1、1分类讨论思想、转化与化归思想【高考题型示例】题型一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列a n的前 n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.例 1.若一条直线过点(5，2)，且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( )A.xy70B.2x5y0C.xy70 或 2x5y0D.xy70 或 2y5x0答案 C解析 设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a，当 a0 时，直线过原点，此时直线方程为
2、 y x，即252x5y0；当 a0 时，设直线方程为 1，求得 a7，则直线方程为 xy70.xa ya例 2. 已知 Sn为数列a n的前 n 项和，且 Sn2a n2，则 S5S 4的值为( )A.8 B.10 C.16 D.32答案 D解析 当 n1 时，a 1S 12a 12，解得 a12.因为 Sn2a n2，当 n2 时，S n1 2a n1 2，两式相减得 an2a n2a n1 ，即 an2a n1 ，则数列a n为首项为 2，公比为 2 的等比数列，则 S5S 4a 52 532.例 3.已知集合 A ，Bx|mx10，mR，若 ABB，则所有符合条件的实数 m 组成的集合
3、 1，12是( )A.0，1，2 B.12， 0， 1C.1，2 D. 1， 0，12答案 A2解析 因为 ABB，所以 BA.若 B 为，则 m0；若 B，则m10 或 m10，解得 m1 或 2.综上， m0，1，2.故选 A.12例 4.设函数 f(x)Error!若 f(1)f(a)2，则实数 a 的所有可能取值的集合是_.答案 22， 1题型二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.例 5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，
4、则它的体积为( )A. B.4 C. D.4 或8 33 3 2 39 3 8 33答案 D解析 当矩形长、宽分别为 6 和 4 时，体 积 V2 44 ；312 3当长、宽分别为 4 和 6 时，体积 V 6 .43 2 33 12 8 33例 6.已知变量 x，y 满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k 等于( )A. B. C.0 D.0 或12 12 12答案 D解析 不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式 组Error!表示的平面区域是直角三角形，只有当直线 ykx1 与直线 x0 或 y2x 垂直时才满
5、足.3结合图形可知斜率 k 的值为 0 或 . 12例 7.设圆锥 曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F 2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF 1|F 1F2|PF 2|432，则曲线 C 的离心率为_.答案 或12 32解析 不妨设|PF 1|4t，|F 1F2|3t，|PF 2|2t，其中 t0.若该曲线为椭圆，则有|PF 1|PF 2|6t2a，|F1F2|3t2c，e ；ca 2c2a 3t6t 12若该曲线为双曲线，则有|PF 1|PF 2|2t2a，|F1F2|3t2c，e .ca 2c2a 3t2t 32综上，曲线 C 的离心率为 或 .12 32例 8.抛物线 y24px(
6、p0)的焦点为 F，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为_.答案 4解析 当|PO|PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时，点 P 的位置有两个；当|OP|OF|时，点 P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点 P 不存在.事实上，F(p，0)，若设 P(x，y)，则|FO|p，|FP| ， x p 2 y2若 p，则有 x22pxy 20， x p 2 y2又y 24px，x 22px0，解得 x0 或 x2p，当 x0 时，不构成三角形.当 x2p(p0)时，与点 P 在抛物线上矛盾.符合要求的点 P 有 4 个.题型三、含参问题
7、分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.例 9.已知实数 a，x，a0 且 a1，则“a x1”的充要条件为( )4A.01，x0 C.(a1)x0 D.x0答案 C解析 由 ax1 知，a xa0，当 01 时，x0.故“a x1”的充要条件为“(a1)x0”.例 10.若函数 f(x)ax 24x3 在0，2上有最大值 f(2)，则实数 a的取值范围为( )A.(，1 B.1，)C.(，0) D.(0，)答案 B例 11.设函数
8、 f(x)x 2axa3，g(x)ax2a，若存在 x0R，使得 f(x0)0，解得 a6.又 g(x)ax2a 的图象恒过点(2，0)，故当 a6 时，作出函数f(x)和 g(x)的图象如图 1 所示，当 a6 时，若 g(x0)7.当 a2，此时函数 f(x)x 2axa3 的图象的对称轴 x 0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点.若线段 PF 与 FQ 的长度分 别为p，q，则 等于( )1p 1qA.2a B. C.4a D. 12a 4a答案 C解析 抛物线 yax 2(a0)的标准方程为 x2 y(a0)，焦点 F .1a (0， 14a)过焦点 F 作直线垂 直于 y
9、 轴，则|PF|QF| ， 4a.12a 1p 1q例 3.已知函数 f(x)(a3)xax 3在1，1上的最小值为3，则实数 a 的取值范围是( )A.(，1 B.12，)6C.1，12 D.32， 12答案 D解析 当 a0 时，函数 f(x)3x，x1，1，显然满足条件，故排除 A，B；当 a 时，函数 f(x) x3 x，32 32 92f(x) x2 (x21)，92 92 92当1x1 时，f(x)0，所以 f(x)在1，1上为减函数，所以 f(x)minf(1) 3，满足条件，故排除 C.32 92综上，选 D.例 4.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
10、 a，b，c 成等差数列，则_.cos A cos C1 cos Acos C答案 45解析 令 abc，则ABC 为等边三角形，且 cos Acos C ，12代入所求式子，得 .cos A cos C1 cos Acos C12 121 1212 45五、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.例 5.由命题“存在 x0R，使 0|1exm0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)，则实数 a 的值是( )A.(，1) B.(，2)C.1 D.2答案 C解析
11、 命题“存在 x0R，使 0|1exm0”是假命题，可知它的否定形式“任意 xR，e |x1| m0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故 a1.例 6.如图所示，已知三棱锥 PABC，PABC2 ，PBAC10，PCAB2 ，则三棱锥 PABC 的34 41体积为( ) 7A.40 B.80C.160 D.240答案 C解析 因为三棱锥 PABC 的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥 PABC 补成一个长方体 AEBGFPDC，可知三棱锥 PABC 的各棱分别是此长方体的面对角线.不妨令 PEx，EBy，EAz
12、，则由已知，可得Error!解得Error!从而知VPABC V AEBGFPDC V PAEB V CABG V BPDC V AFPC V AEBGFPDC 4V PAEB 68104 6810160.16例 7.对于满足 0p4 的所有实数 p，使不等式 x2px4xp3 成立的 x 的取值范围是_.答案 (，1)(3，)解析 设 f(p)(x1)px 24x3，则当 x1 时，f(p)0，所以 x1.f(p)在0，4上恒为正等价于Error!即Error!解得 x3 或 x0，则实数 a 的取值范围是(xax 2)_.答案 (2，)解析 根据题意，得 x 21 在2，)上恒成立，即 ax 23x 在2，)上恒成立，ax又当 x2 时，(x 23x) max2，所以 a2.
