1、- 1 -2018 年秋四川省宜宾市四中高二期末模拟考试数学（理）试题时间：120 分钟 满分：150 分第卷（选择题 共 60 分）一选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样【答案】C【解析】由于该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同
2、一学段男女生的肺活量差异不大，所以最合理的抽样方法是按按学段分层抽样。选 C。2.若 ,则下列不等关系中不一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质判断选项是否正确【详解】因为 ，由不等式的可加性，A 正确；由不等式的可乘方性，C 正确，由不等式的可开方性，D 正确，而根据不等式的可乘性，在不等式两边同乘 c，当 时， ，所以 B 不一定成立，选择 B 项【点睛】解决此类问题可以根据不等式的基本性质逐一验证，也可用特殊值法排除3.抛物线 的焦点坐标是A. B. C. D. 【答案】A【解析】- 2 -【分析】利用抛物线的标准方程，转化求解即可【详解
3、】抛物线 y=-x2的开口向下， ，所以抛物线的焦点坐标 故选：A【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力4.设 ，则“ ”是“ ”的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解 得 或 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，选5.一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取 6 人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图。已知甲班 6 名同学成绩的平均数为 82，乙班 6 名同学成绩的中位数为 77，则 （ ）A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C【解析】由 ，可得 ，由 ，得 ，故选 C.6.一只蚂蚁在
4、边长分别为 3,4,5 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点距离都大于1 的地方的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 3 -离三个顶点距离正好等于 1 的地方是分别以三个顶点为圆心，1 为半径的圆弧，所以离三个顶点距离都大于 1 的地方为该三角形内，分别以三个顶点为顶点，1 为半径的扇形区域以外的部分，则蚂蚁在该区域的概率为该区域的面积比三角形区域面积【详解】因为三角形区域边长分别为 3,4,5，所以该三角形为直角三角形，面积为，离三个顶点距离正好等于 1 的地方是分别以三个顶点为圆心，1 为半径的圆弧，所以离三个顶点距离都大于 1 的地方为该三角形内，分别
5、以三个顶点为顶点，1 为半径的扇形区域以外的部分，三个扇形的顶角和为 ，所以三个扇形面积和为 ，所以蚂蚁在该区域的概率为 ，选择 D 项【点睛】求解与面积相关的几何概型问题，关键弄清某事件对应的图形，并准确计算面积7.直线 与圆 的位置关系是( )A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定【答案】B【解析】【分析】观察直线方程，得直线过定点，判断该点与圆的位置关系，得直线与圆的位置关系【详解】直线 过定点 ，由圆的方程为 ，所以点 A 在该圆内，则过该点的直线一定与圆相交，选择 B【点睛】判断直线与圆的位置关系问题常见方法：1.几何法，利用圆心到直线的距离与半径比较大小；2.代数法，联立
6、方程组后判断解的个数；3.点与圆的位置关系，利用直线所经过定点与圆的位置关系判断8.抛物线 上一点到直线 的距离最短的点的坐标是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设抛物线 y=x2上一点为 A（x 0，x 02） ，点 A（x 0，x 02）到直线 2x-y-4=0 的距离- 4 -由此能求出抛物线 y=x2上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最短的点的坐标【详解】设抛物线 y=x2上一点为 A（x 0，x 02） ，点 A（x 0，x 02）到直线 2x-y-4=0 的距离 当 x0=1 时，即当 A（1，1）时，抛物线 y=x2上一点到直线 2x-y-4=0 的距离
7、最短故选：D【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答9.在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用正方体 中， ，将问题转化为求共面直线 与 所成角的正切值，在 中进行计算即可.详解：在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ，设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以则 .故选 C.- 5 -点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关
8、系，用余弦定理求角.（2）向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10.（2017 新课标全国卷文科）设 A， B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 AMB=120，则 m 的取值范围是A BC D【答案】A【解析】当 时，焦点在 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 ，则 ，即，得 ；当 时，焦点在 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 ，则，即 ，得 ，故 的取值范围为 ，选 A点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题解答问题的关键是利用条件确定 的关系，求解时充分借助题设条件 转
9、化为 ，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论- 6 -11.已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意首先求得 A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得 b 的值，之后求解 a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为 （ c0） ，则 ，由 可得： ，不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为 ，据此可得： ， ，则 ，则 ，双曲线的离心率： ，据此可得： ，则双曲线的方程为 .本题选择 A
10、 选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a， b， c， e 及渐近线之间的关系，求出 a， b 的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方- 7 -程为 ，再由条件求出 的值即可.12.已知 abc1，且 a ， b ， c0，则 的最小值为( )A. 1 B. 3 C. 6 D. 9【答案】D【解析】，当且仅当 时等号成立，故选 D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首
11、先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.第卷（非选择题 共 90 分）二填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.直线 与直线 互相垂直,则 _【答案】 或【解析】【分析】由两条直线垂直的充要条件求得 m 的值【详解】直线 与直线 互相垂直，所以 ，即 ，解得 或【点睛】直线 与 垂直的充要条件为14.若 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】9【解析】- 8 -分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当 时
12、， .详解：不等式组表示的可行域是以 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数 的最大值必在顶点处取得，易知当 时， .点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.15.在平面直角坐标系中，经过三点（0，0） ， （1，1） ， （2，0）的圆的方程为_【答案】【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为 ，圆经过三点（0，0） ， （1，1） ， （2，0） ，则：，解得： ，则圆的方程为 .点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆
13、的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式16.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是球 的直径,若平面 平面 ,三棱锥 的体积为 ,则球 的表面积为_.【答案】36【解析】- 9 -三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径，若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC
14、的体积为 9，可知三角形 SBC 与三角形 SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为 r，可得 ，解得 r=3.球 O 的表面积为： .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知命题 p：关于 x 的不等式 的解集是 ，命题 q:函数 y= 的定义域为 R.若
15、 p 是真命题，p 是假命题，求实数 a 的范围.【答案】 .【解析】试题分析：根据指数函数的单调性求得命题 为真时 的取值范围；利用 求出命题 为真时 的范围，由复合命题真值表知：若 是真命题， 是假命题，则命题 、 一真一假，分 真 假和 真 假两种情况求出 的范围，再求并集试题解析：依题意有：对于 ：0a1,对于 ：函数定义域为 的充要条件是 0 恒成立.当 =0 时，不等式为 0，解得 0，显然不成立；当 a0 时， ，解得 a .所以对于 ： .由“ 或 是真命题， 且 是假命题” ，可知 ， 一真一假，当 真 假时， ，有 的取值范围是当 假 真时， ，有 的取值范围是 .- 10
16、 -综上， 的取值范围是 .考点：复合命题的真假.18.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动（）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率【答案】 （1）3，2，2（2） （i）见解析（ii）【解析】分析：（）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志
17、愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人（） （i）由题意列出所有可能的结果即可，共有 21 种（ii）由题意结合（ i）中的结果和古典概型计算公式可得事件 M 发生的概率为 P（ M）= 详解：（）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3人，2 人，2 人（） （i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A， B， A， C， A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E， B， F，B， G， C， D， C， E， C，
18、F， C， G， D， E， D， F， D， G， E， F， E， G，F， G，共 21 种（ii）由（） ，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A， B， C，来自乙年级的是D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B， A， C， B， C， D， E， F， G，共 5 种所以，事件 M 发生的概率为 P（ M）= 点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力- 11 -19.已知抛物线 过点 ，且点 到
19、其准线的距离为 （ ）求抛物线的方程（ ）直线 与抛物线交于两个不同的点 ， ，若 ，求实数 的值【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）根据点 到其准线的距离为 可得 求得 p 即可；（2）联立方程结合建立等式关系，然后代入韦达定理求解即可.详解：（ ）已知抛物线 过点 ，且点 到准线的距离为 ，则 ， ，故抛物线的方程为： （ ）由 得 ，设 ， ，则 ， ， ， ， ， 或 ，经检验，当 时，直线与抛物线交点中有一点与原点 重合，不符合题意，当 时， ，符合题意，综上，实数 的值为 点睛：考查抛物线的定义和基本性质，对于直线与抛物线问题通常连立方程依赖韦达定理建立等式关系，注意对所求
20、参数的检验，此处是易错点引起注意，属于中档题.20.如图，斜三棱柱 中， 为锐角，底面 是以 为斜边的等腰直角三- 12 -角形， （1）证明：平面 平面 ；（2）若直线 与底面 成角为 ， ，求二面角 的余弦值【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：（1）先证明 平面 ，再证明平面 平面 （2）利用空间向量求二面角 的余弦值详解：（1）因为 ， ， ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （2）因为 平面 ，在平面 内作 ，垂足为 ，所以 平面 因为 底面 成角为 ，所以 因为 ， ，所以 平面 ，所以 ，四边形 是菱形因为 为锐角，所以 ，于是 是 中点设 ，以 为坐标原点，
21、 为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系- 13 -则 ， ， ， ， ， 设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，可以取 设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，可以取 因为 ，二面角 平面角是钝角，故二面角 的余弦值是 点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力.(2) 二面角常见的求法有两种，方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式 （其中 分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观
22、察二面角的大小选择“ ”号）21.某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数 与销售价格 （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据： - 14 -使用年数销售价格（）试求 关于 的回归直线方程（参考公式： ）（）已知每辆该型号汽车的收购价格为 万元，根据（）中所求的回归方程，预测 为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润 最大？（利润=销售价格-收购价格）【答案】 （I） .（II）当 时，利润 取得最大值.【解析】分析：（I）由题意可求得 ，结合所给公式可得，从而可得线性回归方程 （II）由题意可得 ，根据二次函数的知识求得最值即可详解：（I）由表中数据得，- 15 - ， ， 关于
23、的回归直线方程为 （II）根据题意得利润当 时，利润 取得最大值点睛：求线性回归直线方程的步骤用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；求系数 ：公式有两种形式， ，根据题目具体情况灵活选用；求 ： ；写出回归直线方程22.如图，从椭圆 上一点 向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ，又点 是椭圆与 轴正半轴的交点，点 是椭圆与 轴正半轴的交点，且 ,（）求 的方程；（）过 且斜率不为 的直线 与 相交于 两点，线段 的中点为 ，直线 与直线相交于点 ，若 为等腰直角三角形，求 的方程- 16 -【答案】 （） （） 或【解析】【分析】（）由 F 为左焦点，可得点 ， 的斜率 ，直线
24、的斜率 ，由得 ， ， ，解得 a,b,c,进而可得 的方程；（）设直线 的方程，联立方程组，由 为等腰直角三角形，所以 ，列出方程，解得直线 l 的斜率，从而得直线 的方程【详解】解：（）令 ，得 .所以 .直线 的斜率 .直线 的斜率 .故 解得 ， .由已知及 ，得 ，所以 ，解得 .所以， ，所以 的方程为 ；（）易得 ，可设直线 的方程为 ， ， ，联立方程组 消去 ，整理得 ，由韦达定理，得 ， ，所以 ， ，即所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 ，所以直线 的斜率为 ，所以直线 与 恒保持垂直关系，故若 为等腰直角三角形，只需 ，即 ，- 17 -解得 ，又 ，所以 ，所以 ，从而直线 的方程为： 或 【点睛】直线与椭圆有关的问题，常设直线方程，联立方程组，将题目中的几何关系或几何量表示为某个参数的代数式，再用解方程方法或函数方法进行求解
