1、- 1 -河南省长葛一高 2018 届高三数学上学期开学考试试题 文（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. 41 C. 5 D. 25【答案】C【解析】，故选 C。2.已知集合 ，则 的子集的个数为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】由 得 ，故 ，其子集的个数为 4.本题选择 B 选项.3.在等差数列 中， ，公差 ，则 （ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】D【解析】本题选择 D 选项.4.如
2、图，在 中， 为线段 的中点， 依次为线段 从上至下的 3 个四等分点，若，则（ ）- 2 -A. 点 与图中的点 重合 B. 点 与图中的点 重合C. 点 与图中的点 重合 D. 点 与图中的点 重合【答案】C【解析】点 P 与图中的点 F 重合.本题选择 C 选项.5. 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线 右支上一点，且 ，则（ ）A. 4 B. 3 C. D. 2【答案】A【解析】由双曲线的定义可知，本题选择 A 选项.6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有 个面是矩形，体积为 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
3、】由三视图可知，该几何体为直五棱柱，底面为俯视图所示，高为 2，故 .本题选择 D 选项.- 3 -点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑7.已知点 是平面区域 内的任意一点，则 的最小值为（ ）A. -3 B. -2 C. -1 D. 0【答案】B【解析】作出不等式组表示的可行域，由图可知，当 a=0,b=2 时，目标函数 z= 在点 处取得最小值-2.本题选择 B 选项.8.若 ，则 （ ）A. B
4、. C. D. 【答案】C【解析】本题选择 C 选项.9.设函数 的导函数为 ，若 为偶函数，且在 上存在极大值，则 的图像可能为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】若 为偶函数，则 为奇函数，故排除 B、 D.又 在 上存在极大值，故排除 A 选项，本题选择 C 选项.10.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则处可分别填入的是（ ）. - 5 -ABCDA. A B. B C. C D.
5、 D【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出 S 的值，由此得出结论【详解】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第 1 次循环： S1， i2，第 2 次循环： S1 ， i4，第 3 次循环： S1 ， i16，依此类推，第 6 次循环： S1 ， i64，第 7 次循环， S1 ， i128，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是： i128？， S S ， i2 i；故选： B【点晴】本题考查了程序框图的应用问题，其中程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键.11.已知多面体 的每个顶点
6、都在球 的表面上，四边形 为正方形， ，且在平面 内的射影分别为 ，若 的面积为 2，则球 的表面积的最小值为（ ）- 6 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 AB=a,BE=b,则 ABE 的面积为多面体 可以通过补形成长方体，如图所示，则球 O 即为该长方体的外接球，其表面积为本题选择 A 选项.12.若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 7 -当 仅与 轴交于 时， 与 轴有三个交点，满足题意，此时与 满足 ；当 与 轴有两个交点， 与 轴有两个时，满足题意，此时 满足 ；当 与 轴有三个交点， 与 轴有一个时，满足题意
7、，此时 满足 ；故选 C。点睛： 与 在 与 轴的交点都是三个，本题的分段函数与轴交点为四个，需分情况讨论： 与 轴交点个数：0，1，2，3 四种情况即可得结论。本题难度较大，主要考查了 的图象。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施，为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从 2 组青年组，2 组中年组，2 组老年组中随机抽取 2 组进行采访了解，则这 2 组不含青年组的概率为_【答案】【解析】设 2 组青年组的编号分别为 1,2,2 组中年组的编号分别
8、为 3,4,2 组老年组的编号为 5,6，则从中抽取两组所有的情况为：（1,2） ， （1,3） ， （1,4） ， （1,5） ， （1,6） ， （2,3） ， （2,4） ，（2,5） ， （2,6） ， （3,4） ， （3,5） ， （3,6） ， （4,5） ， （4,6） ， （5,6） ，共 15 种，其中不含青年组- 8 -的情况有 6 种，故所求概率为点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正
9、确使用.14.设椭圆 的离心率为 ，则直线 与 的其中一个交点到 轴的距离为_【答案】【解析】由 ，得直线 与 的其中一个交点到 轴的距离为 .15.若 是公比为 2 的等比数列，且 ，则 _ （用数字作答）【答案】1013【解析】因为 ，所以 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以所以16.已知 且 ，函数 存在最小值，则 的取值范围为_【答案】【解析】- 9 -当 时， 的最小值为 2.当 时，若 01，要使 存在最小值，必有 解得三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 所对的边分别为 .已知 ，且 .（1）求 的面
10、积；（2）若 ，求 的周长.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)由正弦定理角化边可得 ，然后利用面积公式可得 的面积 .(2)由题意结合余弦定理可得 ，则 的周长为 .试题解析：（1）由 ，得 ， ， ， ，故 的面积 .（2）由余弦定理得： ， ， ， ， ，即 的周长为 .18.如图，在底面为矩形的四棱锥 中， .（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，平面 平面 ，求三棱锥 与三棱锥 的表面积之差.- 10 -【答案】(1)见解析；(2) .【解析】试题分析：(1)由题中的几何关系可证得 平面 ，结合面面垂直的判断定理即可证得平面平面 ；(2)由题意分别求得三棱锥 与三棱锥
11、 的表面积，两者做差可得结果为 .试题解析：（1）证明：由已知四边形 为矩形，得 ， ， ， 平面 .又 ， 平面 . 平面 ，平面 平面 .（2）解：平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， ， 的面积为 .又 ， 平面 ， ， 的面积为 .又 平面 ， ， 的面积为 .又 ， 的面积为 8.而 的面积与 的面积相等，且三棱锥 与三棱锥 的公共面为 ，三棱锥 与三棱锥 的表面积之差为 .19.共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数
12、量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量 （千辆） 2 3 4 5 8- 11 -每天一辆车平均成本 （元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙： .(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:完成下表(计算结果精确到 0.1)(备注: , 称为相应于点 的残差(也叫随机误差);租用单车数量 (千辆) 2 3 4 5 8每天一辆车平均成本 (元) 3.2 2.4 2 1.9 1.7估计值 2.4 2.1 1.6模型甲残差 0 -0.1 0.1估
13、计值 2.3 2 1.9模型乙残差 0.1 0 0分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 及 ,并通过比较 的大小,判断哪个模型拟合效果更好.(2)这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放.根据市场调查，这个城市投放 8 千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 10 元，6 元收入的概率分别为 0.6，0.4；投放 1 万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 10 元，6 元收入的概率分别为 0.4，0.6.问该公司应该投放 8 千辆还是 1 万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本
14、）.【答案】 （1）见解析；模型乙的拟合效果更好；（2）应该增加到投放 1 万辆【解析】- 12 -试题分析（1）通过对回归方程的计算可得两种模型的估计值 ，代入 ，即可得残差；计算可得 可知模型乙拟合效果更好；（2）分别计算投放 千辆和一万辆时该公司一天获得的总利润，即可得结论。（1）经计算，可得下表： ， ，故模型乙的拟合效果更好.（2）若投放量为 8 千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为 ，所以一天的总利润为 （元）若投放量为 1 万辆，由（1）可知，每辆车的成本为 （元） ，每辆车一天收入期望为 ，所以一天的总利润为 （元）所以投放 1 万辆能获得更多利润，应该增加到投放 1 万辆.
15、20.如图，已知抛物线 ，圆 ，过抛物线 的焦点 且与 轴平行的直线与 交于 两点，且 .（1）证明：抛物线 与圆 相切；- 13 -（2）直线 过 且与抛物线 和圆 依次交于 ，且直线 的斜率 ，求 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】试题分析：(1)联立抛物线与圆的方程，可得所得的二次方程 ，抛物线 与圆 相切.(2)设出直线方程，联立直线与抛物线的方程，结合题意可得 ，换元令可得 的取值范围是 试题解析：（1）证明： ， ，故抛物线 的方程为 ，联立 与 ，得 ， ，抛物线 与圆 相切.（2） ，直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离为 ， ，设 ，由 ，得 ，则 ， ，
16、 ，设 ，则 ，设 ，则 ，- 14 - ， ，函数 在 上递增， ， ，即 的取值范围为 .21.已知函数 ， ，曲线 在 处的切线方程为 .（1）若 在 上有最小值，求 的取值范围；（2）当 时，若关于 的不等式 有解，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数 a,b 的方程组，解方程组可得 ，据此可得 的取值范围是；(2)原问题等价于不等式 在 上有解，设 ，结合的性质可得 的取值范围是 .试题解析：（1） ，由题意可知， ，解得 ，所以 ，当 ，即 时， 递增；当 ，即 时， 递减.因为 在 上有最小值，所以 的取值范围为 .（2）关于 的
17、不等式 在 上有解等价于不等式 在上有解，设 ，则 ，- 15 -当 ，即 时， 递增；当 ，即 时， 递减，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 的取值范围是 .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应
18、用请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，点 ，以极点 为原点，以极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线 （ 为参数）与曲线 交于两点，且 .（1）若 为曲线 上任意一点，求 的最大值，并求此时点 的极坐标；（2）求 .【答案】 （1） 取得最大值 ，此时， 的极坐标为 .；（2） 【解析】- 16 -试题分析：(1)利用题意结合辅助角公式可得当 时， 取得最大值 ，此时， 的极坐标为 .(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程，结合韦达定理可得 的值是 试题解析：（1） ， ，当 时， 取得最大值 ，此时
19、， 的极坐标为 .（2）由 ，得 ，即 ，故曲线 的直角坐标方程为 .将 代入 并整理得： ，解得 ， ，由 的几何意义得， ， ，故 .23.已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若函数 的图像在 上与 轴有 3 个不同的交点，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)利用不等式的特点零点分段可得不等式的解集为(2)令 ，结合函数的图象和题意可得 的取值范围是 .试题解析：（1）由 ，得 ， 或 或 ，解得 ，故不等式 的解集为 .- 17 -（2） ，当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号， ，当 时， 递减，由 ，得 ，又 ，结合 的图像可得 .- 18 -
