1、第3讲 导数的简单应用,总纲目录,考点一 导数的几何意义及定积分,1.导数公式 (1)(sin x)=cos x; (2)(cos x)=-sin x; (3)(ax)=axln a(a0,且a1); (4)(logax)= (a0,且a1); (5)(x)=x-1(Q*); (6)(ex)=ex; (7)(ln x)= .,2.导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率, 曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f (x0),相应的切线方程为y-f(x0)= f (x0)(x-x0).,3.定积分的性质 a. kf(x)dx=k f(x)dx(
2、k为常数); b. f1(x)f2(x)dx= f1(x)dx f2(x)dx; c. f(x)dx+ f(x)dx= f(x)dx(acb).,1.已知函数f(x)= cos x,则f()+f = ( ) A.- B.- C.- D.-,答案 C f(x)= cos x,f (x)=- cos x+ (-sin x).f()+f =- + (-1)=- .,2.(2018课标全国,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函 数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x,答案 D f(x)=x3+
3、(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0.解得a=1, f(x)=x3+x.f (x)=3x2+1.f (0)=1.故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线 方程为y=x.故选D.,解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,需要设出切点. (2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再 将切点代入两者的解析式建立方程组. (3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条 件.,3.(2018课标全国,14,5分)若曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线 的斜率为-2,则a= .,答案 -3,解析 设f(x)=
4、(ax+1)ex,则f (x)=(ax+a+1)ex.所以曲线在点(0,1)处的 切线的斜率k=f (0)=a+1=-2.解得a=-3.,4.已知a= (-cos x)dx,则 的展开式中,x3项的系数为.,答案 -,解析 a= (-cos x)dx=-sin x =- =-1. 的 展开式的通项公式为 (-x)9-r = (-1)9-r x9-2r.由9-2r=3, 得r=3.故x3的系数为 =- .,方法归纳,曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及求解方法 (1)已知切点P(x0,y0),求切线方程: 求出切线的斜率f (x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率k,求切线方程: 设
5、切点P(x0,y0),通过方程k=f (x0)解得x0,再由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程: 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f (x0),再由斜率公式求得切 线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.,考点二 利用导数研究函数的单调性,导数与函数单调性的关系 (1)f (x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-, +)上单调递增,但f (x)0. (2)f (x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间 内恒有f (x)=0时,f(x)为常数函数,函数不具有单调性.,命题角度一 讨论(确定)函
6、数的单调性(区间),例1 (2018课标全国,21节选)已知函数f(x)= -x+aln x.讨论f(x) 的单调性.,解析 f(x)的定义域为(0,+), f (x)=- -1+ =- . 若a2,则f (x)0,当且仅当a=2,x=1时, f (x)=0,所以f(x)在(0,+ )上单调递减.,若a2,令f (x)=0,得x= 或x= . 当x 时, f (x)0. 所以f(x)在 , 上单调递减,在,上单调递增.,方法归纳,求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性,其实就是讨论不等式解集的情况,大多数情况 下,这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集 的讨论: (
7、1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时,依据根的大 小进行分类讨论. (2)在不能通过因式分解求出根的情况时,根据不等式对应方程的 判别式进行分类讨论. 注意讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要 忽视了定义域的限制.,命题角度二 利用函数的单调性求参数的值(范围),例2 若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,求实数a的取 值范围.,解析 因为f(x)=x2-4ex-ax,所以f (x)=2x-4ex-a.由题意得,f (x)=2x-4 ex-a0,即a2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g (x)=2-4ex.令g (x)=0,解 得x=-l
8、n 2.当x(-,-ln 2)时,函数g(x)=2x-4ex单调递增;当x(-ln 2,+)时,函数g(x)=2x-4ex单调递减.所以,当x=-ln 2时,g(x)=2x-4ex 取得最大值-2-2ln 2,所以a-2-2ln 2.所以实数a的取值范围为(-, -2-2ln2).,方法归纳,根据函数y=f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法 (1)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则转化为f (x)0在区间 (a,b)上恒成立求解. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则转化为f (x)0在区间 (a,b)上恒成立求解. (3)若函数y=f(x)在区
9、间(a,b)上单调,则转化为f (x)在区间(a,b)上不 变号,即f (x)在区间(a,b)上恒正或恒负. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f (x)=0在区间(a,b) 上有解.,1.已知函数f(x)=-ln x+ +3,则函数f(x)的单调递减区间是 ( ) A.(-,0) B.(0,1) C.(0,+) D.(1,+),答案 B 已知函数f(x)=-ln x+ +3,其定义域为(0,+),则f (x) =- +x.由 得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0, 1).故选B.,2.若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)f(2) C.2f(1)=f(2)
10、 D.f(1)=f(2),答案 A 设g(x)= ,则g(x)= .f(x)0.函数g(x)在(0,+)上单调递增. ,即2f(1)f(2). 故选A.,3.若函数f(x)= - x2+x+1在区间 上单调递减,则实数a的取 值范围是 .,答案,解析 由已知,得f (x)=x2-ax+1.函数f(x)在区间 上单调递 减,f (x)0在区间 上恒成立. 即 解得a .实数a的取值范围为.,考点三 利用导数研究函数的极值(最值)问题,可导函数的极值与最值 (1)若在x0附近左侧f (x)0,右侧f (x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b
11、)内可导,则f(x)在a,b上必有 最大值和最小值且在极值点或端点处取得.,例 (2018天津文,20节选)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3 R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列. (1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)若d=3,求f(x)的极值.,解析 (1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f (x)=3x2-1.所以f(0) =0, f (0)=-1. 又因为曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y-f(0)=f (0)(x-0),故 所求切线方程为x+y=
12、0. (2)由已知,可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3 - 9)x- +9t2. 故f (x)=3x2-6t2x+3 -9. 令f (x)=0,解得x=t2- ,或x=t2+ . 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,所以函数f(x)的极大值为f(t2- )=(- )3-9(- )=6 ;函数 f(x)的极小值为f(t2+ )=( )3-9( )=-6 .,方法归纳,利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值,则先求方程f (x)=0的全部实根,再检验f (x)在方程根 的左右两侧值的符号.
13、 (2)若已知极值的存在情况,则转化为已知方程f (x)=0的根的存在 情况,从而求解. (3)求函数f(x)在闭区间a,b上的最值时,在得到极值的基础上,比 较区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值,从而得到函数的最 值.,1.函数y= 在0,2上的最大值是 ( ) A. B. C.0 D.,答案 A 易知y= ,x0,2,令y0,得0x1,令y0,得1x 2.所以函数y= 在0,1上单调递增,在(1,2上单调递减.所以y=在0,2上的最大值是y|x=1= .故选A.,2.(2017课标全国,11,5分)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值 点,则f(x)
14、的极小值为 ( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,答案 A 由题意,得f (x)=x2+(a+2)x+a-1ex-1. x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,f (-2)=0.a=-1.f(x)= (x2-x-1)ex-1, f (x)=(x2+x-2)ex-1=(x-1)(x+2)ex-1.x(-,-2)(1,+) 时, f (x)0, f(x)单调递增;x(-2,1)时, f (x)0, f(x)单调递减. f(x)极小值=f(1)=-1.故选A.,3.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方 程
15、为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.,解析 (1)f (x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知,得f(0)=4, f (0)=4.故b=4,a+b=8. 从而a=4,b=4. (2)由(1)知f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f (x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2) . 令f (x)=0,得x=-ln 2或x=-2. 从而当x(-,-2)(-ln 2,+)时, f (x)0; 当x(-2,-ln 2)时, f (x)0. 故f(x)在(-,-2),(-ln 2,+)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,为f(-2)=4(1-e-2).,
