1、- 1 -中原名校 20172018 学年第五次质量考评高三数学（文）试题第卷 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ， 选 B2.已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】 ， ，复数 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限选 D3. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】选 A4.已知向量 ，且 ，则 （ ）
2、A. 1 B. 5 C. -1 D. -5【答案】B- 2 -【解析】由题意得 ， ， ，解得 选 B 5.九章算术中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵” ，如图，边长为 1 的小正方形网格中粗线画出的是某“堑堵”的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】由题意知，该“堑堵”的正视图为三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且斜边长为 4，故其面积为 4选 C6.下图为 2017 年 311 月某市接待游客人数及与上年同期相比增速图，根据该图，给出下列结论：2017 年 11 月该市共接待旅客 35 万人次，同比下降
3、了 3.1%；整体看来，该市2017 年 311 月接待游客数量与上年同期相比都处于下降状态；2017 年 10 月该市接待游客人数与 9 月相比的增幅小于 2017 年 5 月接待游客人数与 4 月相比的增幅.其中正确结论的个数为- 3 -A. 0 B. 1C. 2 D. 3【答案】C【解析】对于，由图知正确对于，由图知该市 2017 年 10 月接待游客人数与 9 月相比的增幅为 ，该市 2017 年 5 月接待游客人数与 4 月相比的增幅为所以错误综上可得，正确选 C7.已知双曲线 的左焦点 在圆 上，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ，将点 的坐标
4、代入方程 可得，解得 或 （舍去） ，解得 双曲线的离心率为 选 C- 4 -8.若 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 3 B. 7 C. 9 D. 10【答案】C【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示） ，由可行域可知， ， ， ，设 ，则 平移直线 ，由图形可得，当直线经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最大值由 解得 故点 A 的坐标为（1,2） 选 C9.执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 5，则判断框内填入的条件可以是（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于选项 A，由于 ，可得输出的 的值为 4，不合题
5、意，故不正确对于选项 B，由于 ，可得输出的 的值为 2，不合题意，故不正确对于选项 C，由于 ，可得输出的 的值为 3，不合题意，故不正确对于选项 D，由 得 ，解得 ，可得输出的 的值为 5，符合题意，故正确综上选 D10.已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 2,过点 的直线 与抛物线交于 两点,则 的最小值为A. B. 7C. D. 9【答案】C【解析】抛物线 的焦点 到其准线的距离为 2， ，故抛物线方程为 设直线 的方程为 ，将此方程代入 消去 x 整理得 ，设，则 ，当且仅当 ，即时等号成立选 C 点睛：在圆锥曲线中要注意定义在解题中的灵活应用，对于抛物线来说，将抛物线上的点到焦
6、点的距离与该点到准线的距离进行转化是解题中常用的方法，特别是在一些求最值的问题中，经过实施转化可使得问题的求解变得简单易行 - 6 -11.已知函数 ， 的图象在区间 上有且只有 9 个交点，记为 ，则 （ ）A. B. 8 C. D. 【答案】D【解析】由 ，可得函数 的图象关于点 对称又 ，可得 ，故函数 的图象关于点 对称 选 D点睛：解答本题时若直接求和，则感到无从下手在分析题意的基础上，解题时根据函数图象的对称性，将求解图象交点坐标之和的问题根据整体代换进行求解，转化为对称中心的坐标来处理由于条件中给出了两个对称的函数图象有 9 个交点，故必有一个交点在对称中心处，在解题时要注意这一
7、特殊问题的处理12.已知 ，若曲线 上存在不同两点 ，使得曲线 在点 处的切线垂直，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ，得 ， 设 ，则两切线的斜率为 ，则 且 ，- 7 -可得 ，解得 故实数 的取值范围是 选 A第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.从 1，3，5，7，9 中任取 3 个不同的数字分别作为 ，则 的概率是_【答案】【解析】由题意知，从 1，3，5，7，9 中任取 3 个不同的数字 的所有可能结果有，共 10 种其中，满足条件的结果有 ，共 3 种故所求概率为
8、答案：14.设函数 ，若 ，则 _【答案】-3 或-2【解析】由题意得 ，故可得 当 时，可得 ，即 ，解得 或 （舍去） 当 时，可得 ，即 ，解得 或 （舍去）综上可得 或 答案：-3 或-215.已知三棱锥 中， ， 是边长为 的正三角形，则三棱锥的外接球半径为_【答案】【解析】由题意得 ，故可得 平面 - 8 -以 作为三棱锥的一条侧棱， 作为三棱锥的底面，则三棱锥外接球的球心到底面的距离 ，又 外接圆的半径 ，所以外接球的半径答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）内切（或外接）求球的半径时，关键是判断球心的位置，解题时要根据组合体的组合方式判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半
9、径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题16.已知 中， ，角 所对的边分别为 ，点 在边 上， ，且，则 _【答案】【解析】在 中，由 ，可得 设 ，则 ，在 中，由正弦定理得 ，所以 ；在 中，由正弦定理得 ，所以 .故 答案：三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列 的前 项和为 ，且满足 （1）求 及 ；- 9 -（2）若 ，求 的前 项的和 【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由条件可得到数列 为等差数列，故可得 ，然后可求得 （2）根据数列 通项公式的特
10、点，先分组后再根据公式求和试题解析；（1）由 得， ，即 ，所以 ，又 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列所以 ，所以 当 时， ，又 不满足上式，所以 - 10 -（2）由（1）知 ，所以18. 年 月 日 ，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕.习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利的报告.人们通过手机、互联网、电视等方式，都在关注十九大盛况.某调查网站从观看十九大的观众中随机选出 人，经统计这 人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒 端口观看的人数之比为 .将这 人按年龄分组：第 组 ，
11、第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示.（）求 的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；（）把年龄在第 ， ， 组的观众称青少年组，年龄在第 ， 组的观众称为中老年组，若选出的 人中通过新型的传媒方式 端口观看的中老年人有 人，请完成下面 列联表，则能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？附：通过 端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计- 11 -青少年中老年合计附： （其中 样本容量） .【答案】(1) ；41.5.(2)列联表见解析；不能在犯错误的概率不超过 的前提下认为
12、观看十九大的方式与年龄有关.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为 1 可求 ，用每组的中点値乘以该组的频率求和后可得平均值 （2）由题意可得列联表，根据数据求得 后与临界值表中的数据比较可得结论试题解析：（1）由频率分布直方图可得：，解得 ，所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：（2）由题意得 列联表- 12 -通过 端口观看十九大通过电视端口观看十九大合计青少年（人） 28 96 124中老年（人） 12 64 76合计（人） 40 160 200计算得 的观测值为 ，所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关点
13、睛：利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标19.如图甲，在四边形 ABCD 中， ， 是边长为 4 的正三角形，把沿 AC 折起到 的位置，使得平面 PAC 平面 ACD，如图乙所示，点 分别为棱 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析；（2） .- 13 -【解析】试题分析：（1）在正三角形 中可得 ，有根据题意得到 平面 ，从而得 ，计算可得 由 分别为棱
14、的中点，得到 ，故 根据线面垂直的判定定理可得 平面 （2）由条件得 ，故 ，又可得点 到平面 的距离为 ，故可求得三棱锥 的体积试题解析：（1）证明 ：因为 为正三角形， 为 的中点，所以 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 因为 ，所以 ，所以 因为 分别为棱 的中点，所以 ，所以 ，又 ，所以 平面 （2）由 ，可得 ，因为点 分别是 的中点，所以 ，因为 是边长是为 4 的等边三角形，所以 ，又 为 的中点，- 14 -所以点 到平面 的距离为 ，所以 20.已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 与直线 垂直，椭圆 经过点 （1）求椭圆 的标准方程；
15、（2）过点 作椭圆 的两条互相垂直的弦 若弦 的中点分别为 ，证明：直线恒过定点【答案】 （1） ；（2）直线 经过定点 .【解析】试题分析：（1）根据直线 与直线 垂直可得 ，从而得到 ，再由点 在椭圆上可求得 ，即可得椭圆的方程 （2）当直线 的斜率都存在时，设 的方程为，与椭圆方程联立消元后根据根据系数的关系可得点 的坐标，同理可得点坐标，从而可得直线 的方程，通过此方程可得直线过定点 然后再验证当直线的斜率不存在时也过该定点试题解析：（1）因为直线 与直线 垂直，所以 （ 为坐标原点） ，即 ，所以 因为点 在椭圆 上，所以 ，由 ，解得 ，- 15 -所以椭圆 的标准方程为 （2）当
16、直线 的斜率都存在时，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，由 消去 x 整理得 ，设 ，则 ，由中点坐标公式得 ，用 代替点 M 坐标中的 可得 所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以直线 经过定点 当直线 或 的斜率不存在时，可知直线 为 轴，也经过定点 综上所述，直线 经过定点 点睛：（1）解题时为了避免对直线的斜率是否存在的讨论，直线方程的形式可设为 的形式，但要注意此方程不能表示与 x 轴平行的直线（2）圆锥曲线中的定点问题是高考中的常考题型，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是数形结合思想、分类讨论思想的考查求解的方法有以下两种：假设定点坐标，
17、根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意- 16 -21.已知 （1）讨论 的单调性；（2）若存在 及唯一正整数 ，使得 ，求 的取值范围【答案】 （1） 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ;(2) 的取值范围是 .【解析】试题分析：（1）求出函数 的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性 （2）由题意得函数 在 上的值域为 结合题意可将问题转化为当 时，满足 的正整数解只有 1 个通过讨论 的单调性可得只需满足 ，由此可得所求范围试题解析：（1
18、）由题意知函数的定义域为 因为 ，所以 ，令 ，则 ，所以当 时， 是增函数，又 ，故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增所以 上单调递减，在 上单调递增（2）由（1）知当 时， 取得最小值，又 ，所以 在 上的值域为 因为存在 及唯一正整数 ，使得 ，所以满足 的正整数解只有 1 个- 17 -因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，即 ，解得 所以实数 的取值范围是 点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化
19、为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围） 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 （1）求曲线 的极坐标方程；（2）若射线 与曲线 交于点 ，与直线 交于点 ，求 的取值范围【答案】(1) ;(2) 的取值范围是 .【解析】试题分析：（1）将曲线 的参数方程化为普通方程后再化为极坐标方程 （2）利用极坐标求解，设，则 ，故 ，再转化为三角函数的问题求解试题解析：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 得曲线 的普通方程为 ，即 ，- 18 -将 代入上式得
20、，所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ；（2）设 ，则 ，所以，因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故 的取值范围是 23.已知函数 （1）若 ，解不等式 ；（2）若对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围【答案】(1) 解集为 ;(2) .【解析】试题分析：（1）先去掉 中的绝对值，再根据 中 的不同取值去掉绝对值后求解 （2）由题意转化为求函数 的最小值的问题，然后结合分段函数最小值的求法求解试题解析：（1）当 时，原不等式为 ，- 19 -当 时，不等式化为 ，等价于 或解得 当 时，不等式化为 ，解得 所以原不等式的解集为 （2） ，对任意 ，恒有 ，所以只需 又当 ，即 时， 有最小值 由题意得 ，解得 所以实数 的取值范围是 - 20 -
