1、- 1 -惠州市 2019 届高三第三次调研考试理科数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）2|Ax|BxABA B C D|1|0|2x（2）若复数
2、满足 ，则在复平面内， 所对应的点在（ ）zii zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（3）若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）xy104xy2zxyA2 B6 C7 D8（4）两个正数 、 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ，ab223ab则双曲线 的离心率 等于（ ）21xyeA B C D53543（5）已知函数 与 互为反函数，函数 的图象与 的图象关yfxxyeygxyfx于 轴对称，若 ，则实数 的值为（ ）x1gaaA B C Deee1e（6）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了
3、“割圆术” ，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 ，这就是著名的“徽率” 。如图是利用刘徽的“割圆术”3.14- 2 -思想设计的一个程序框图，则输出的 值为（ ）nA48 B36 C24 D 12（参考数据： ）0031.72,sin5.8,si75.13（7）已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，l2,0Pl2xy其斜率 的取值范围为（ ）kA B C D2, ,42,1,8（8）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。AB32161683CD（9）已知 是抛物线 的焦点， ， 是该抛物线上两点， ，则F24xyMN6MFN的中点到准线的
4、距离为（ ）MNA B2 C3 D43（10）在 中，点 是 上一点，且 ， 为 上一点，DAAPBD向量 ，则 的最小值为（ ）P1A16 B8 C4 D24 4432 223正视图 侧视图俯视图- 3 -（11）函数 在 内的值域为 ，13cosin02fxxx,1,2则 的取值范围为（ ）A B C D4,340,320,30,1（12）已知偶函数 满足 且 ，当 时,fxfxff4x，关于 的不等式 在 上有且只有ln2f20faf2,0200 个整数解，则实数 的取值范围为（ ）aAB 1ln6,23 1ln2,l63CDl,l,l二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（13
5、）已知 ，则 _。3sin,52tan4（14）如图，在平面四边形 中， ， ，ABCDB3A，1BC是等边三角形，则 的值为_。AD（15）已知四棱锥 的顶点都在半径为 1 的球面上，底面 是正方形，且底PB ABCD面 经过球心 ， 是 的中点， 底面 ，则该四棱锥OEAPE的体积等于_立方单位。C（16）已知数列 满足 ， ，且 ，na111nna2cos3nba记 为数列 的前 项和，则 _。Sb24S三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。AB CD- 4 -（一）必考题：共60分
6、。（17） （本小题满分 12 分）在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ， 为其面积，ABCCabcS若 224Sacb（1）求角 的大小；（2）设 的角平分线 交 于 ，ADB， ，求 的值。3AD6BcosC（18） （本小题满分 12 分）已知公差为正数的等差数列 的前 项和为 ，且 ， ,数列nanS2340a26S的前 项和 。nb12nTN（1）求数列 与 的通项公式；nab（2）求数列 的前 项和 nM（19） （本小题满分 12 分）在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为直角梯形，PABCDPABCDA ， ， ， ， ， 为 的中点，BC09123PED为 的中点。F（
7、1）求证： 平面 ；EF（2）求二面角 的余弦值。BAB D CA- 5 -（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 过点 ，且左焦点与抛物线 的焦点210xyab312P， 24yx重合。（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，线段 的中点:0lykxmMN记为 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围。AMN108G， k（21） （本小题满分 12 分）设函数 ln2axf aR（1）当曲线 在点 处的切线与直线 垂直时，求实数 的值；yf1f， yxa（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围。24Fxfxa- 6 -（二）选考题：共10分。请考生在
8、第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22） 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极xOy1Ctyx6O点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 x 223cos3（1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；1（2）已知点 是曲线 上的动点，求点 到曲线 的最小距离P2CP1C（23） 选修 4-5：不等式选讲 已知 .()|1|2fx（1）求不等式 的解集；0（2）若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.R()fxa惠州市 2019 届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分标准一、
9、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C A D C B D C A A D1 【解析】 ，集合 故选 B|1,|0Axx|2x另解：由 B 是 AB 的子集，所以选项中包含必有（0,+） ，排除选项 ACD，故选 B2 【解析】由题得 z= ,所以复数 z 对应的点为（-1,1） ，所以复数 z 对应的点在第二象限。故答案为 B另解：也可以两边同时乘以 ，化简后可得答案。- 7 -3 【解析】作出可行域，如右图中的阴影部分，易知目标函数 过点 时取得最大值为 ，故选 C4 【解析】由题意可得： ，结合 ，解方程组可得： ，273ab0ab34ab则双
10、曲线中： .故选 A25,ccabea5 【解析】 函数 与 互为反函数， 函数 ， 的图象与的图象关于 轴对称， 函数 ，即 故选 D.6 【解析】，故选 C.7 【解析】直线 为 ，又直线 与圆 有两个交点，l20kxyl2xy故 ， ，故选 B2|1k4另解：数形结合，通过相切的临界值找出答案。8 【解析】由三视图可知该几何体是由一个四棱锥（高为 ，底面是以 4 为底、3 为高的23矩形）和半个圆柱（半径为 2，高为 3）组合而成，则该几何体的体积为 .故选 D.211486V9 【解析】由题意，抛物线 的准线方程为 ，设 ，所以 ，解得 ，所以 的中点的纵坐标为 ，所以线段 的中点到该
11、抛物线的准线的距离为 ，故选 C10 【解析】由题意可知： ，其中 B,P,D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得： ，则：，当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 16.故选 .11 【解析】函数- 8 -当 时， ， ，则解得 ，故 的取值范围为 。故选12 【解析】当 0x4 时，f (x)= ，令 f (x)=0 得 x= ，f(x)在（0， ）上单调递增，在（ ，4）上单调递减，f(x)是偶函数，f(x+4)=f(4x)=f(x4)，f(x)的周期为 8，f(x)是偶函数，且不等式 f 2(x)+af(x)0 在200，200上有且只有 200 个整数解，不等式在（0，200）内有
12、 100 个整数解，f(x)在（0，200）内有 25 个周期，f(x)在一个周期（0，8）内有 4 个整数解，若 a0，由 f2(x)+a f(x)0，可得 f(x)0 或 f(x) a，显然 f(x)0 在一个周期（0，8）内有 7 个整数解，不符合题意；若 a0，由 f 2(x)+af(x)0，可得 f(x)0 或 f(x) a，显然 f(x)0 在区间（0，8）上无解，f(x) a 在（0，8）上有 4 个整数解，f(x)在（0，8）上关于直线 x=4 对称，f(x)在（0，4）上有 2 个整数解，f(1)=ln2，f(2)= =ln2，f(3)= ，f(x) a 在（0，4）上的整数
13、解为 x=1，x=2 aln2，解得ln2 a 故答案为：D二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13、 ， 14、 1， 15、 ， 16、304。13 【解析】因为 所以 cos因此 .14 【解析】ABBC，AB= ，BC=1，AC=2， ，BCA= ；又ACD 是等边三角形，AD=AC=2，ADAB， = （ + ） = + - 9 -= +12=115 【解析】如右图，连接 ，则 ，,OPE，又 ，16 【解析】 ， ，数列 是公差与首项都为 1 的等差数列 ， 可得 ， ，令 ， ，则 ， ，同理可得 ， ， ， ，则 三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明
14、，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17 【解析】 （1）由三角形的面积公式及余弦定理得: 1 分（注意：没有写出此行文字本得分点不给分）2 分 3 分 4 分 5 分（2）在 中,由正弦定理得 6 分所以 7 分8 分- 10 - 所以 9 分所以 10 分11 分18 【解析】 （1）由题意知 ， 14234)(026aaS， ， 1 分2323401a，又公差为正数，故 ， , ， 2 分5a83d公 差 ， 3 分n由 得1*2TN（ ）当 ， 4 分1,b当 时， 5 分n122nnnnT综上得 6 分*2
15、nN（ ）（2）由（1）知 31nnab 7 分252nM解法 1（错位相减法）8 分231nn 得 10 分1234n nn 12 分38解法 2（待定系数法的简单解答过程）设 8 分2nnMAB由 ，得 解得 9 分124,24AB6,8AB- 11 -所以 10 分682nnM注意：用待定系数法没有说明 的原理，最后结果正确也要扣 2 分。2nnMAB解法 3（分合法）7 分2531nn 1 1482 12()(5)342n8 分12146n 10 分243nnnM化简得 12 分128如果学生有其余解法，评卷老师可与备课组长讨论决定评分细则，并上报给题组长备案。19 【解析】 （1）连
16、接 交 于 ，并连接 ， ， 1 分， ， 为 中点， ，且 ，四边形 为平行四边形， 2 分为 中点，又 为 中点， ， 3 分平面 ， 平面 ， 平面 . 4 分（2）解法 1（向量法）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ，得 则 ，侧面 底面 ，且交于 ， 面 ， 5 分如图所示，以 E 为原点，EA、EB、EP 分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 6 分则 ， ， ，C . 为 的中点，F ， 7 分设平面 F 法向量为 ，则 , 8 分PFCBEDANPFCBEDAN- 12 -取 , 9 分平面 法向量可取： , 10 分设二面角 F-BE-A 的大小为 ，显然 为钝角， ,
17、 11 分二面角 F-BE-A 的余弦值为 12 分（2）解法 2（几何法 1）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ，得 ， 5 分取 中点 ，连 ， ， ，侧面 底面 ，且交于 ， ， 面 ， 6 分 为 的中点， ，MEA 为二面角 F-BE-A 的平面角 8 分在 中， ， 9 分在 中，由余弦定理得 10 分在 中，由余弦定理得 cosMEA ， 11 分所以二面角 F-BE-A 的余弦值为 . 12 分（2）解法 3（几何法 2）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ，得 侧面 底面 ， 面 ， 5 分PFCBEDANQ ，连 交 于点 ，则 为 中点，连 ， ， ， 为 的中点， ，
18、 面 ， 6 分PFCBEDANM- 13 -又 ，FNQ 为二面角 F-BE-A 的平面角的补角 8 分在 中， ， 8 分由勾股定理得 9 分cosFNQ ， 11 分所以二面角 F-BE-A 的余弦值为 . 12 分20 【解析】（1）解法 1 抛物线 的焦点为 F（-1,0） ，依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为 ， 1 分又椭圆过点 ，由椭圆的定义知， ， 2 分312P， ，又 ， 3 分椭圆的方程为 4 分2143xy（1）解法 2 抛物线 的焦点为 F（-1,0） ，依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为 ， 1 分又椭圆过点 ， 2 分 312P，22194ab解得 ， 3 分椭
19、圆的方程为 4 分214xy（1）解法 3 抛物线 的焦点为 F（-1,0） ，依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为 ， 1 分又椭圆过点 ， 2 分312P，2ba- 14 - ， 可解得 ， 3 分22130aa椭圆的方程为 4 分214xy（2）解法 1由 消去 整理得2143ykxmy， 5 分223480kx直线与椭圆交于不同的两点，整理得 6 分226341mkm243mk设 ，线段 的中点 A ，12,MxyNMN0,xy则 ， 7 分2121284,33kxk ，024,mxk20 234myk点 A 的坐标为 ， 8 分223,4k直线 AG 的斜率为 ，22413348AGm
20、kmkk又直线 AG 和直线 MN 垂直， ， ， 10 分2413km28k将上式代入式，可得 ，23438整理得 ，解得 11 分210k510k或- 15 -实数 的取值范围为 12 分k5,10（2）解法 2设 ),(,(),(2yxANyxM则 两式相减得 5 分,13421yx,2即 2121212143yxxy点 满足方程 6 分Aky43又 直线 且过点MNG)0,81(点 也满足方程 .7 分A)(xky联立解得 ，即 8 分x83,21)3,21(kA点 在椭圆内部 9 分A342y.10 分1632k.11 分02105k或的取值范围为 .12 分k,注意：本题的完整解答
21、过程可以是两问上述解法的一种组合。21 【解析】（1）由题意知，函数 的定义域为 ， 1 分fx0+， 2 分2ln1afx- 16 - ，解得 . 3 分1fa2a（2）若函数 有两个零点，4Fxfx则方程 恰有两个不相等的正实根， 4 分2ln0aa即方程 恰有两个不相等的正实根.设函数 ，定义域为 5 分 0+， . 6 分221xaxa当 时， 恒成立，则函数 在 上是增函数，0a0gxg0,函数 最多一个零点，不合题意，舍去； 7 分当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，0a0gx2ax0gx2ax则函数 在 内单调递减，在 上单调递增. 8 分,2a,易知 时， 恒成立，0x0gx又
22、因为 单调递增，所以 时， 成立，x0gx要使函数 有 2 个正零点，则 的最小值 ， 9 分gxg2a即 ，即 ， 10 分2ln044aaln0 ， ，解得 ， 11 分0l12e实数 的取值范围为 . 12 分a,注意：结果正确的情况下，没有说明 时， 的情况需要扣 1 分。x0gx- 17 -22.【解析】（1）消去参数 得到 ， 1 分t6yx故曲线 的普通方程为 2 分1C0，由 3 分（注意：无写出此公式本得分点不给分） 223cos3cosiny得到 ，4 分()xy即 ,故曲线 的普通方程为 .5 分212C21x（2）解法 1设点 的坐标为 ，6 分P(3cos,in)点
23、到曲线 的距离 ，8 分P1|2cos()6|i62d所以，当 时， 的值最小，9 分cos()6所以点 到曲线 的最小距离为 . 10 分1C2（2）解法 2设平行直线 ： 的直线 方程为 6 分160xy0xym当直线 与椭圆 相切于点 P 时，P 到直线 的距离取得最大或最小值。121C由 得 ，7 分203xym224630x令其判别式 ，解得 ，8 分经检验，当 时，点 P 到直线 的距离最小，最小值为 9 分1C|62d所以点 到曲线 的最小距离为 . 10 分P1223.（1）由题意得 ，1 分|x所以 ，2 分2|化简得 3 分3()0解得 ，4 分x- 18 -故原不等式的解集为 5 分|02x（2）由已知可得， 恒成立，设 ，6 分()af()gxf则 ,7 分,1()2,xg由 的单调性可知， 时， 取得最大值 1，9 分()gx1x()g所以 的取值范围是 10 分a,)
