1、1第二十三讲 与圆有关的位置关系宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1(2014宜宾中考)如图，已知AB为O的直径，AB2，AD和BE是O的两条切线，A、B为切点，过 圆上一点C作O的切线 CF，分别交AD、BE于点M、N，连结 AC、CB.若ABC30，则AM_ _.332(2017宜 宾中考)如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分CAE交O于点D，且AECD，垂足为点E. (1)求证：直线CE是O的切线；(2)若BC3，CD3 ，求弦AD的长2(1)证明：连结OD.AD平分EAC，OADEAD.OAOD，OADODA，EADODA，ODAE.AEDC，ODCE，直线CE是O的
2、切线；(2)解：连接BD.CDOADB90，ODACDBOAD.BCDDCA，CDBCAD， ，CD 2CBCA，(3 )23CA，CA6，ABCABC3, CDCA CBCD BDDA 2 .设BD k，AD2k.在 RtADB中，2k 24k 23 2，k ，AD .BDAD CDCA 326 22 2 62 63(2018宜宾中考)如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为BC延长线上一点，且BCCD，CEAD于点E. 2(1)求证：直线EC为O的切线；(2)设BE与O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知PCFCBF，PC5，PF4，求 sin PEF的值(1)证明：连接OC.CEA
3、D于点E，DEC90.BCCD，点C是BD的中点又点O是AB的中点，OC是BDA的中位线，OCAD，OCECED90，OCCE.又点C在O上，直线EC为O的切线；(2)解：连结AC.AB是O的直径，点F在O上，AFBPFE90CEA.EPFEPA，PEFPAE，PE 2PFPA.FBCPCFCAF，CPFAPC，PCFPAC，PC 2PFPA，PEPC.在 RtPEF中， sin PEF .PFPE 45宜宾中考考点梳理点与圆的位置关系1点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外与其对应关系简明介绍如下：点与圆的位置关系 图示 d与r的大小关系点A在圆内dOAr点B在圆上dOBr点C在
4、圆外dOCr【方法点拨】(1)点与圆的位置关系的数量特征，既是定义，也可作判定方法(2)其中，点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与定点的距离相等3直线与圆的位置关系2直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离既可以由直线与圆的交点个数来定义，也可以由圆心到直线的距离的大小关系来定义直线与圆的位置关系 相交 相切 相离图示公共点个数 2 1 0圆心到直线的距离d与半径r的大小关系 d_r d_r d_r3.切线的判定定理经过圆的半径的外端且_垂直于_这条半径的直线是圆的切线【方法点拨】(1)若直线与圆只有一个公共点，则这条直线是圆的切线；(2)连结圆心与直线的
5、公共点即为半径，再证它们互相垂直，简称“连半径证垂直”；(3)当直线与圆的公共点没有确定时，首先过圆心作出直线的垂线，再证垂线段的长等于半径，简称“作垂直证半径”4切线的性质定理圆的切线垂直于_经过切点的半径_推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心【方法点拨】(1)分析性质定理和两个推论的条件、结论间的关系，可知如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的两个，就可以推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心；(2)与圆的切线有关的辅助线作法：若一个圆有切线，则常过圆心作切线的垂线段为辅助线；若条件交代了切点，则连结圆心和切点是最常见的辅助线5切线长定理
6、(1)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长_相等_这一点和圆心的连线_平分_这两条切线的夹角(2)切线长定理的应用：如图，PA、PB与O分别相切于A、B两点，则PAOPBO，PAPB；APOBPO；OA 2AP 2OP 2. 三角形的外心和内心6三角形的外心：经过三角形_三个顶点_的圆就是这个三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形的外心就是三角形_三条边的垂直平分线_ 的交点，到三角形_三个顶点_的距离相等7三角形的内心：与三角形_各边都相切_的圆叫做这个三角形的_内切圆_三角形的内切圆的圆心叫4做这个三角形的内心，这个
7、三角形叫做这个圆的外切三角形三角形的内心就是三角形_三条角平分线_的交点，到三角形_三边_的距离相等圆中常见辅助线的作法8(1)有弦，可作弦心距；(2)有直径，可作直径所对的圆周角，此时圆周角为直角；(3)有切线，可作过切点的半径；(4)两圆相交，可作公共弦；(5)两圆相切，可作切线；(6)有半圆，可作整圆1AB是O 的直径，PA切O于点A，PO交O于点C，连结BC，若P40，则B等于( B )A20 B25 C30 D402如图，在ABC中，A66，点I是内心，则BIC的大小为( C ) A114 B122 C123 D1323以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线yxb与O相交，则b的
8、取值范围是( D )A0b2 B2 b22 2 2C2 b2 D2 b23 3 2 24(2018重庆中考A卷)如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD与O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若O的半径为4，BC6，则PA的长为( A ) A4 B2 C3 D2.535(2018福建中考)如图，AB是O的直径，BC与O 相切于点B，AC交O于点D，若ACB50，则BOD等于( D ) A40 B50 C60 D8056(2018安顺中考)如图 ，在ABC中，ABAC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D. (1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；(2)若 cos A
9、BC ，AB12，求半圆O所在圆的半径23(1)证明：如图，作OEAB于点E，连结OD、OA.ABAC，O为BC的中点，CAOBAO.AC与半圆O相切于点D，ODAC.OEAB，ODOE.AB经过半圆O半径的外端，AB是半圆O所在圆的切线；(2)解：ABAC，O是BC的中点，AOBC.由 cos ABC ，AB12，得OBAB cos ABC12 8.23 23由勾股定理，得AO 4 .AB2 OB2 5由三角形的面积公式，得S AOB ABOE OBOA，12 12OE ，OBOAAB 853半圆O所在圆的半径是 .8537(2018孝感中考)如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC
10、于点D，交AC于点E，过点D作DFAC于点F，交AB的延长线于点G.(1)求证：DF是O的 切线；(2)已知BD2 ，CF2，求AE和BG的长5(1)证明：连结OD、AD.AB为O的直径，ADB90，即ADBC.ABAC，BDCD.又OAOB，ODAC.6DGAC，O DFG，DF是O的切线；(2)解：连结BE.BD2 ，CDBD2 .CF2，DF 4.AB是O的直径，AE5 5 （ 25） 2 22BCEB90，BEAC.DFAC，DFBE，DF为BEC的中位线， BE2DF8. cos C cos ABC， ， ，AB10，AE 6.CFCD BDAB 225 25AB 102 82BEA
11、C，GFAC，BEGF，AEBAFG， ， ，ABAG AEAF 1010 BG 610 2BG .103中考典题精讲精练点与圆、直线与圆的位置关系命题规律：考查点与圆、直线与圆的位置关系，关键是熟记两者关系中的数量关系【典例1】已知O的半径r3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：若d5，则m0；若d5，则m1；若1d5，则m3；若d1，则m2；若d1，则m4.其中正确命题的个数是( C )A1 B2 C3 D5【解析】根据直线与圆的位置关系，直线与圆的交点个数，分析命题中的数据即可得到答案若d5，则直线与圆相离，m0，故命题正确；若d5，则直
12、线与圆相离，m1，故命题正确；若1d5，则m2，故命题错误；若d1，则直线与圆相交，m3，故命题错误；若d1，则直线与圆相交，m4，故命题正确切线的判定与性质命题规律：考查切线的判定与性质，常以填空题、选择题、解答题的形式出现【典例2】(2018德州中考)如图，AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是 的中点BF (1)求证：ADCD；(2)若CAD30，O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BEEC 爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程( CB 3.14， 1.73，结果保留一位小数)3【解析】(1)连结OC，根据切线的性质得到OCCD，证明OCAD，根据平行线的性质
13、证明；7(2)根据圆周角定理得到COE60，根据勾股定理、弧长公式计算蚂蚁爬过的路程即可【解答】(1)证明：连结OC. 直线CD与O相切，OCCD.点C是 的中点，DACEAC.BF OAOC，OCAEAC，DACOCA，OCAD，ADCD ；(2)解：CAD30，CAECAD30，由圆周角定理，得COE60，OE2OC6，EC OC3 ， 的长 ，3 3 CB 60 3180蚂蚁爬过的路程33 11.3.3【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算， 掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键与切线相关的几何探究题命题规律：这类题目将圆、三角形、四边形的知识综合起来，考查综合应用
14、知识解决问题的能力，题目难度大，常为压轴题【典例3】(2018黄冈中考)如图，AD是O的直径，AB为O的弦，OPAD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.(1)求证：CBPADB；(2)若OA2，AB1，求线段BP的长【解析】(1)连结OB，如图根据圆周角定理的推论得到ABD90，再根据切线的性质得到OBC90，然后利用等量代换可证得CBPADB；(2)根据两组角对应相等可证明AOPABD，然后利用 ，即 ，可求BP的长. APAD AOAB 1 BP4 21【解答】(1)证明：连结OB. AD是O的直径，ABD90，AADB90.BC为切线，OBBC， OBC90，OBAC
15、BP90.OAOB，AOBA，CBPADB；(2)解：OPAD，POA90.AOPABD.又OAPBAD， RtAOP RtABD，8 ，即 ，BP7.APAD AOAB 1 BP4 21【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理的推论以及相似三角形的判定与性质. (1)连结OB是解决问题的关键；(2)证明 RtAOP RtABD是解决问题的关键1(2018宜宾中考)在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB 2AC 22AO 22BO 2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE4，EF3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF 2PG 2的最小值为( D )A. B.
16、 C34 D10101922(2018湘西中考)已知O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与O的位置关系为( B )A相交 B相切 C相离 D无法确定3. (2018哈尔滨中考)如图，点P为O外一点，PA为O的切线，A为切点，PO交O于点B，P30，OB3，则线段BP的长为( A ) A3 B3 C6 D934(2018昆明中考)如图，AB是O的直径，ED切O于点C，AD交O于点F，AC平分BAD，连结BF. (1)求证：ADED；(2)若CD4，AF2，求O的半径(1)证明：连结OC，如图AC平分BAD，OACCAD.OAOC，OACOCA，CADOCA，OCAD.ED
17、切O于点C，OCED，ADED；(2)解：设OC交BF于点H，如图AB为O的直径，AFB90，易得四边形CDFH为矩形，FHCD4，CHF90，9OHBF，BHFH4，BF8.在 RtABF中，AB 2 ，AF2 BF2 22 82 17O的半径为 .175(2018新疆中考)如图，PA与O相切于点A，过点A作ABOP，垂足为C，交O于点 B.连结PB、AO，并延长AO交O于点D，与PB的延长线交于点E.(1)求证：PB是O的切线；(2)若OC3，AC4，求 sin E的值(1)证明：连结OB.POAB，ACBC，PAPB.在PAO和PBO中，PAPB，AOBO，POPO，PAO PBO，OBPOAP90.PB是O的切线；(2)解：连结BD.则BDPO，且BD2OC6.在 RtACO中，OC3，AC4，AO5.在 RtACO与 RtPAO中，AOCPOA，PAOACO90，ACO PAO， ，AOCO POAOPO ，PA ，253 203PBPA .203在EPO与EBD中，BDPO，EPO EBD， ，BDPO EBEP解得EB ，PE ，1207 50021 sin E .PAEP 72510
