1、1第 2讲 利用导数研究函数的综合问题A组 小题提速练一、选择题1曲线 ye x在点 A处的切线与直线 x y30 垂直，则点 A的坐标为( )A(1，e 1 ) B(0,1)C(1，e) D(0,2)解析：与直线 x y30 垂直的直线的斜率为 1，所以切线的斜率为 1，因为 ye x，所以由 ye x1，解得 x0，此时 ye 01，即点 A的坐标为(0,1)，选 B.答案：B2已知函数 f(x) x22cos x，若 f( x)是 f(x)的导函数，则函数 f( x)在原点附近的图象大致是( )解析：因为 f( x)2 x2sin x， f( x)22cos x0，所以函数 f( x)在
2、 R上单调递增，故选 A.答案：A3曲线 f(x) xln x在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为( )A. B.6 4C. D.3 2解析：因为 f(x) xln x，所以 f( x)ln x1，所以 f(1)1，所以曲线 f(x) xln x在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为 .42答案：B4如图是 f(x)的导函数 f( x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为( )A1 B2C3 D4解析：由题意知在 x1 处 f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正答案：A5当函数 y x2x取极小值时， x( )A. B1ln 2 1ln 2Cln 2 Dln 2解析：令 y2 x x2
3、xln 20， x .1ln 2答案：B6函数 f(x) x2ln x的最小值为( )12A. B112C0 D不存在解析： f( x) x ，且 x0.1x x2 1x令 f( x)0，得 x1；令 f( x)0，解得 x ，b b即 f(x)的单调递增区间为(， )，( ，)b b b(1,4)，(，2)符合题意答案：D11(2017长沙模拟)已知函数 f(x) (a0)在1，)上的最大值为 ，则 a的xx2 a 33值为( )A. 1 B.334C. D. 143 3解析：由 f(x) 得 f( x) ，当 a1时，若 x ，则 f( x)0， f(x)单调递增，故当 x 时，函数 f(
4、x)有最大值a a ，得 a 0得 00，即(e x1)( x1)0，解得 x(，1)或 x(0，)所以函数 f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)答案：(，1)和(0，)15函数 f(x) x33 x26 在 x_时取得极小值解析：依题意得 f( x)3 x(x2)当 x2时， f( x)0；当 00；当 x(1，)时， g( x)0)， 2 1 a x2 x 1x当 a1 时，由 f( x)0 得 2(1 a)x2 x10 且 98 a，x1 ， x2 ， 1 9 8a4 1 a 1 9 8a4 1 a当 a1 时， f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 a1 时，
5、f(x)在(0， x2)上单调递增，在( x2，)上单调递减；当 a 时， f(x)在(0，)上单调递增；98当 0)ln xx 1 ln xx2 ln x 1x2当 0e时， g( x)0.所以 g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增所以 g(x) g(e) 1 a.1e又 a 1，即 F(x)max0，所以函数 y g(x)在1，)上单调递增，所以 g(x) g(1)0，所以不等式 f(x) 成立，即 a0 符合题意1x a x2 1x当 a0时，令 2 ax0，解得 x ，令 1，解得 a .1x 12a 12a 12当 01，所以在 上 g( x)0，在 上 g( x)0恒成立，又 0a ，1a 1a2 a2 a 1a2 12所以 h(a)h ln 2 ln 2 0，所以存在 g 0，(12) 12 12 32 (1a)所以 0a 不符合题意；12当 a 时， 1， g( x)0 在1，)上恒成立，所以函数 y g(x)在1，)12 12a上单调递减，所以 g(x) g(1)0，显然 a 不符合题意12综上所述， a的取值范围为 a|a0
