1、1课时作业 31 数列求和基础达标12019湖北省四校联考在数列 an中， a12， an是 1与 anan1 的等差中项(1)求证：数列 是等差数列，并求 an的通项公式；1an 1(2)求数列 的前 n项和 Sn.1n2an解析：(1) an是 1与 anan1 的等差中项，2 an1 anan1 ， an1 ，2an 1an an1 1 1 ， 1 ，2an 1an an 1an 1an 1 1 anan 1 1an 1 1，数列 是首项为 1，公差为 1的等差数列，1a1 1 1an 1 1( n1) n， an .1an 1 n 1n(2)由(1)得 ，1n2an 1n n 1 1n
2、 1n 1 Sn 1 .(112) (12 13) (13 14) (1n 1n 1) 1n 1 nn 122019福建福州六校联考已知数列 an的前 n项和 Sn ，等比数列 bn的n2 n2前 n项和为 Tn，若 b1 a11， b2 a22.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)求满足 Tn an300的最小的 n值解析：(1) a1 S11，n1时， an Sn Sn1 n，n2 n2 n 1 2 n 12又 n1 时， a1 n成立， an n(nN *)，则由题意可知 b12， b24， bn的公比 q 2， bn2 n(nN *)42(2)Tn 2(2 n1)， Tn an
3、2(2 n1) n，2 1 2n1 2 Tn an随 n增大而增大，又 T7 a721277261300，所求最小的 n值为 8.32019石家庄高中质量检测已知数列 an满足： a11， an1 an .n 1n n 12n(1)设 bn ，求数列 bn的通项公式；ann(2)求数列 an的前 n项和 Sn.解析：(1)由 an1 an ，可得 ，n 1n n 12n an 1n 1 ann 12n又 bn ， bn1 bn ，由 a11，得 b11，ann 12n累加可得( b2 b1)( b3 b2)( bn bn1 ) ，即 bn b1121 122 12n 121 ， bn2 .12
4、1 12n 1)1 12 12n 1 12n 1(2)由(1)可知 an2 n ，设数列 的前 n项和为 Tn，n2n 1 n2n 1则 Tn ，120 221 322 n2n 1Tn ，12 121 222 323 n2n得 Tn 2 ，12 120 121 122 12n 1 n2n1 12n1 12 n2n n 22n Tn4 .n 22n 1易知数列2 n的前 n项和为 n(n1)， Sn n(n1)4 .n 22n 142019广州市综合测试已知数列 an的前 n项和为 Sn，数列 是首项为 1，公Snn差为 2的等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn满足 5(4
5、 n5) n，求数列 bn的前 n项和 Tn.a1b1 a2b2 anbn (12)解析：(1)因为数列 是首项为 1，公差为 2的等差数列，Snn所以 12( n1)2 n1，所以 Sn2 n2 n.Snn当 n1 时， a1 S11；当 n2 时， an Sn Sn1 (2 n2 n)2( n1) 2( n1)4 n3.当 n1 时， a11 也符合上式，所以数列 an的通项公式为 an4 n3.(2)当 n1 时， ，所以 b12 a12.a1b1 12当 n2 时，由 5(4 n5) n，a1b1 a2b2 anbn (12)得 5(4 n1) n1 .a1b1 a2b2 an 1bn
6、 1 (12)，得 (4 n3) n.anbn (12)因为 an4 n3，所以 bn 2 n(当 n1 时也符合)，4n 3 4n 3 (12)n所以 2，所以数列 bn是首项为 2，公比为 2的等比数列，所以 Tnbn 1bn 2n 12n2 n1 2.2 1 2n1 252019郑州一中高三入学测试在等差数列 an中，已知 a35，且 a1， a2， a5为递增的等比数列3(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn的通项公式 (kN *)，求数列 bn的前n项和 Sn.解析：(1)设等差数列 an的公差为 d，易知 d0，由题意得，( a32 d)(a32 d)( a3 d)2，即
7、 d22 d0，解得 d2 或 d0(舍去)，所以数列 an的通项公式为 an a3( n3) d2 n1.(2)当 n2 k， kN *时，Sn b1 b2 bn b1 b3 b2k1 b2 b4 b2k a1 a2 ak(2 02 12 k1 ) k22 k1 2n1；k 1 2k 12 1 2k1 2 n24当 n2 k1， kN *时， n12 k，则 Sn Sn1 bn1 2n12n1 21n. n 1 24 n2 2n 34综上， (kN *)62019安徽省高中联合质量检测已知 an是公差不为 0的等差数列， bn是等比数列，且 a1 b11， a2 b2， a5 b3.(1)求
8、数列 an， bn的通项公式；(2)记 Sn ，是否存在 mN *，使得 Sm3 成立，若存在，求出 m，若a1b1 a2b2 anbn不存在，请说明理由解析：(1)设数列 an的公差为 d(d0)，数列 bn的公比为 q，则由题意知Error! d0 或 d2， d0， d2， q3， an2 n1， bn3 n1 .(2)由(1)可知，Sn ，a1b1 a2b2 anbn 11 331 532 2n 33n 2 2n 13n 1Sn ，两式相减得， Sn1 13 131 332 533 2n 33n 1 2n 13n 23 231 232 23n 11 2 2， Sn3.故不存在 mN *
9、使得 Sm3 成2n 13n 231 (13)n 11 13 2n 13n 2n 23n立能力挑战72019山东淄博模拟已知数列 an是等差数列， Sn为 an的前 n项和，且a1019， S10100；数列 bn对任意 nN *，总有 b1b2b3bn1 bn an2 成立(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)记 cn(1) n ，求数列 cn的前 n项和 Tn.4nbn 2n 1 2解析：(1)设 an的公差为 d，则 a10 a19 d19， S1010 a1 d100.10924解得 a11， d2，所以 an2 n1.所以 b1b2b3bn1 bn2 n1，当 n1 时， b
10、13，当 n2 时， b1b2b3bn1 2 n1.两式相除得 bn (n2)2n 12n 1因为当 n1 时， b13 适合上式，所以 bn (nN *)2n 12n 1(2)由已知 cn(1) n ，4nbn 2n 1 2得 cn(1) n4n 2n 1 2n 1(1) n ，(12n 1 12n 1)则 Tn c1 c2 c3 cn (1) n ，(113) (13 15) (15 17) ( 12n 1 12n 1)当 n为偶数时，Tn (1) n(113) (13 15) (15 17) ( 12n 1 12n 1) ( 113) (13 15) ( 15 17) ( 12n 1 12n 1)1 ；12n 1 2n2n 1当 n为奇数时，Tn (1) n(113) (13 15) (15 17) ( 12n 1 12n 1) ( 113) (13 15) ( 15 17) ( 12n 1 12n 1)1 .12n 1 2n 22n 1综上， TnError!
