1、1第十一讲 二次函数及其应用第1课时 二次函数(时间：60分钟)一、选择题1.对于二次函数yx 22mx3,下列结论错误的是( C )A.它的图象与x轴有两个交点B.方程x 22mx3的两根之积为3C.它的图象的对称轴在y轴的右侧D.当xm时,y随x的增大而减小2.在下列二次函数中,其图象对称轴为x2的是( A )A.y(x2) 2 B.y2x 22C.y2x 22 D.y2(x2) 23.(2018永州中考)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y (b0)与二次函数yax 2bx(a0)的图象大bx致是( D ),A) ,B) ,C) ,D)4.(2018成都中考)关于二次函数y2x 24x1
2、,下列说法正确的是( D )A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为35.(2018岳阳中考)在同一直角坐标系中,二次函数yx 2与反比例函数y (x0 )的图象如图,若两个函数图1x象上有三个不同的点A(x 1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令x 1x 2x 3,则的值为( D ) A.1 B.m C.m2 D.1m6.(2018白银中考 )如图是二次函数yax 2bxc(a、b、c是常数,a0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x1.对于下列说法：ab0；2
3、ab0；3ac0；abm(amb)(m为实数)；当1x3时,y0,其中正确的是( A ) 2A. B.C. D.7.若抛物线y(xm) 2(m1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )A.m1 B.m0C.m1 D.1m08.如图,已知ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1),若二次函数yx 2bx1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是( C ) A.b2 B.b2C.b2 D.b29.(2018泸州中考)已知二次函数yax 22ax3a 23(其中x是自变量),当x2时,y随x的增大而增大,且2x1时,y的最大值为9,则a的值为( D )A
4、.1或2 B. 或2 2C. D.1210.已知抛物线yx 22mx4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M,若点M在这条抛物线上,则点M的坐标为( C )A.(1,5) B.(3,13)C.(2,8) D.(4,20)二、填空题。11.(2018哈尔滨中考)抛物线y2(x2) 24的顶点坐标为_(2,4)_.12.(2018自贡中考)若函数yx 22xm的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为_1_ _.13.二次函数y x2的图象如图所示,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B、C在二次函数y x2的图象3 3上,四边形OBAC为菱形,且OBA120,则菱形OBAC的面积为_2 _
5、.3,(第13题图) ,(第14题图)14.如图,抛物线yax 2bxc过点(1,0),且对称轴为直线x1,有下列结论：abc0；10a3bc0；抛物线经过点(4,y 1)与点(3,y 2),则y 1y 2；无论a、b、c取何值,抛物线都经过同一个点 ；am 2(ca， 0)3bma0( m为实数),其中正确结论的序号是_.三、解答题15.如图,已知抛物线yx 2mx3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),抛物线与直线y x3交于C、D两点.连结BD、AD.32(1)求m的值；(2)抛物线上有一点P,满足S ABP 4S ABD ,求点P的坐标.解：(1)抛物线yx 2
6、mx3过点B(3,0),093m3,m2；(2)联立 y x2 2x 3，y 32x 3， )解得 D .x1 0，y1 3， )x2 72，y2 94， ) (72， 94)S ABP 4S ABD , AB|yP|4 AB ,12 12 94|y P|9,即y P9.当y9时,x 22x39,无实数解；当y9时,x 22x39,解得x 11 ,x21 .13 13P(1 ,9)或P(1 ,9).13 1316.(2018南充中考)如图,抛物线顶点P(1,4),与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B.(1)求抛物线的表达式；(2)Q是抛物线上除点P外一点,BCQ与BCP的面积相等,求点
7、Q的坐标；(3)若M、N为抛物线上两个动点,分别过点M、N作直线BC的垂线段,垂足分别为点D、E.是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在,求正方形MNED的边长；如果不存在,请说明理由.4解：(1)设抛物线表达式为ya(x1) 24(a0).由抛物线上点C(0,3),得a43,a1,y(x1) 24x 22x3；(2)由B(3,0)、C(0,3),得直线BC的表达式为yx3.过点P作PQ 1BC交抛物线于点Q 1,则SBCQ 1S BCP .P(1,4),直线PQ 1的表达式为yx5.联立 解得y x 5，y x2 2x 3， ) x1 1，y1 4， )x2 2，y2 3， )Q
8、 1(2,3)；设抛物线的对称轴交BC于点G,交x轴于点H,则G(1,2), PGGH2.过点H作直线Q 2Q3BC交抛物线于点Q 2,Q3,则SBCQ 2SB CQ3S BCP ,直线Q 2Q3的表达式为yx1.联立 y x 1，y x2 2x 3， )解得x1 3 172 ，y1 1 172 ， )x2 3 172 ，y2 1 172 .)满足条件的点Q有3个,其坐标为Q 1(2,3)、Q2 、Q 3 ；(3 172 ， 1 172 ) (3 172 ， 1 172 )(3)存在满足条件的点M、N.如图,作MNBC,过点M作MFy轴,过点N作NFx轴交MF于点F,过点N作NHy轴交BC于点
9、H,则MNF与NEH都是等腰直角三角形.设M(x 1,y1),N(x2,y2),直线MN的表达式为yxb.联立 得x 23x(b3)0.y x b，y x2 2x 3， )NF 2 2(x 1x 2)24x 1x2214b.|x1 x2|MNF为等腰直角三角形,MN 22NF 2428b.又NH 2(b3) 2,NE 2 (b3) 2.12四边形MNED为正方形,NE 2MN 2,428b (b26b9),12b 210b750,b 115,b 25.正方形的边长为MN ,42 8b5MN9 或 .2 217.(2018达州中考)如图,抛物线经过原点O(0,0)、点A(1,1)、点B .(72
10、， 0)(1)求抛物线的表达式；(2)连结OA,过点A作ACOA交抛物线于点C,连结OC,求AOC的面积；(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点,连结OM,过点M作MNOM交x轴于点N.问：是否存在点M,使 以点O、M、N为顶点的三角形与(2)中的AOC相似？若存在,求出点M的坐标；若不存在,说明理由.,) ,备用图解：(1)设抛物线的表达式为yax ,(x72)把A(1,1)代入yax ,得(x72)a 1,解得a ,(172) 25抛物线的表达式为y x ,25(x 72)即y x2 x；25 75(2)延长CA交y轴于点D.A(1,1),OA ,DOA45,2AOD为等腰直角三角形.OAAC
11、,OD OA2,D(0,2).2易得直线AD的表达式为yx2.联立 解得 或y x 2，y 25x2 75x， ) x 1，y 1) x 5，y 3， )C(5,3),S AOC S COD S AOD 25 214；12 12(3)存在.过点M作MHx轴于点H,则OMNOHM,要使OMN与AOC相似,只需OHM与AOC相似.AC 4 ,OA .（ 5 1） 2 （ 3 1） 2 2 2设M (x0).(x， 25x2 75x)由于OHMOAC90,则当 ,即OHMOAC时,OHOA MHAC6 , x2 x4x,x2 | 25x2 75x|42 25 75x0(舍去)或x (舍去)或x ,132 272此时点M的坐标为 ；(272， 54)当 ,即OHMCAO时,OHAC MHOA , x2 x x,x42 | 25x2 75x|2 25 75 14x0(舍去)或x 或x ,238 338此时点M的坐标为 或 .(238， 2332) (338， 3332)综上所求,当点M的坐标为 或 或 .(272， 54) (238， 2332) (338， 3332)
