1、1第 2讲 平面向量一、选择题1已知向量 a， b不共线， c ka b(kR)， d a b.如果 c d，那么( )A k1 且 c与 d同向B k1 且 c与 d反向C k1 且 c与 d同向D k1 且 c与 d反向解析：由 c d，则存在 使 c d ，即 ka b a b ，( k )a( 1) b0，又 a与 b不共线， k 0，且 10， k1，此时 c a b( a b) d.故 c与 d反向，选 D.答案：D2已知 a与 b是两个不共线向量，且向量 a b 与( b3 a)共线，则 的值为( )A1 B1C. D13 13解析：由题意知 a b k(b3 a) kb3 ka
2、，Error! 解得Error!答案：D3若向量 a(1,1)， b(1，1)， c(1,2)，则 c等于( )A a b B. a b12 32 12 32C. a b D a b32 12 32 12解析：设 c xa yb，则(1,2) x(1,1) y(1，1)( x y， x y)，Error! 解得Error!则 c a b.12 32答案：B4已知 ABC的三个顶点 A， B， C及所在平面内一点 P满足 ，则点 P与PA PB PC AB ABC的关系为( )A P在 ABC内部 B P在 ABC外部C P在边 AB上 D P在边 AC上解析：由 ，得 2 0，PA PB PC
3、 AB PB PA PA PC 2 2 ，即 ， C、 P、 A三点共线CP PA CP PA 答案：D5已知向量 a， b， c中任意两个都不共线，并且 a b与 c共线， b c与 a共线，那么a b c等于( )A a B bC c D0解析：设 a b c ， b c a ，则 a c c a ，所以(1 )a(1 )c，因为 a， c不共线，所以 1，所以 a b c0.故选 D.答案：D6设向量 a， b满足| a| b|1， ab ，则| a2 b|( )12A. B.2 3C. D.5 7解析：| a2 b|2 a24 ab4 b214 43，(12)| a2 b| .3答案：
4、B7设 xR，向量 a( x,1)， b(1，2)，且 a b，则| a b|( )A. B.5 10C2 D105解析： a b， ab0，即 x20， x2， a b(3，1)，| a b| .10答案：B8已知向量 a(1， )， b(3， m)，若向量 a， b的夹角为 ，则实数 m( )36A2 B.3 3C0 D 3解析： ab| a|b|cos ，则 3 m2 ，( m)29 m2，解得 m .6 3 9 m2 32 3 3答案：B9已知 ABC外接圆的半径为 1，圆心为 O.若| | |，且 2 0，则 OA AB OA AB AC CA 3等于( )CB A. B23 3C.
5、 D332解析：因为 2 0，所以( )( )0，即 0，所以 O为 BCOA AB AC OA AB OA AC OB OC 的中点，故 ABC为直角三角形， A为直角，又| OA| AB|，则 OAB为正三角形，| | ，| |1， 与 的夹角为 30，由数量积公式可知 2cos 30AC 3 AB CA CB CA CB 32 3.选 D.332答案：D10在 ABC中，设 2 22 ，那么动点 M的轨迹必经过 ABC的( )AC AB AM BC A垂心 B内心C外心 D重心解析：设 BC边中点为 D， 2 22 ，( )( )2 ，即AC AB AM BC AC AB AC AB A
6、M BC ， 0，则 ，即 MD BC， MD为 BC的垂直平分线，动点AD BC AM BC MD BC MD BC M的轨迹必经过 ABC的外心，故选 C.答案：C11若 ( 0)，则点 P的轨迹经过 ABC的( )OP OA (AB |AB |AC |AC |)A重心 B垂心C外心 D内心解析： ， 分别表示与 ， 方向相同的单位向量，AB |AB |AC |AC | AB AC 记为 ， .以 ， 为邻边作 AEDF，则 AEDF为菱形AE AF AE AF AD平分 BAC且 .AB |AB |AC |AC | AD .OP OA (AB |AB |AC |AC |) OA AD 4
7、 . 0，AP AD 点 P的轨迹为射线 AD(不包括端点 A)点 P的轨迹经过 ABC的内心答案：D12已知| a|2| b|0，且关于 x的函数 f(x) x3 |a|x2 abx在 R上有极值，则向13 12量 a与 b的夹角的范围是( )A. B.0，6) (6， C. D.(3， (3， 23 )解析：设 a与 b的夹角为 . f(x) x3 |a|x2 abx，13 12 f( x) x2| a|x ab.函数 f(x)在 R上有极值，方程 x2| a|x ab0 有两个不同的实数根，即 | a|24 ab0， ab ，a24又| a|2| b|0，cos ，ab|a|b|a24a
8、22 12即 cos ，12又 0， ，故选 C.(3， 答案：C二、填空题13已知向量 a与 b的夹角为 60，且 a(2，6)，| b| ，则 ab_.10解析：由 a(2，6)，得| a| 2 ，则 ab| a|b|cos 2 2 6 2 10602 10.10 1012答案：10514如图所示，已知 B30， AOB90，点 C在 AB上， OC AB，用 和 来表示向OA OB 量 ，则 等于_OC OC 解析：根据三角形三边关系： ， ( ) .AC 14AB OC OA AC OA 14AB OA 14OB OA 34OA 14OB 答案： 34OA 14OB 15在 ABC中，
9、角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，重心为 G，若 a b c GA GB 330，则 A_.GC 解析：由 G为 ABC的重心知 0，则 ，因此 a b c(GA GB GC GC GA GB GA GB 33 ) 0，又 ， 不共线，所以 a c b c0，即GA GB (a 33c)GA (b 33c)GB GA GB 33 33a b c.由余弦定理得 cos A ，又 0A，所以 A .33 b2 c2 a22bc c2233c2 32 6答案：616已知正方形 ABCD的边长为 2，点 E在边 DC上，且 2 ， ( )，则 DE EC DF 12DC DB BE _.DF 解析：如图，以 B为原点， BC所在直线为 x轴， AB所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，则 B(0,0)， E ， D(2,2)由 (2，23) DF ( )，知 F为 BC的中点，则 F(1,0)，12DC DB ， (1，2)，BE (2， 23) DF 2 .BE DF 43 1036答案：103
