1、13.6 直线和圆的位置关系第 1 课时 直线和圆的位置关系及切线的性质1理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系；(重点)2掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法； (难点)3掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题(重点)一、情境导入在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？二、合作探究探究点一：直线和圆的位置关系【类型一】 判定直线和圆的位置关系已知 O 半径为 3， M 为直线 AB 上一点，若 MO3，则直线 AB 与 O 的位置关系为( )A相切 B相交 C相切或相离 D相切或相交解析：因
2、为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于 3，则直线和圆相交、相切都有可能故选 D.方法总结：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离特别注意：这里的 3 不一定是圆心到直线的距离变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 3 题【类型二】 根据直线和圆的位置关系，求线段的长或取值范围在 Rt ABC 中， C90， AC BC， CD AB 于点 D，若以点 C 为圆心，以 2cm长为半径的圆与斜边 AB 相切，那么 BC 的长等于( )A2cm B2 cm 2C2 cm D4cm3解析：如图所示，在 Rt ABC 中， C90， AC BC， CD AB， ABC 是等腰直角
3、三角形以点 C 为圆心，以 2cm 长为半径的圆与斜边 AB 相切， CD2cm. B45， CD BD2cm， BC 2 (cm)故选 B.CD2 BD2 22 22 2方法总结：解决问题的关键是根据题意画出图形，利用直线和圆的三种位置关系解答变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 2 题2【类型三】 在平面直角坐标系中，解决直线和圆的位置关系的问题如图，在平面直角坐标系中，已知 O 的半径为 1，动直线 AB 与 x 轴交于点P(x，0)，且满足直线 AB 与 x 轴正方向夹角为 45，若直线 AB 与 O 有公共点，则 x 的取值范围是( )A1 x1 B x2 2C0 x D
4、x2 2 2解析：当直线 AB 与 O 相切且与 x 轴正半轴相交时，设切点为 C，连接 OC.直线 AB与 x 轴正方向夹角为 45， POC 是等腰直角三角形 O 的半径为1， OC PC1， OP ，点 P 的坐标为 ( ，0)同理可得，当直线 AB12 12 2 2与 x 轴负半轴相交时，点 P 的坐标为( ，0)， x 的取值范围为 x .故选 D.2 2 2方法总结：解决本题要熟知直线和圆的三种位置关系，关键是有公共点的情况不要遗漏变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 3 题探究点二：切线的性质【类型一】 利用切线的性质求线段长如图， CB 是 O 的直径， P 是 CB
5、 延长线上一点， PB2， PA 切 O 于 A 点，PA4.求 O 的半径解析：设圆的半径是 x，利用勾股定理可得关于 x 的方程，求出 x 的值解：如图，连接 OA， PA 切 O 于 A 点， OA PA.设 OA x， OP x2.在 RtOPA 中， x24 2( x2) 2， x3， O 的半径为 3.方法总结：运用切线的性质来进行计算或证明时，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题【类型二】 圆的切线与相似三角形的综合如图，在 Rt ABC 中， ACB90，以 AC 为直径的 O 与 AB 边交于点
6、 D，过点D 作 O 的切线，交 BC 于 E，连接 CD.(1)求证：点 E 是边 BC 的中点；(2)求证： BC2 BDBA；(3)当以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形时，求证： ABC 是等腰直角三角形3解析：(1)利用切线的性质及圆周角定理证明；(2)利用相似三角形证明；(3)利用正方形的性质证明证明：(1)如图，连接 OD. DE 为切线， EDC ODC90. ACB90， ECD OCD90.又 OD OC， ODC OCD， EDC ECD， ED EC. AC为直径， ADC90， BDE EDC90， B ECD90， B BDE， ED BE. EB E
7、C，即点 E 为边 BC 的中点；(2) AC 为直径， ADC ACB BDC90.又 B B， ABCCBD， ， BC2 BDBA；ABBC BCBD(3)当四边形 ODEC 为正方形时， OCD45. AC 为直径， ADC90， CAD180 ADC OCD180904545，Rt ABC 为等腰直角三角形方法总结：本题的综合性比较强，但难度不大，解决问题的关键是综合运用学过的知识解答另外，连接圆心和切点，构造直角三角形也是解题的关键【类型三】 圆的切线与三角函数的综合如图， AB 为 O 的直径，弦 CD AB 于点 H，过点 B 作 O 的切线与 AD 的延长线交于 F 点(1)
8、求证： ABC F；(2)若 sinC ， DF6，求 O 的半径35解析：(1)由切线的性质得 AB BF，因为 CD AB，所以 CD BF，由平行线的性质得 ADC F，由圆周角定理的推论得 ABC ADC，于是证得 ABC F；(2)连接 BD.由直径所对的圆周角是直角得 ADB90，因为 ABF90，然后运用解直角三角形解答(1)证明： BF 为 O 的切线， AB BF. CD AB， ABF AHD90， CD BF. ADC F.又 ABC ADC， ABC F；(2)解：连接 BD， AB 为 O 的直径， ADB90， A ABD90.由(1)可知 ABF90， ABD D
9、BF90， A DBF.又 A C， C DBF.在 Rt DBF 中，sin DBFsin C ， DF6， BF10， BD8.在 Rt ABD 中，35sinAsin C ， BD8， AB . O 的半径为 .35 403 203方法总结：运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题4三、板书设计直线和圆的位置关系及切线的性质1直线和圆的位置关系：直线 l 与圆 O 相交 d r；直线 l 与圆 O 相切 d r；直线 l 与圆 O 相离 d r.2切线的性质及运用在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松地就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化.
