1、1概率与统计【2019 年高考考纲解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.4.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现【重点、考点剖析】一、排列组合与计数原理的应用1分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方
2、法种数相加；如 果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2.名称 排列 组合相同点 都是从 n 个不同元素中取 m(m n)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同二、二项式定理1通项与二项式系数Tr1 C an rbr，其中 C (r0,1,2， n)叫做二项式系数rn rn2各二项式系数之和(1)C C C C 2 n.0n 1n 2n n(2)C C C C 2 n1 .1n 3n 0n 2n三、古典概型与几何概型1古典概型的概率
3、公式P(A) .mn 事 件 A中 所 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数2几何概型的概率公式2P(A).构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 四、相互独立事件和独立重复试验1条件概率在 A 发生的条件下 B 发生的概率：P(B|A) . P ABP A2相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)3独立重复试验、二项分布如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为Pn(k) C pk(1p) nk ，k0,
4、1,2，n.kn五、离散型随机变量的分布列、均值与方差1均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a 2D(X)(a，b 为实数)2两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p)【题型示例】题型一 排列组合与计数原理例 1、(1)2018全国卷从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)(2)2018浙江卷从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，
5、一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)3【解析】不含有 0 的四位数有 720(个)含有 0 的四位数有 540(个) 综上，四位数的个数为 7205401 260.【答案】1 260【方法技巧】解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.【变式探究】(2017全国)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有_种 站邀请，决定对甲、乙、丙、
6、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A24 B18C16 D10解析：分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有 A 种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，3则有 C A 种可选的路线所以小李可选的旅游路线数为 A C A 10.选 D.12 2 3 12 2答案：D【变式探究】某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A120 种 B156 种C188 种 D240 种解析：解法一 记演出顺序为
7、16 号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占 1 和 2 号，2 和 3 号，3 和 4号，4 和 5 号，5 和 6 号，其排法种数分别为 A A ，A A ，C A A ，C A A ，C A A ，故总编排方案有23 23 1223 1323 1323A A A A C A A C A A C A A 120(种)23 23 1223 1323 1323解法二 记演出顺序为 16 号，按甲的编排进行分类，当甲在 1 号位置时，丙、丁相邻的情况有 4 种，则有 C A A 48(种)；当甲在 2 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有 C A A 36(种)；当甲1423 1323在 3
8、 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有 C A A 36(种)所以编排方案共有1323483636120(种)答案：A【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺” “礼” ，主要指德育；“乐” ，主要4指美育；“射”和“御” ，就是体育和劳动；“书” ，指各种历史文化知识；“数” ，数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )A120 种 B156 种C188 种 D240 种(2)若自然数 n 使得作竖式加法 n( n1)
9、( n2)均不产生进位现象，则称 n 为“开心数” 例如：32 是“开心数” 因为 323334 不产生进位现象；23 不是“开心数” ，因为 232425 产生进位现象，那么，小于 100 的“开心数”的个数为( )A9 B10 C11 D12答案 D解析 根据题意个位数需要满足要求：n( n1)( n2)D 4D 2D 5D 3D 6.【方法技巧】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解.【变式探究】(2017全国)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量
10、相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各10天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量
11、X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶)为多少时， Y 的期望达到最大值？解 (1)由题意知， X 所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知，P(X200) 0.2，2 16303P(X300) 0.4，36303P(X500) 0.4.25 7 4303则 X 的分布列为X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只需考虑 200 n500. 当 300 n500 时，若最高气温不低于 25，则 Y6 n4 n2 n
12、；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002( n300)4 n1 2002 n；若最高气温低于 20，则 Y62002( n200)4 n8002 n，因此 E(Y)2 n0.4(1 2002 n)0.4(8002 n)0.26400.4 n.当 200 n300 时，若最高气温不低于 20，则 Y6 n4 n2 n；若最高气温低于 20，则 Y62002( n200)4 n8002 n，因此 E(Y)2 n(0.40.4)(8002 n)0.21601.2 n.所以当 n300 时， Y 的期望达到最大值，最大值为 520 元11【变式探究】某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级
13、系数 X 依次为 1,2，8，其中 X5 为标准A，X3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下表所示：X1 5 6 7 8P 0.4 a b 0.1且 X1的数学期望 EX16，求 a，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望；(3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6，价格为 6 元/件，其性价比为 1，66乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8，价格为 4 元/件，其性价比为 1.2，4.8412又 1.21，乙厂的产品更具可购买性
