1、1限时检测提速练(十七) 最值与范围问题A组1如图，在矩形 ABCD中，| AB|4，| AD|2， O为 AB的中点， P， Q分别是 AD和 CD上的点，且满足 ，直线 AQ与 BP的交点在椭圆 E： 1( a b0)|AP|AD| |DQ|DC| x2a2 y2b2上(1)求椭圆 E的方程；(2)设 R为椭圆 E 的右顶点， M为椭圆 E第一象限部分上一点，作 MN垂直于 y轴，垂足为 N，求梯形 ORMN面积的最大值解：(1)设 AQ与 BP的交点为 G(x， y)， P(2， y1)， Q(x1,2)，由题可知， ， ， ，y12 x1 24 yx 2 2x1 2 yx 2 y14从
2、而有 ，4y2 x x 2y整理得 y21，即为椭圆 E的方程x24(2)由(1)知 R(2,0)，设 M(x0， y0)，则 y0 ，124 x20从而梯形 ORMN的面积S (2 x0)y0 ，12 14 4 x20 2 x0 2令 t2 x0，则 2 t4， S ，144t3 t4令 u4 t3 t4，则 u12 t24 t34 t2(3 t)，当 t(2,3)时， u0， u4 t3 t4单调递增，当 t(3,4)时， u0， u4 t3 t4单调递减，所以当 t3 时， u取得最大值，则 S也取得最大值，最大值为 3342(2018资阳三诊)已知 A1， A2为椭圆 E： 1( a
3、b0)的左、右顶点，x2a2 y2b2|A1A2|2 ，离心率为 2222(1)求椭圆 E的方程；(2)设动点 P(2 ， t)(t0)，记直线 PA1， PA2与 E的交点(不同于 A1， A2)到 x轴的距2离分别为 d1， d2，求 d1d2的最大值解：(1)由| A1A2|2 得 2a2 ，则 a 2 2 2又由 e 得， c1，所以 b2 a2 c2122故椭圆 E的方程为 y21x22(2)不妨设 t0.直线 PA1的方程为 x y ，直线 PA2的方程为 x y ，32t 2 2t 2设直线 PA1， PA2与 E的交点分别为 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由Erro
4、r! 得 y2 y0，(218t2) 12t可得 y1 6tt2 9又由Error! 得 y2 y0，(22t2) 4t可得 y2 2tt2 1则 d1d2 6tt2 9 2tt2 1 12t2t4 10t2 9 12t2 9t2 10因为 t2 6，当且仅当 t23 取等号，9t2所以 ，12t2 9t2 10 34即( d1d2)max .当且仅当 t 取等号34 33(2018石嘴山一模)已知椭圆 E： 1( a b0)过点 ，两个焦点的坐x2a2 y2b2 (1， 22)标分别为(1,0)，(1,0)(1)求 E的方程；(2)若 A， B， P(点 P不与椭圆顶点重合)为 E上的三个不
5、同的点， O为坐标原点，且 ，求 AB所在直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值OP OA OB 解：(1)由已知得 c1,2 a 2 ，4 12 12 2 a ， b1，23则 E的方程为 y21x22(2)设 AB： x my t(m0)代入 y21x22得( m22) y22 mty t220，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，2mtm2 2 t2 2m2 2 8( m22 t2)，设 P(x， y)，由 ，得OP OA OB y y1 y2 ，2mtm2 2x x1 x2 my1 t my2 t m(y1 y2)2 t ，4tm2 2点 P在
6、椭圆 E上， 1，16t22 m2 2 2 4m2t2 m2 2 2即 1，4 t2 m22，4t2 m2 2 m2 2 2在 x my t中，令 y0，则 x t，令 x0，则 y tm三角形面积 S |xy| 2 ，当且仅当12 12 t2|m| 18 m2 2|m| 18(|m| 2|m|) 18 2 24m22， t21 时取得等号，此时 240，所求三角形面积的最小值为 244(2018河南联考)已知抛物线 C： x22 py(p0)的焦点为 F，过 F的直线 l交抛物线 C于点 A， B，当直线 l的倾斜角是 45时， AB的中垂线交 y轴于点 Q(0,5)(1)求 p的值；(2)
7、以 AB为直径的圆交 x轴于点 M， N，记劣弧 MN的长度为 S，当直线 l绕 F点旋转时，求 的最大值S|AB|4解：(1) F ，当 l的倾斜角为 45时， l的方程为 y x ，(0，p2) p2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 x22 px p20，x1 x22 p， y1 y2 x1 x2 p3 p，得 AB中点为 D ，(p，32p)AB中垂线为 y p( x p)，32将 x0 代入得 y p5， p252(2)设 l的方程为 y kx1，代入 x24 y得 x24 kx40，|AB| y1 y22 k(x1 x2)44 k24，AB中点为 D(
8、2k,2k21)，令 MDN2 ，则 S2 |AB| |AB|，12 ， D到 x轴的距离| DE|2 k21，S|AB|cos 1 ，|DE|12|AB| 2k2 12k2 2 12k2 2当 k20 时 cos 取最小值 ， 的最大值为 ，12 3故 的最大值为 S|AB| 3B组1(2018“皖南八校”联考)设椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 e ，椭圆x2a2 y2b2 12C上一点 M到左右两个焦点 F1， F2的距离之和是 4(1)求椭圆的方程；(2)已知过 F2的直线与椭圆 C交于 A， B两点，且两点与左右顶点不重合，若 ，求四边形 AMBF1面积的最大值F1M F1A
9、F1B 解：(1)依题意，2 a4， a2，因为 e ，所以 c1， b2 a2 c23，12所以椭圆 C方程为 1x24 y23(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB： x my1，5则由Error! 可得 3(my1) 24 y212，即(3 m24) y26 my90， 36 m236(3 m24)144( m21)0，又因为 ，所以四边形 AMBF1是平行四边形，F1M F1A F1B 设平行四边形 AMBF1的面积为 S，则S2 S ABF12 |F1F2|y1 y2|2 24 12 3m2 4 m2 13m2 4设 t ，则 m2 t21( t1)，m2 1所以
10、 S24 24 ，t3t2 1 13t 1t因为 t1，所以 3t 4，所以 S(0,6，1t所以四边形 AMBF1面积的最大值为 62(2018山西模拟)已知抛物线 E： x24 y的焦点为 F， P(a,0)为 x轴上的点(1)过点 P作直线 l与 E相切，求切线 l的方程；(2)如果存在过点 F的直线 l与抛物线交于 A， B两点，且直线 PA与 PB的倾斜角互补，求实数 a的取值范围解：(1)设切点为 Q ，则 y| x x0 k1(x0，x204) x02 Q点处的切线方程为 y (x x0)x204 x02 l过点 P， (a x0)，解得 x02 a或 x00x204 x02当
11、a0 时，切线 l的方程为 y0，当 a0 时，切线 l的方程为 y0 或 ax y a20(2)设直线 l的方程为 y kx1，代入 x24 y得 x24 kx40设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x24 k， x1x24. 由已知得 kPA kPB 0，y1x1 a y2x2 a即 0，kx1 1x1 a kx2 1x2 a2 kx1x2(1 ka)(x1 x2)2 a0. 把代入得，2 ak22 k a0， 当 a0 时，显然成立，6当 a0 时，方程有解， 48 a20，解得 a ，且 a022 22综上， a 22 223(2018江西联考)已知椭圆 C： 1(
12、 a b0)的离心率与双曲线 1x2a2 y2b2 x24 y212的离心率互为倒数，且过点 P (1，32)(1)求椭圆 C的方程；(2)过 P作两条直线 l1， l2与圆( x1) 2 y2 r2 相切且分别交椭圆于 M、 N两(0 r32)点 求证：直线 MN的斜率为定值； 求 MON面积的最大值(其中 O为坐标原点)解：(1)可得 e ，设椭圆的半焦距为 c，所以 a2 c，12因为 C过点 P ，所以 1，(1，32) 1a2 94b2又 c2 b2 a2，解得 a2， b ，3所以椭圆方程为 1x24 y23(2)显然两直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2， M(x1，
13、 y1)， N(x2， y2)，由于直线 l1， l2与圆( x1) 2 y2 r2 相切，(0 r32)则有 k1 k2，直线 l1的方程为 y k1(x1)，32联立方程组Error!消去 y，得 x2(4k 3) k1(128 k1)x(32 k1)2120，21因为 P， M为直线与椭圆的交点，所以 x11 ，k1 8k1 124k21 3同理，当 l2与椭圆相交时，x21 ，k1 8k1 124k21 37所以 x1 x2 ， 24k14k21 3而 y1 y2 k1(x1 x2)2 k1 ， 12k14k21 3所以直线 MN的斜率 k y1 y2x1 x2 12设直线 MN的方程
14、为 y x m，12联立方程组Error!消去 y得 x2 mx m230，所以| MN| 1 (12)2 m2 4 m2 3 ，152 4 m2原点 O到直线的距离 d ，|2m|5 OMN面积为 S 12 152 4 m2 |2m|5 ，32 m2 4 m2 32 m2 4 m22 3当且仅当 m22 时取得等号经检验，存在 r ，使得过点 P 的两条直线(0 r32) (1， 32)与圆( x1) 2 y2 r2相切，且与椭圆有两个交点 M， N所以 OMN面积的最大值为 34(2018揭阳二模)已知椭圆 C1： 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，x2a2 y2b2圆 C
15、2经过椭圆 C1的两个焦点和两个顶点，点 P在椭圆 C1上，且| PF1|2 ，| PF2|222(1)求椭圆 C1的方程和点 P的坐标；(2)过点 P的直线 l1与圆 C2相交于 A、 B两点，过点 P与 l1垂直的直线 l2与椭圆 C1相交于另一点 C，求 ABC的面积的取值范围解：(1)设 F1( c,0)， F2(c,0)，可知圆 C2经过椭圆焦点和上下顶点，得 b c，由题意知 2a| PF1| PF2|4，得 a2，由 b2 c2 a2，得 b c ，2所以椭圆 C1的方程为 1，x24 y22点 P的坐标为(2,0)(2)由过点 P的直线 l2与椭圆 C1相交于两点，知直线 l2
16、的斜率存在，8设 l2的方程为 y k(x2)，由题意可知 k0，联立椭圆方程，得(2 k21) x28 k2x8 k240，设 C(x2， y2)，则 2x2 ，得 x2 ，8k2 42k2 1 4k2 22k2 1所以| PC| |x22| ；1 k24k2 12k2 1由直线 l1与 l2垂直，可设 l1的方程为 y (x2)，1k即 x ky20，圆心(0,0)到 l1的距离 d ，21 k2又圆的半径 r ，2所以 2 r2 d22 ，(|AB|2 ) 4k2 1 2 k2 1k2 1|AB|2 ，2k2 1k2 1由 d r即 ，得 k21，21 k2 2S ABC |AB|PC| 4 ，12 2 k2 1k2 1 4k2 12k2 1 2 k2 12k2 1设 t ，则 t0，k2 1S ABC ，42t2t2 3 422t 3t 4226 233当且仅当 t 即 k 时，取“” ，62 102所以 ABC的面积的取值范围是 (0，2339
