1、1第二节 平面向量的数量积及应用限时规范训练(限时练夯基练提能练)A 级 基础夯实练1(2018山东济南模拟)已知矩形 ABCD 中， AB ， BC1，则 ( )2 AC CB A1 B1C. D26 2解析：选 B.设 a， b，则 ab0，| a| ，| b|1，AB AD 2 ( a b)( b) ab b21.故选 B.AC CB 2(2018陕西吴起高级中学质检)已知平面向量 a， b 的夹角为 ，且| a|1，| b| 3，则| a2 b|( )12A. B13C2 D32解析：选 B.| a2 b|2| a|24| b|24 ab1111，| a2 b|1.故选 B.3(201
2、8昆明检测)已知非零向量 a， b 满足 ab0，| a|3，且 a 与 a b 的夹角为 ，则| b|( ) 4A6 B3 2C2 D32解析：选 D.因为 a(a b) a2 ab| a|a b|cos ，所以| a b|3 ，将 4 2|a b|3 两边平方可得， a22 ab b218，解得| b|3，故选 D.24(2018成都检测)已知平面向量 a(2,3)， b(1,2)，向量 a b 与 b 垂直，则实数 的值为( )A. B413 413C. D54 54解析：选 D.因为 a(2,3)， b(1,2)，向量 a b 与 b 垂直，所以(2 1,3 2)(1,2)2 12(3
3、 2)4 50，解得 .542故选 D.5(2018江西三校联考)若| a|2，| b|4，且( a b) a，则 a 与 b 的夹角为( )A. B23 3C. D43 23解析：选 A.( a b) a，( a b)a a2 ab0， ab4，cos a， b ， a， b ，故选 A.ab|a|b| 424 12 236 ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， b 满足 2 a， 2 a b，则下列AB AC 结论正确的是( )A| b|1 B a bC ab1 D(4 a b) BC 解析：选 D.因为 (2 a b)2 a b，BC AC AB 所以| b|2，故 A 错
4、误；由于 2 a(2a b)4| a|22 ab4212 2，AB AC ( 12)所以 2ab24| a|22，所以 ab1，故 B，C 错误；又因为(4 a b) (4 a b)b4 ab| b|24(1)40，BC 所以(4 a b) .BC 7(2018永州模拟)在 ABC 中，若 A120， 1，则| |的最小值是( )AB AC BC A. B22C. D66解析：选 C. 1，AB AC | | |cos 1201，AB AC 即| | |2，AB AC | |2| |2 22 22| | |2 6，BC AC AB AC AB AC AB AB AC AB AC | |min
5、.BC 638(2018豫南九校联考)已知向量 a( m,2)， b(2，1)，且 a b，则的值为_|2a b|a a b解析： a b，2 m20， m1，则 2a b(0,5)， a b(3,1)， a(a b)13215，|2a b|5， 1.|2a b|a a b 559(2018江苏扬州质检)已知点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，若 2，AE DB 则 _.AE BE 解析：如图，以 A 为坐标原点，分别以 AB， AD 所在直线为 x 轴， y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2a(a0)，则 A(0,0)，E(a,2a)， B(2a,0)， D(0,2a)，
6、可得 ( a,2a)， (2 a，2 a)，AE DB 若 2，则 2a24 a22，解得 a1，所以 (1,2)，AE DB BE (1,2)，所以 3.AE AE BE 答案：310在 ABC 中， ， M 是 BC 的中点AB AC (1)若| | |，求向量 2 与向量 2 的夹角的余弦值；AB AC AB AC AB AC (2)若 O 是线段 AM 上任意一点，且| | | ，求 的最小值AB AC 2 OA OB OC OA 解：(1)设向量 2 与向量 2 的夹角为 ，AB AC AB AC 则 cos ， AB 2AC 2AB AC |AB 2AC |2AB AC |令| |
7、 | a，则 cos .AB AC 2a2 2a25a5a 45(2)| | | ，| |1，设| | x(0 x1)，则| |1 x.而AB AC 2 AM OA OM 2 ，OB OC OM 所以 ( )2 2| | |cos 2 x22 x2OA OB OC OA OA OB OC OA OM OA OM 42 ，(x12) 12当且仅当 x 时， 取得最小值，最小值为 .12 OA OB OC OA 12B 级 能力提升练11(2018佛山调研)已知 a， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)( bc)0，则|c|的最大值是( )A1 B2C. D222解析：选
8、 C.设 a(1,0)， b(0,1)，c( x， y)，则(ac)( bc)0，即(1 x， y)( x,1 y)0，整理得 2 2 ，这是一个圆心坐标为 ，半径为 的圆，所求的值等(x12) (y 12) 12 (12， 12) 22价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离根据图形可知，这个最大距离是 ，即所求的2最大值为 .212(2017浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD， AB BC， AB BC AD2， CD3， AC 与 BD 交于点 O，记I1 ， I2 ， I3 ，则( )OA OB OB OC OC OD A I1 I2 I3 B I1 I3 I2C I3 I1 I2 D
9、I2 I1 I3解析：选 C.在 ACD 中，由余弦定理得cos CAD ，22 22 2 322222 382 22得 cos CADcos CAB，即 CAD CAB.在等腰 ABD 中，易得 OD OB， AOB . 2同理在等腰 ABC 中， ABD ， CO OA. 45又 I1| | |cos AOB，OA OB I3| | |cos COD，OC OD I3 I10， I20 I1 I3，故选 C.13(2018南京模拟)在矩形 ABCD 中，边 AB、 AD 的长分别为 2、1，若 M、 N 分别是边 BC、 CD 上的点，且满足 ，则 的取值范围是_|BM |BC |CN |
10、CD | AM AN 解析：由题意设 BM k， CN2 k(0 k1)，由 ， 知，AM AB BM AN AD DN ( )( )AM AN AB BM AD DN 43 k，又 0 k1，所以AB AD AB DN BM AD BM DN AB DN BM AD 143 k4，故 的取值范围是1,4AM AN 答案：1,414已知 A， B， C 分别为 ABC 的三边 a， b， c 所对的角，向量 m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且 mnsin 2 C.(1)求角 C 的大小；(2)若 sin A，sin C，sin B 成等差数列，且 ( )18，求边
11、c 的长CA AB AC 解：(1)由已知得 mnsin Acos Bcos Asin Bsin( A B)，因为 A B C，所以 sin(A B)sin( C)sin C，所以 mnsin C.又 mnsin 2 C，所以 sin 2Csin C，所以 cos C .12又 0 C，所以 C . 3(2)由已知得 2sin Csin Asin B，由正弦定理得2c a b.因为 ( ) 18，CA AB AC CA CB 所以 abcos C18，所以 ab36.由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos C( a b)23 ab6所以 c24 c2336，所以 c236，所以 c6.1
12、5(2018衡阳模拟)已知 m(2 ，1)，ncos 2 ，sin( B C)，其中 A， B， C 是3AABC 的内角(1)当 A 时，求| n|的值； 2(2)若 BC1，| | ，当 mn 取最大值时，求 A 的大小及 AC 边的长AB 3解：(1)当 A 时， 2n ，(cos2 4， sin 2) (12， 1)|n| .(12)2 12 52(2)mn2 cos2 sin( B C)3A (1cos A)sin A32sin .(A 3) 30 A， A . 3 3 43当 A ，即 A 时， 3 2 6sin 1，此时 mn 取得最大值 2 .(A 3) 3由余弦定理得 BC2
13、 AB2 AC22 ABACcos A，即 12( )2 AC22 AC ，化简得 AC23 AC20，解得 AC1 或 2.3 332C 级 素养加强练16(2018武汉市模拟)如图在等腰三角形 ABC 中，已知|AB| AC|1， A120， E， F 分别是边 AB， AC 上的点，且 ， ，其中 ， (0,1)，且 4 1.若AE AB AF AC 线段 EF， BC 的中点分别为 M， N，则| |的最小值为_MN 解析：连接 AM， AN，由 | | |cos ， ( )AB AC AB AC 23 12 AM 12AE AF 7 ( )，12 AB AC ( )， (1 ) (1 ) ，AN 12AB AC MN AN AM 12 AB 12 AC | |2 (1 )2(1 )(1 )(1 )2 (1 )2 (1 )(1 )MN 14 14 14 (1 )2，由 4 11 4 ，可得| |2 2 ， ， (0,1)，14 MN 214 32 14当 时，| |2取最小值 ，| |的最小值为 ，| |的最小值为 .17 MN 17 MN 77 MN 77答案：77
