1、1第一部分 保分专题三 空间位置与空间计算A 组 小题提速练一、选择题1已知 E， F， G， H 是空间四点，命题甲： E， F， G， H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若 E， F， G， H 四点不共面，则直线 EF 和 GH 肯定不相交，但直线 EF 和 GH 不相交，E， F， G， H 四点可以共面，例如 EF GH，故甲是乙成立的充分不必要条件答案：B2已知 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出四个命题：若 m， n ， n m，则 ；若 m ，
2、m ，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 .其中正确的命题是( )A BC D解析：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确答案：B3.如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明 AP BC 的条件是( )A AP PB， AP PCB AP PB， BC PBC平面 BPC平面 APC， BC PCD AP平面 PBC解析：A 中，因为 AP PB， AP
3、 PC， PB PC P，所以 AP平面 PBC.又 BC平面 PBC，所以 AP BC，故 A 正确；C 中，因为平面 BPC平面 APC， BC PC，所以 BC平面 APC.又AP平面 APC，所以 AP BC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能判断出AP BC，故选 B.答案：B4已知 ， 表示两个不同平面， a， b 表示两条不同直线，对于下列两个命题：2若 b ， a ，则“ a b”是“ a ”的充分不必要条件；若 a ， b ，则“ ”是“ a 且 b ”的充要条件判断正确的是( )A都是真命题B是真命题，是假命题C是假命题，是真命题D都是假命题解析：若
4、 b ， a ， a b，则由线面平行的判定定理可得 a ，反过来，若b ， a ， a ，则 a， b 可能平行或异面，则 b ， a ， “a b”是“ a ”的充分不必要条件，是真命题；若 a ， b ， ，则由面面平行的性质可得a ， b ，反过来，若 a ， b ， a ， b ，则 ， 可能平行或相交，则a ， b ，则“ ”是“ a ， b ”的充分不必要条件，是假命题，选项 B正确答案：B5.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形， E， F分别为 PA， PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论：直线 BE 与直线 CF 异面；直线 BE 与直线
5、AF 异面；直线 EF平面 PBC；平面 BCE平面 PAD.其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：将展开图还原为几何体(如图)，因为 E， F 分别为 PA， PD 的中点，所以 EF AD BC，即直线 BE 与 CF 共面，错；因为 B平面 PAD， E平面 PAD， EAF，所以 BE 与 AF 是异面直线，正确；因为 EF AD BC， EF平面 PBC， BC平面 PBC，所以 EF平面PBC，正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直，错故选 B.答案：B6在下列四个正方体中，能得出异面直线 AB CD 的是( )3解析：对于 A，作出过 AB 的平面
6、ABE，如图，可得直线 CD 与平面 ABE 垂直，根据线面垂直的性质知， AB CD 成立，故 A 正确；对于 B，作出过 AB 的等边三角形 ABE，如图，将CD 平移至 AE，可得 CD 与 AB 所成的角等于 60，故 B 不成立；对于 C、D，将 CD 平移至经过点 B 的侧棱处，可得 AB， CD 所成的角都是锐角，故 C 和 D 均不成立故选 A.答案：A7(2018贵阳一中适应性考试)已知 l 为平面 内的一条直线， ， 表示两个不同的平面，则“ ”是“ l ”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若 l 为平面 内的一条直线且 l ，则
7、 ，反过来则不一定成立，所以“ ”是“ l ”的必要不充分条件，故选 B.答案：B8(2018广州模拟)用 a， b， c 表示空间中三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：若 a b， b c，则 a c；若 a b， a c，则 b c；若 a ， b ，则 a b；若 a ， b ，则 a b.其中真命题的序号是( )A BC D解析：对于，正方体从同一顶点引出的三条直线 a， b， c，满足 a b， b c，但是a c，所以错误；对于，若 a b， a c，则 b c，满足平行线公理，所以正确；对于，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以错误；4对于，由垂
8、直于同一平面的两条直线平行，知正确故选 D.答案：D9.(2018菏泽模拟)如图所示的三棱柱 ABCA1B1C1中，过 A1B1的平面与平面ABC 交于 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是( )A异面B平行C相交D以上均有可能解析：在三棱柱 ABCA1B1C1中， AB A1B1， AB平面 ABC， A1B1平面 ABC， A1B1平面 ABC，过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE， DE A1B1， DE AB.故选 B.答案：B10.(2018贵阳模拟)如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点，沿 AE， AF， EF 把正方形折成一个四面体，使
9、 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P， P 点在 AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是( )A O 是 AEF 的垂心B O 是 AEF 的内心C O 是 AEF 的外心D O 是 AEF 的重心解析：由题意可知 PA、 PE、 PF 两两垂直，所以 PA平面 PEF，从而 PA EF，而 PO平面 AEF，则 PO EF，因为 PO PA P，所以 EF平面 PAO， EF AO，同理可知 AE FO， AF EO， O 为 AEF 的垂心故选 A.答案：A11已知点 E， F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB， AA1的中点，点 M， N 分别是线段D1E
10、与 C1F 上的点，则满足与平面 ABCD 平行的直线 MN 有( )5A0 条 B1 条C2 条 D无数条解析：如图所示，作平面 KSHG平面 ABCD， C1F， D1E 交平面 KSHG 于点 N， M，连接 MN，由面面平行的性质得 MN平面 ABCD，由于平面 KSHG 有无数多个，所以平行于平面 ABCD 的MN 有无数多条，故选 D.答案：D12如图，在矩形 ABCD 中， AB2 AD， E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A1DE.若M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A BM 是定值B点 M 在某个球面上
11、运动C存在某个位置，使 DE A1CD MB平面 A1DE解析：取 CD 的中点 F，连接 MF， BF， AF(图略)，则 MF DA1， BF DE，平面 MBF平面A1DE， MB平面 A1DE，故 D 正确 A1DE MFB， MF A1D， FB DE，由余弦定理可得12MB2 MF2 FB22 MFFBcos MFB， MB 是定值，故 A 正确 B 是定点， BM 是定值， M 在以 B 为球心， MB 为半径的球上，故 B 正确 A1C 在平面 ABCD 中的射影是点 C 与 AF上某点的连线，不可能与 DE 垂直，不存在某个位置，使 DE A1C.故选 C.答案：C二、填空题
12、13.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1是异面直线；6直线 MN 与 AC 所成的角为 60.其中正确的结论为_(把你认为正确结论的序号都填上)解析： AM 与 CC1是异面直线， AM 与 BN 是异面直线， BN 与 MB1为异面直线因为 D1C MN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，为 60.答案：14如图是一个正方体的平面展开图在这个正方体中， BM 与 ED 是异面直线； CN 与BE
13、 平行； CN 与 BM 成 60角； DM 与 BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：由题意画出该正方体的图形如图所示，连接 BE， BN，显然正确；对于，连接AN，易得 AN BM， ANC60，所以 CN 与 BM 成 60角，所以正确；对于，易知DM平面 BCN，所以 DM BN 正确答案：15.如图， PA O 所在的平面， AB 是 O 的直径， C 是 O 上的一点，E， F 分别是点 A 在 PB， PC 上的射影，给出下列结论： AF PB； EF PB； AF BC； AE平面 PBC.其中正确命题的序号是_解析： PA O 所在的平面， AB 是 O 的直径，
14、 CB PA， CB AC，又 PA AC A， CB平面 PAC.又 AF平面 PAC， CB AF.又 F 是点 A 在 PC 上的射影， AF PC，又 PC BC C， PC， BC平面 PBC， AF平面 PBC，故正确又 E 为 A 在 PB 上的射影， AE PB， PB平面 AEF，故正确7而 AF平面 PCB， AE 不可能垂直于平面 PBC.故错答案：16如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， ABC BAD90， BC2 AD， PAB 和 PAD 都是等边三角形，则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为_解析：如图所示，延长 DA 至 E，使 AE DA，连接 PE，
15、 BE. ABC BAD90， BC2 AD， DE BC， DE BC.四边形 CBED 为平行四边形， CD BE. PBE 就是异面直线 CD 与 PB 所成的角在 PAE 中， AE PA， PAE120，由余弦定理，得PE PA2 AE2 2PAAEcos PAE AE2 AE2 2AEAE( 12) AE.3在 ABE 中， AE AB， BAE90， BE AE.2 PAB 是等边三角形， PB AB AE， PB2 BE2 AE22 AE23 AE2 PE2， PBE90.答案：90B 组 大题规范练1(2018临沂模拟)如图，在矩形 ABCD 中， AB ， BC4， E 是
16、边 AD 上一点，且3AE3，把 ABE 沿 BE 翻折，使得点 A 到 A满足平面 A BE 与平面 BCDE 垂直(如图)(1)若点 P 在棱 A C 上，且 CP3 PA，求证： DP平面 A BE；(2)求二面角 BA ED 的余弦值的大小8解析：(1)证明：过 P 作 PQ BC 交 A B 于点 Q.如图所示因为 CP3 PA，所以 ，PQBC A PA C 14因为 BC4，所以 PQ1，因为 DE BC， DE1，所以 DE 綊 PQ，所以四边形 QEDP 为平行四边形，所以 DP EQ.因为 DP平面 A BE， EQ平面 A BE，所以 DP平面 A BE.(2)如图，过
17、A作 A F BE 于点 F，因为平面 A BE平面 BCDE.所以 A F平面 BCDE.因为 BA E90， A B ， A E3，3所以 A EB30， A F ， EF ，32 332过 F 作 FG DE 交 DE 的延长线于点 G，则 FG ， EG .334 94如图，建立空间直角坐标系， D(0,0,0)， E(1,0,0)， B(4， ，0)， C(0， ，0)， A3 3， F ，则 ， ， (1,0,0)(134， 334， 32) (134， 334， 0) EA (94， 334， 32) EF (94， 334， 0) DE 设平面 A BE 的法向量 n( x，
18、y， z)，则Error!即Error!可取 n(1， ，0)3设平面 A DE 的法向量 m( x1， y1， z1)，则Error!即Error!可取 m(0,2， )3所以 cos m， n . 231 34 3 2179因为二面角 BA ED 为钝角，所以二面角 BA ED 的余弦值的大小为 .2172.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上， PD平面 MAC， PA PD， AB4.6(1)求证： M 为 PB 的中点；(2)求二面角 BPDA 的大小；(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值解析：(
19、1)证明：如图，设 AC， BD 的交点为 E，连接 ME.因为 PD平面 MAC，平面 MAC平面 PDB ME，所以 PD ME.因为底面 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点所以 M 为 PB 的中点(2)取 AD 的中点 O，连接 OP， OE.因为 PA PD，所以 OP AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， OP平面 PAD，所以 OP平面 ABCD.因为 OE平面 ABCD，所以 OP OE.因为底面 ABCD 是正方形，所以 OE AD.以 O 为原点，以 ， ， 为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
20、OD OE OP O xyz，则 P(0,0， )， D(2,0,0)， B(2,4,0)，2(4，4,0)， (2,0， )BD PD 2设平面 BDP 的一个法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!令 x1，得 y1， z .210于是 n(1,1， )2又平面 PAD 的一个法向量为 p(0,1,0)，所以 cos n， p .np|n|p| 12由题知二面角 BPDA 为锐角，所以二面角 BPDA 的大小为 60.(3)由题意知 M ， C(2,4,0)，则 .( 1， 2，22) MC (3， 2， 22)设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 ，则 sin
21、|cos n， | .MC |nMC |n|MC | 269所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 .2693.如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， AD DC CB1， BCD120，四边形 BFED 为矩形，平面 BFED平面 ABCD， BF1.(1)求证： AD平面 BFED；(2)点 P 在线段 EF 上运动，设平面 PAB 与平面 ADE 所成锐二面角为 ，试求 的最小值解析：(1)证明：在梯形 ABCD 中， AB CD， AD DC CB1， BCD120， AB2. BD2 AB2 AD22 ABADcos 603. AB2 AD2 BD2， AD BD.平面
22、 BFED平面 ABCD，平面 BFED平面 ABCD BD，DE平面 BFED， DE DB， DE平面 ABCD， DE AD，又 DE BD D， AD平面 BFED.(2)由(1)知，直线 AD， BD， ED 两两垂直，故以 D 为原点，直线DA， DB， DE 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令 EP (0 )，则 D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(0， ，0)，3 3P(0， ，1)， (1， ，0)， (0， ，1)AB 3 BP 311设 n1( x， y， z)为平面 PAB 的法向量，由Error! 得Error!取 y1，则 n
23、1( ，1， )3 3 n2(0,1,0)是平面 ADE 的一个法向量，cos |n1n2|n1|n2| 13 1 3 21 .1 3 2 40 ，当 时，cos 有最大值 ， 的最小值为 60.3 3124.在三棱锥 PABC 中， PA PB PC2， BC1， AC ， AC BC.3(1)求点 B 到平面 PAC 的距离(2)求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值解析：(1)以 C 为原点， CA 为 x 轴， CB 为 y 轴，过 C 作平面 ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，取 AB 的中点 D，连接 PD， DC，因为 ACB 为直角三角形且 AC ， BC1，3所
24、以 AB2，故 DC1，所以 PAB 为正三角形，所以 PD AB 且 PD ，3在 PDC 中， PC2， PD ， DC1，3所以 PC2 PD2 DC2，所以 PD DC，又 AB DC D，所以 PD平面 ABC.则 A( ，0,0)， B(0,1,0)， D ， P ， C(0,0,0)， ( ，0,0)，3 (32， 12， 0) (32， 12， 3) CA 3 ， ， (0,1,0)，CD (32， 12， 0) CP (32， 12， 3) CB 设平面 PAC 的法向量 n( x， y， z)，12则Error!取 y2 ，得 n(0,2 ，1)，3 3所以点 B 到平面
25、PAC 的距离d .|CB n|n| 2313 23913(2) ， (0，1,0)，PA (32， 12， 3) BC 设异面直线 PA 与 BC 所成角为 ，cos .|PA BC |PA |BC | |12|41 14所以异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为 .14(二)A 组 小题提速练一、选择题1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A6 B3 3C2 D33解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为 的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故 h3，所以几何体的体积 V Sh333 .(1223) 3答案：B2某个几何体的三视图
26、如图所示，其中正视图中的圆弧是半径为 2 的半圆，则该几何体的表面积为( )13A9224 B8224C9214 D8214解析：依题意，题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是 5、4、4，圆柱的底面半径是 2，高是 5，因此该几何体的表面积等于3(45)2(44)2 2 (22)59214，故选 C.12答案：C3如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A11 B21C23 D32解析：由题意可得正视图的面积等于矩形 ADD1A1面积的 ，侧视图的面积等
27、于矩形 CDD1C112面积的 ，又底面 ABCD 是正方形，所以矩形 ADD1A1与矩形 CDD1C1的面积相等，即正视图与12侧视图的面积之比是 11，故选 A.答案：A4已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B64C144 D256解析：如图，设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 O 的半径为 R，因为 AOB90，所以 S OAB R2，要使 VO ABC S OABh12 1314最大，则 OA， OB， OC 应两两垂直，且( VO ABC)max R2R R336
28、，此时 R6，所以13 12 16球 O 的表面积为 S 球 4 R2144.故选 C.答案：C5在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若AB BC， AB6， BC8， AA13，则 V 的最大值是( )A4 B.92C6 D.323解析：由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径 R ，该球的体积最大， Vmax R3 .32 43 43 278 92答案：B6已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边
29、长为 1 的正三角形， SC为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为( )A. B.26 36C. D.23 22解析：在直角三角形 ASC 中， AC1， SAC90， SC2，所以 SA ；同理4 1 3SB .过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连接 DB(图略)，因为 SAC SBC，所以3BD SC，故 SC平面 ABD，且平面 ABD 为等腰三角形，因为 ASC30，所以 AD SA12，则 ABD 的面积为 1 ，则三棱锥的体积为 2 .32 12 AD2 12 2 24 13 24 26答案：A7四棱锥 S ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD
30、 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 88 ，则球 O 的体积等于( )3A. B.323 3223C16 D.1623解析：依题意，设球 O 的半径为 R，四棱锥 S ABCD 的底面边长为 a、高为 h，则有 h R，即 h 的最大值是 R，又 AC2 R，则四棱锥 S ABCD 的体积 VS ABCD 2R2h .因此，当13 2R3315四棱锥 S ABCD 的体积最大，即 h R 时，其表面积等于( R)24 R 212 288 ，解得 R2，因此球 O 的体积等于 ，选 A. 2R2 2 R2 3 4 R33 323答案：A8已知三棱锥 P
31、 ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， PC为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 ，则球 O 的表面积为( )26A4 B8C12 D16解析：依题意，设球 O 的半径为 R，球心 O 到平面 ABC 的距离为 d，则由 O 是 PC 的中点得，点 P 到平面 ABC 的距离等于 2d，所以 VP ABC2 VO ABC2 S ABCd 12d ，13 23 34 26解得 d ，又 R2 d2( )21，所以球 O 的表面积等于 4 R24，选 A.23 33答案：A9已知 Rt ABC，其三边长分别为 a， b， c(abc)分别以三角形的边 a， b
32、， c 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为 S1， S2， S3和 V1， V2， V3.则它们的关系为( )A S1S2S3， V1V2V3B S1S2S3， V1 V2 V3D S1bc，可13 (bca) 13 13得 S1S2S3， V1V2V3.答案：B10正三角形 ABC 的边长为 2 ，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 ，此时四3 3面体 ABCD 的外接球的半径为( )A. B.13132C2 D.3 3解析：球心 O 一定在与平面 BCD 垂直且过底面正三角形中心 O的直线上，也在平面 ADO16中 AD 的垂直平
33、分线上，如图 OE O D 1， DE AD 2 ，故332 23 12 12 3 32 32所求外接球的半径 r .12 (32)2 132答案：B11已知点 A， B， C， D 在同一个球的球面上， AB BC ， AC2，若四面体 ABCD 体积的2最大值为 ，则这个球的表面积为( )23A. B81256C. D.254 2516解析： AB BC ， AC2， ABC 是直角三角形， ABC 的外接圆2的圆心为边 AC 的中点 O1，如图所示，若使四面体 ABCD 体积取得最大值只需使点 D 到平面 ABC 的距离最大，又 OO1平面 ABC，点 D 是直线 OO1与球上方的交点时
34、体积最大设球的半径为 R，则由体积公式有 O1D2.在Rt AOO1中， R21(2 R)2，解得 R ，故球的表面积 S ，故选 C.54 254答案：C12如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E， F 分别是棱 BC， CC1的中点， P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是( )A. B.(324， 52) 324， 52C. D.1，52 0， 52解析：取 B1C1的中点 M， BB1的中点 N，连接 A1M， A1N， MN，则平面 A1MN平面 AEF，所以17点 P 位于线段 MN 上在 A1MN 中，
35、A1M A1N ， MN .当点1 (12)2 52 (12)2 (12)2 22P 位于点 M， N 时， A1P 最大，为 ；当点 P 位于 MN 的中点时， A1P 最小，为52 ，所以 A1P .(52)2 (24)2 324 324 52答案：B二、填空题13若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的正弦值为_解析：设圆锥的高为 h，底面半径为 r，母线与轴所成角为 ，则 S 侧 2 r ， S 底 r2，因为 S 侧 3 S 底 ，所以 r 3 r2，得12 r2 h2 r2 h23 r，即 8r2 h2，所以 tan ，sin .r2 h2122 13答案：1314已
36、知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于 3.蚂蚁从 A 点沿侧面经过棱 BB1上的点 N 和 CC1上的点 M 爬到点 A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为_解析：将三棱柱 ABCA1B1C1的侧面展开如图所示，则有 A A 13， AA 13 .所以蚂蚁爬过的路程最短为 AA 1. AA 2 A A 1 2 10答案：3 1015如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点，且 AP ，过a318B1、 D1， P 的平面交底面 ABCD 于 PQ， Q 在直线 CD 上，则 PQ_.解析：平面 A1B1C1D1平面 A
37、BCD，而平面 B1D1P平面 ABCD PQ，平面 B1D1P平面A1B1C1D1 B1D1， B1D1 PQ.又 B1D1 BD， BD PQ，设 PQ AB M， AB CD， APM DPQ. ，即 PQ2 PM.PMPQ APPD 12又知 APM ADB， ，PMBD APAD 13 PM BD，又 BD a， PQ a.13 2 223答案： a22316.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， BAD60，Q 为 AD 的中点若平面 PAD平面 ABCD， PA PD AD2，点 M 在线段 PC 上，且 PM2 MC，则四棱锥 PABCD 与三棱锥 PQBM
38、 的体积之比是_解析：过点 M 作 MH BC 交 PB 于点 H.平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， PQ AD， PQ平面 ABCD. PA PD AD AB2， BAD60， PQ BQ .3 VPABCD PQS 菱形 ABCD 2 2.13 13 3 3又 PQ BC， BQ AD， AD BC. BQ BC，又 QB QP Q， BC平面 PQB，由 MH BC，19 MH平面 PQB， ，MHBC PMPC 23 BC2， MH ，43 VPQBM VMPQB ，13 12 3 3 43 23 VPABCD VPQBM31.答案：31B 组 大题规范练
39、1如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， AA12， E 为棱 CC1的中点(1)求证： B1D1 AE；(2)求证： AC平面 B1DE.证明：(1)连接 BD，则 BD B1D1.四边形 ABCD 是正方形， AC BD. CE平面 ABCD， CE BD.又 AC CE C， BD平面 ACE. AE平面 ACE， BD AE， B1D1 AE.(2)取 BB1的中点 F，连接 AF， CF， EF，则 FC B1E， CF平面 B1DE.20 E， F 是 CC1， BB1的中点， EF 綊 BC.又 BC 綊 AD， EF 綊 AD，四边形 ADEF 是平行四边形， AF ED
40、. AF平面 B1DE， ED平面 B1DE， AF平面 B1DE. AF CF F，平面 ACF平面 B1DE.又 AC平面 ACF， AC平面 B1DE.2.如图，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC， VAB 为等边三角形， AC BC 且 AC BC ， O， M 分别为 AB， VA 的中点2(1)求证： VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB；(3)求三棱锥 VABC 的体积解析：(1)证明：因为 O， M 分别为 AB， VA 的中点，所以 OM VB.又因为 VB平面 MOC，所以 VB平面 MOC.(2)证明：因为 AC BC， O 为 AB 的中
41、点，所以 OC AB.又因为平面 VAB平面 ABC，且 OC平面 ABC，所以 OC平面 VAB.所以平面 MOC平面 VAB.(3)在等腰直角三角形 ACB 中， AC BC ，2所以 AB2， OC1.所以等边三角形 VAB 的面积 S VAB .3又因为 OC平面 VAB，所以三棱锥 CVAB 的体积等于 OCS VAB .13 33又因为三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 CVAB 的体积相等，所以三棱锥 VABC 的体积为 .333如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形， DAB60， PD平面ABCD， PD AD1，点 E， F 分别为 AB 和 PD 的中点21
42、(1)求证：直线 AF平面 PEC；(2)求三棱锥 PBEF 的表面积解析：(1)证明：作 FM CD 交 PC 于 M，连接 ME.点 F 为 PD 的中点， FM 綊 CD，12又 AE 綊 CD， AE 綊 FM，12四边形 AEMF 为平行四边形， AF EM， AF平面 PEC， EM平面 PEC，直线 AF平面 PEC.(2)连接 ED， BD，可知 ED AB，Error!Error!Error!AB PE， AB FE，故 S PEF PFED ；12 12 12 32 38S PBF PFBD 1 ；12 12 12 14S PBE PEBE ；12 12 72 12 78S
43、 BEF EFEB 1 .12 12 12 14因此三棱锥 PBEF 的表面积 SPBEF S PEF S PBF S PBE S BEF .4 3 784如图，在单位正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AD， BC1的中点22(1)求证： EF平面 C1CDD1；(2)在线段 A1B 上是否存在点 G，使 EG平面 A1BC1？若存在，求点 G到平面 C1DF 的距离；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：取 BC 的中点 M，连接 EM， FM， E， F 分别是 AD， BC1的中点， EM DC， FM C1C，EM平面 EFM， FM平面 EFM， EM FM M
44、，DC平面 C1CDD1， C1C平面 C1CDD1， DC C1C C，平面 EFM平面 C1CDD1，而 EF平面 EFM， EF平面 C1CDD1.(2)取 A1B 的中点 G，连接 EG， EA1， EB，易知 EA1 EB，而 G 为中点， EG A1B.连接 FG，则 FG A1C1，正方体棱长为 1，在 A1BC1中， FG A1C1 .12 22在 Rt FME 中， EF ，在 Rt EAG 中， EG ，52 32 FG2 EG2 FE2，即 EG FG，故 EG A1C1，又 A1B， A1C1平面 A1BC1， A1B A1C1 A1， EG平面 A1BC1.点 G 到平面 C1DF 的距离就是点 G 到平面 C1DB 的距离 GA C1D， GA平面 C1DB，
