1、1第 1讲 坐标系与参数方程1. (2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解析：(1)由 x cos ， y sin 得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2的圆由题设知， C1是过点 B(0,2)且关于 y轴对称的两条射线记 y轴右边的射线为 l1， y轴左边的射线为 l2.由于点 B在圆 C2的外面，故 C
2、1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，点 A到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，故| k 2|k2 1k 或 k0.43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l2与 C2有两个公共点43当 l2与 C2只有一个公共点时，点 A到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故|k 2|k2 1k0 或 k .43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综
3、上，所求 C1的方程为 y |x|2.432(2018高考全国卷)在平面直角坐标系 xOy中， O的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l与 O交于 A， B两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB中点 P的轨迹的参数方程解析：(1) O的直角坐标方程为 x2 y21.2当 时， l与 O交于两点2当 时，记 tan k，则 l的方程为 y kx .l与 O交于两点当且仅当2 21，解得 k1 或 k1，即 或 .|21 k2| (2， 34) (4， 2)综上， 的取值范围是 .(4， 34)(2)l的参数方程为Error! .(t为 参 数 ，4 34)
4、设 A， B， P对应的参数分别为 tA， tB， tP，则 tP ，且 tA， tB满足 t22 tsin 10.tA tB2 2于是 tA tB2 sin ， tP sin .2 2又点 P的坐标( x， y)满足Error!所以点 P的轨迹的参数方程是Error! .( 为 参 数 ，4 34)3(2017高考全国卷)在直角坐标系 xOy中，直线 l1的参数方程为Error!( t为参数)，直线 l2的参数方程为Error!( m为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C.(1)写出 C的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
5、l3： (cos sin ) 0， M为 l3与 C的交点，求 M的极径2解析：(1)消去参数 t得 l1的普通方程 l1： y k(x2)；消去参数 m得 l2的普通方程l2： y (x2)1k设 P(x， y)，由题设得Error!消去 k得 x2 y24( y0)，所以 C的普通方程为x2 y24( y0)(2)C的极坐标方程为 2(cos2 sin 2 )4(0 2， )联立Error!得 cos sin 2(cos sin )故 tan ，从而 cos2 ，sin 2 .13 910 110代入 2(cos2 sin 2 )4 得 25，所以交点 M的极径为 .531.已知椭圆 C：
6、Error!( 为参数)， A， B是椭圆 C上的动点，且满足 OA OB(O为坐标原点)以原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 D的极坐标为(4， )3(1)求线段 AD的中点 M的轨迹 E的普通方程；(2)利用椭圆 C的极坐标方程证明 为定值，并求 AOB面积的最大值1|OA|2 1|OB|2解析：(1)点 D的直角坐标为(2,2 )3由题意可设点 A的坐标为(2cos ，sin )，则 AD的中点 M的坐标为(1cos ， sin )，312所以点 M的轨迹 E的参数方程为Error!( 为参数)，消去 可得 E的普通方程为( x1) 24( y )21.3(2)证明：椭
7、圆 C的普通方程为 y21，化为极坐标方程得 23 2sin2 4，变x24形得 .21 3sin2由 OA OB，不妨设 A( 1， )， B( 2， )，2所以 1|OA|2 1|OB|2 1 21 1 2 1 3sin24 1 3sin2 24 (定值)2 3sin2 3cos24 54所以 AOB的面积 S 1 212 2 1 3sin2 1 3cos2 21 3 9sin2 cos2 .24 94sin22易知当 sin 2 0 时， AOB的面积取得最大值 1.2已知直线 l的参数方程为Error!( t为参数)，以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐
8、标方程为 4sin( )6(1)求圆 C的直角坐标方程；(2)若 P(x， y)是直线 l与圆面 4sin( )的公共点，求 x y的取值范围6 34解析：(1)因为圆 C的极坐标方程为 4sin( )，6所以 24 sin( )4 ( sin cos )6 32 12又 2 x2 y2， x cos ， y sin ，所以 x2 y22 y2 x，3故圆 C的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y0.3(2)设 z x y.由圆 C的方程 x2 y22 x2 y0，得( x1) 2( y )24，3 3 3所以圆 C的圆心是(1， )，半径是 2.3将Error! 代入 z x y，得 z t，3又直线 l过 C(1， )，圆 C的半径是 2，3所以| t|2，解得2 t2，所以2 t2，即2 z2.故 x y的取值范围是2,23
