1、1课时作业 23 正弦定理和余弦定理基础达标一、选择题1在 ABC中，若 A ， B ， BC3 ，则 AC( )3 4 2A. B.32 3C2 D43 5解析：由正弦定理得： ，BCsinA ACsinB即有 AC 2 .BCsinBsinA32sin4sin3 3答案：C2在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 ，( b c a)(b c a)sinAsinB ac3 bc，则 ABC的形状为( )A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形解析： ， ， b c.sinAsinB ac ab ac又( b c a)(b c a)3 bc， b2
2、c2 a2 bc，cos A .b2 c2 a22bc bc2bc 12 A(0，)， A ， ABC是等边三角形3答案：C32018全国卷 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 ABC的面积为 ，则 C( )a2 b2 c24A. B.2 3C. D.4 6解析： S absinC abcosC，12 a2 b2 c24 2abcosC4 122sin Ccos C，即 tanC1. C(0，)， C .故选 C.4答案：C4在 ABC中，若 a18， b24， A45，则此三角形有( )A无解B两解C一解D解的个数不确定解析： ，asinA bsinBsin B s
3、inA sin45，ba 2418sin B .223又 ab， B有两个答案：B52019洛阳统考在 ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，若 a， b， c成等比数列，且 a2 c2 ac bc，则 ( )cbsinBA. B.32 233C. D.33 3解析：由 a， b， c成等比数列得 b2 ac，则有 a2 c2 b2 bc，由余弦定理得 cosA ，故 A ，对于 b2 ac，由正弦定理得，b2 c2 a22bc bc2bc 12 3sin2Bsin AsinC sinC，由正弦定理得， .故选 B.32 cbsinB sinCsin2B sinC32sin
4、C 233答案：B二、填空题62019济南市高三模拟考试在平面四边形 ABCD中， A C90， B30，AB3 ， BC5，则线段 BC的长度为_3解析：由题可知四边形 ABCD的四个顶点在以 BD为直线的圆上，连接 AC，则由已知条件及余弦定理可得 AC2 AB2 BC22 ABBCcosB7，得 AC .又 BD是 ABC外接圆的直73径，所以由正弦定理可得 BD 2 .ACsinB 7sin30 7答案：2 77在 ABC中，若 b asinC， c acosB，则 ABC的形状为_解析：由 b asinC可知 sin C ，由 c acosB可知 c a ，整理ba sinBsinC
5、 a2 c2 b22ac得 b2 c2 a2，即三角形一定是直角三角形， A90，sin Csin B， B C，即 b c，故 ABC为等腰直角三角形答案：等腰直角三角形82019福州检测在钝角三角形 ABC中， AB3， BC ， A30，则 ABC的面3积为_解析：由已知及余弦定理，得 BC2 AB2 AC22 ABACcosA，即 39 AC23 AC，3解得 AC 或 AC2 .当 AC BC 时， C180230120，满足题意，此时3 3 3 ABC的面积为 ACBCsinC ；当 AC2 ， AB2 BC2 AC2，则 B90，不满足题意，12 334 3应舍去综上， ABC的
6、面积为 .334答案：334三、解答题92018全国卷在平面四边形 ABCD中， ADC90， A45，AB2， BD5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 ，求 BC.2解析：(1)在 ABD中，由正弦定理得 ，BDsin A ABsin ADB即 ，所以 sin ADB .5sin45 2sin ADB 25由题设知， ADB90，所以 cos ADB .1 225 235(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB .25在 BCD中，由余弦定理得 BC2 BD2 DC22 BDDCcos BDC258252 2 25，25所以 BC5.4102019济南模拟在 ABC中
7、，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且bcosA acosB2 c.(1)证明：tan B3tan A；(2)若 b2 c2 a2 bc，且 ABC的面积为 ，求 a.3 3解析：(1)根据正弦定理，得 sinBcosAcos BsinA2sin C2sin( A B)，即 sinBcosAcos BsinA2(sin BcosAcos BsinA)，整理得 sinBcosA3cos BsinA，方程两边同时除以 cosAcosB，tan B3tan A.(2)由已知得， b2 c2 a2 bc，cos A ，3b2 c2 a22bc 3bc2bc 32由 0A，得 A ，t
8、an A ，tan B .6 33 3由 0B，得 B ， C ， a c，23 6由 S ABC acsin a2 ，得 a2.12 23 12 32 3能力挑战112019广州市高三调研 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足a2， acosB(2 c b)cosA.(1)求角 A的大小；(2)求 ABC的周长的最大值解析：(1)解法一 由已知，得 acosB bcosA2 ccosA.由正弦定理，得 sinAcosBsin BcosA2sin CcosA，即 sin(A B)2sin CcosA.因为 sin(A B)sin( C)sin C，所以 sinC2s
9、in CcosA.因为 sinC0，所以 cosA .12因为 0A，所以 A .3解法二 由已知及余弦定理，得 a (2 c b) ，即a2 c2 b22ac b2 c2 a22bcb2 c2 a2 bc，所以 cosA .b2 c2 a22bc 12因为 0A，所以 A .35(2)解法一 由余弦定理 a2 b2 c22 bccosA，得 bc4 b2 c2，即( b c)23 bc4.因为 bc 2，所以( b c)2 (b c)24，(b c2 ) 34即 b c4(当且仅当 b c2 时等号成立)，所以 a b c6.故 ABC的周长的最大值为 6.解法二 因为 ，且 a2， A ，asinA bsinB csinC 3所以 b sinB， c sinC.433 433所以 a b c2 (sinBsin C)2 24sin .433 433sinB sin(23 B) (B 6)因为 0B ，所以当 B 时， a b c取得最大值 6.23 3故 ABC的周长的最大值为 6.
