AD AB 8Error!取 m(1， ， )3 3同理，可取平面 C AD 的法向量 n(1， ， )3 3设二面角 B AD C的平面角为 ，易知 0 ，则 cos . 2 |mn|m|n| 17【变式探究】设 ， ， 是三个不重合的平面， l 是直线，给出下列四个命题：若 ， l ，则 l ；若 l ， l ，则 ；若 l 上有两点到 的距离相等，则 l ；若 ， ，则 .其中正确命题的序号是_【解析】由线线、线面、面
12、面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为.【答案】【规律方法】这类题为高考常考题型，其实质为多项选择主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选【变式探究】如图，三棱锥 A BCD 中， AB AC BD CD3， AD BC2，点 M， N 分别是 AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是_解析 连接 DN，作 DN 的中点 O，连接 MO， OC.在 AND 中 M 为 AD 的中点，则 OM 綉 AN.所以异面直线12AN， CM 所成角为 CMO，在 ABC 中， AB AC3， BC2
13、，则 AN2 ， OM .在 ACD 中，同理可知2 2CM2 ，在 BCD 中， DN2 ，在 Rt ONC 中， ON ， CN1 OC .在 CMO 中，由余弦定理2 2 2 3cos CMO .|MC|2 |MO|2 |OC|22|MC|MO| 8 2 322 2 2 78答案 78【变式探究】(1)已知直线 l， m 与平面 ， ， l ， m ，则下列命题中正确的是( )A若 l m，则必有 B若 l m，则必有 C若 l ，则必有 D若 ，则必有 m 答案 C解析 对于选项 A，平面 和平面 还有可能相交，所以选项 A 错误；对于选项 B，平面 和平面 9还有可能相交且不垂直或平
14、行，所以选项 B 错误； 对于选项 C，因为 l ， l ，所以 ，所以选项 C 正确；对于选项 D，直线 m 可能和平面 平行或相交，所以选项 D 错误(2)如图，平面 平面 ， l， A， C 是 内不同的两点， B， D 是 内不同的两点，且A， B， C， D直线 l， M， N 分别是线段 AB， CD 的中点下列判断正确的是( )A当 CD2 AB 时， M， N 两点不可能重合B M， N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交C当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 相交D当 AB， CD 是异面直线时，直线 MN 可能与 l
15、平行答案 B解析 由于直线 CD 的两个端点都可以动，所以 M， N 两点可能重合，此时两条直线 AB， CD 共面，由于两条线段互相平分，所以四边形 ACBD 是平行四边形，因此 AC BD，而 BD ， ACB，所以由线面平行的判定定理可得 AC ，又因为 AC ， l，所以由线面平行的性质定理可得 AC l，故选 B.【感悟提升】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【变式探究】
16、(1)已知直线 a， b，平面 ， ， ，下列命题正确的是( )A若 ， ， a，则 a B若 a， b， c，则 a b cC若 a， b a，则 b D若 ， a， b ，则 b a答案 A解析 A 中，若 ， ， a，则 a ，该说法正确；B 中，若 a， b， c，在三棱锥 P ABC 中，令平面 ， ， 分别为平面 PAB， PAC， PBC，交线 a， b， c 为 PA， PB， PC，不满足 a b c，该说法错误；C 中，若 a， b a，有可能 b ，不满足 b ，该说法错误；10D 中，若 ， a， b ，正方体 ABCD A1B1C1D1中，取平面 ， 为平面 ABCD
17、， ADD1A1，直线 b 为 A1C1，满足 b ，不满足 b a，该说法错误(2)若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内， l2在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是A l 与 l1， l2都相交B l 与 l1， l2都不相交C l 至少与 l1， l2中的一条相交D l 至多与 l1， l2中的一条相交答案 C解析 方法一 如图 1， l1与 l2是异面直线， l1与 l 平行， l2与 l 相交，故 A，B 不正确；如图 2， l1与l2是异面直线， l1， l2都与 l 相交，故 D 不正确，故选 C.方法二 因为 l 分别与 l1， l2共面，故
18、l 与 l1， l2要么都不相交，要么至少与 l1， l2中的一条相交若 l与 l1， l2都不相交，则 l l1， l l2，从而 l1 l2，与 l1， l2是异面直线矛盾，故 l 至少与 l1， l2中的一条相交，故选 C.题型二 空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化【例 2】2018北京卷如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面ABCD， PA PD， PA PD， E， F 分别为 AD， PB 的中点 (1)求证： PE BC；11(2)求证：平面 PA
19、B平面 PCD；(3)求证： EF平面 PCD.证明：(1)因为 PA PD， E 为 AD 的中点，所以 PE AD.因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC AD.所以 PE BC.(2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，所以 AB平面 PAD，所以 AB PD.又因为 PA PD，所以 PD平面 PAB.所以平面 PAB平面 PCD.(3)如图，取 PC 的中点 G，连接 FG， DG.因为 F， G 分别为 PB， PC 的中点，所以 FG BC， FG BC.12因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，所以 DE BC， D
20、E BC.12所以 DE FG， DE FG.所以四边形 DEFG 为平行四边形所以 EF DG.又因为 EF平面 PCD， DG平面 PCD，所以 EF平面 PCD.【方法技巧】1证明线线平行的 4 种常用方法(1)利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行平行转换；(3)利用三角形的中位线定理证线线平行；12(4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换2证明线线垂直的 3 种常用方法(1)利用等腰三角形底边中线即高线的性质；(2)勾股定理； (3)若 M 是 PC 的中点，求三棱锥 M ACD 的体积(1)证明 AB DC，且 AB平面 PCD， CD平面
21、 PCD. AB平面 PCD.(2)证明 在直角梯形 ABCD 中，过 C 作 CE AB 于点 E，则四边形 ADCE 为矩形 AE DC1，又 AB2， BE1，在 Rt BEC 中， ABC45， CE BE1， CB ， 2 AD CE1，则 AC ，AD2 DC2 2 AC2 BC2 AB2， BC AC，又 PA平面 ABCD， PA BCPA AC A， BC平面 PAC(3)解 M 是 PC 中点， M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半VM ACD S ACD PA .13 12 13 (1211) 12 112【变式探究】(1)如图，三棱柱 ABC A1B
22、1C1的各棱长均为 2， AA1平面 ABC， E， F 分别为棱 A1B1， BC 的中点求证：直线 BE平面 A1FC1；平面 A1FC1与直线 AB 交于点 M，指出点 M 的位置，说明理由，并求三棱锥 B EFM 的体积证明 取 A1C1的中点 G，连接 EG， FG，点 E 为 A1B1的中点，13 EG B1C1且 EG B1C1，12 F 为 BC 中点， BF B1C1且 BF B1C1，12所以 BF EG 且 BF EG.所以四边形 BFGE 是平行四边形，所以 BE FG，又 BE平面 A1FC1， FG平面 A1FC1，所以直线 BE平面 A1FC1.解 M 为棱 AB
23、 的中点理由如下：因为 AC A1C1， AC平面 A1FC1， A1C1平面 A1FC1，所以直线 AC平面 A1FC1，又平面 A1FC1平面 ABC FM，所以 AC FM.又 F 为棱 BC 的中点，所以 M 为棱 AB 的中点 BFM 的面积 S BFM S ABC14 22sin 60 ，14 12 34所以三棱锥 B EFM 的体积 VB EFM VE BFM 2 .13 34 36(2)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形， PD平面 ABCD， BAD60，PD2 a， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB 上一点证明：平面 EA
24、C平面 PBD；若 PD平面 EAC，三棱锥 P EAD 的体积为 18 ，求 a 的值314证明 因为 PD平面 ABCD， AC平面 ABCD，所以 PD AC.又四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD，又 PD BD D， PD， BD平面 PBD，所以 AC平面 PBD.又 AC平面 EAC，所以平面 EAC平面 PBD.解 连接 OE.因为 PD平面 EAC，平面 EAC平面 PBD OE，所以 PD OE.又 AC BD O，所以 O 是 BD 的中点，所以 E 是 PB 的中点因为四边形 ABCD 是菱形，且 BAD60，所以取 AD 的中点 H，连接 BH， 可知 BH A
25、D，又因为 PD平面 ABCD， BH平面 ABCD，所以 PD BH.又 PD AD D， PD， AD平面 PAD，所以 BH平面 PAD.由于 AB a，所以 BH a.32因此点 E 到平面 PAD 的距离d BH a a，12 12 32 34所以 VP EAD VE PAD S PADd a2a a a318 .13 13 12 34 312 3解得 a6.【感悟提升】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四15边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是
26、利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可， l ， a l a.【变式探究】如图，在四棱锥 P ABCD 中， ADB90， CB CD，点 E 为棱 PB 的中点(1)若 PB PD，求证： PC BD；(2)求证： CE平面 PAD.证明 (1)取 BD 的中点 O，连接 CO， PO，因为 CD CB，所以 CBD 为等腰三角形，所以 BD CO.因为 PB PD， 所以 PBD 为等腰三角形，所以 BD PO.又 PO CO O，
27、 PO， CO平面 PCO，所以 BD平面 PCO.因为 PC平面 PCO，所以 PC BD.(2)由 E 为 PB 的中点，连接 EO，则 EO PD，又 EO平面 PAD， PD平面 PAD，所以 EO平面 PAD.由 ADB90及 BD CO，可得 CO AD，又 CO平面 PAD， AD平面 PAD，所以 CO平面 PAD.又 CO EO O， CO， EO平面 COE，所以平面 CEO平面 PAD，16而 CE平面 CEO，所以 CE平面 PAD.题型三 平面图形的翻折问题1画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图2把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻
28、折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体的结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础3准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础例 3、2018全国卷如图，在平行四边形 ABCM 中， AB AC3， ACM90.以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB DA.(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP DQ DA，求三棱锥 Q ABP 的体积23【解析】(1)证明：由已知可得， BA
29、C90，即 BA AC.又 BA AD，所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC.(2)解：由已知可得， DC CM AB3， DA3 .2又 BP DQ DA，23所以 BP2 .2如图，过点 Q 作 QE AC，垂足为 E，则 QE 綊 DC.13由已知及(1)可得， DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC， QE1.17因此 ，三棱锥 Q ABP 的体积为VQ ABP S ABPQE 32 sin 4511.13 13 12 2【方法技巧】平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是
30、不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.【变式探究】如图 1，已知菱形 AECD 的对角线 AC， DE 交于点 F，点 E 为 AB 中点将 ADE 沿线段 DE 折起到 PDE 的位置，如图 2 所示(1)求证： DE平面 PCF；(2)求证：平面 PBC平面 PCF；(3)在线段 PD， BC 上是否分别存在点 M， N，使得平面 CFM平面 PEN？若存在，请指出点 M， N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由(1)证明 折叠前，因为四边形 AECD 为菱形，所以 AC D
31、E，所以折叠后， DE PF， DE CF，又 PF CF F， PF， CF平面 PCF，所以 DE平面 PCF.(2)证明 因为四边形 AECD 为菱形，所以 DC AE， DC AE.又点 E 为 AB 的中点，所以 DC EB， DC EB，18所以四边形 DEBC 为平行四边形，所以 CB DE.又由(1)得， DE平面 PCF，所以 CB平面 PCF.因为 CB平面 PBC，所以平面 PBC平面 PCF.(3)解 存在满足条件的点 M， N，且 M， N 分别是 PD 和 BC 的中点如图，分别取 PD 和 BC 的中点 M， N.连接 EN， PN， MF， CM.因为四边形 D
32、EBC 为平行四边形，所以 EF CN， EF BC CN，12所以四边形 ENCF 为平行四边形，所以 FC EN.在 PDE 中， M， F 分别为 PD， DE 的中点，所以 MF PE.又 EN， PE平面 PEN， PE EN E， MF， CF平面 CFM， MF CF F，所以平面 CFM平面 PEN.【感悟提升】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论【变式探究】如图，在 PBE 中， AB PE， D 是 AE 的中点， C 是线段 BE 上的一点，且 AC ， AB
33、AP5AE2，将 PBA 沿 AB 折起使得二面角 P AB E 是直二面角1219(1)求证： CD平面 PAB；(2)求三棱锥 E PAC 的体积(1)证明 因为 AE2，所以 AE4，12又 AB2， AB PE，所以 BE 2 ，AB2 AE2 22 42 5又因为 AC BE，512所以 AC 是 Rt ABE 的斜边 BE 上的中线，所以 C 是 BE 的中点，又因为 D 是 AE 的中点，所以 CD 是 Rt ABE 的中位线，所以 CD AB，又因为 CD平面 PAB， AB平面 PAB，所以 CD平面 PAB.【变式探究】如图 1，矩形 ABCD 中， AB12， AD6，
34、E、 F 分别为 CD、 AB 边上的点，且 DE3， BF4，将 BCE 沿 BE 折起至 PBE 的位置(如图 2 所示)，连接 AP、 PF，其中 PF2 .5(1)求证： PF平面 ABED；(2)求点 A 到平面 PBE 的距离20解析：(1)证明：由翻折不变性可知 PB BC6， PE CE9，在 PBF 中 ， PF2 BF2201636 PB2，所以 PF BF.在题图 1 中，利用勾股定理，得EF ，62 12 3 4 2 61在 PEF 中， EF2 PF2612081 PE2， PF EF.又 BF EF F， BF平面 ABED， EF平面 ABED， PF平面 ABED.(2)由(1)知 PF平面 ABED， PF 为三棱锥 P ABE 的高设点 A 到平面 PBE 的距离为 h，VA PBE Vp ABE，即 69h 1262 ，13 12 13 12 5 h ，8 53即点 A 到平面 PBE 的距离为 .8 5321
