1、1课时作业 27 平面向量的数量积与应用举例基础达标一、选择题1已知向量 a(1， n)， b(1， n)，若 2a b 与 b 垂直，则| a|( )A1 B. 2C2 D4解析：因为 2a b 与 b 垂直，所以(2 a b)b0，所以3 n20，解得 n23，所以| a|2.答案：C22019云南省第一次统一检测在 ABCD 中，| |8，| |6， N 为 DC 的中点，AB AD 2 ，则 ( )BM MC AM NM A48 B36C24 D12解析： ( )( )AM NM AB BM NC CM 2 2 82 6224，故选 C.(AB 23AD )(12AB 13AD ) 1
2、2AB 29AD 12 29答案：C32019石家庄检测若两个非零向量 a， b 满足| a b| a b|2| b|，则向量a b 与 a 的夹角为( )A. B. 6 3C. D.23 56解析：| a b| a b|，| a b|2| a b|2， ab0.又|a b|2| b|，| a b|24| b|2，| a|23| b|2，| a| |b|，cos a b， a3 ，故 a b 与 a 的夹角为 . a b a|a b|a| a2 ab|a b|a| |a|22|b|a| |a|2|b| 32 6答案：A42019陕西西安地区八校联考已知点 A(1,1)， B(1,2)， C(2
3、，1)， D(3,4)，则向量 在 方向上的投影是( )CD BA 2A3 B5322C3 D.5322解析：依题意得， (2，1)， (5,5)， (2，1)(5,5)BA CD BA CD 15，| | ，因此向量 在 方向上的投影是 3 ，选 A.BA 5 CD BA BA CD |BA | 155 5答案：A52019惠州市调研考试若 O 为 ABC 所在平面内任一点，且满足( )( 2 )0，则 ABC 的形状为( )OB OC OB OC OA A等腰三角形 B直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形解析：( )( 2 )0，即 ( )0， ，( OB OC OB OC OA CB
4、AB AC AB AC CB AB )( )0，即| | |， ABC 是等腰三角形AC AB AC AB AC 答案：A62019云南省高三 11 校跨区调研考试平面向量 a 与 b 的夹角为 45， a(1,1)，|b|2，则|3 a b|等于( )A136 B22 5C. D.30 34解析：依题意得 a22， ab 2cos452，|3 a b| 2 3a b 2 ，选 D.9a2 6ab b2 18 12 4 34答案：D72019石家庄高中模拟考试已知 B 是以线段 AC 为直径的圆上的一点(异于点A， C)，其中| AB|2，则 ( )AC AB A1 B2C3 D4解析：连接
5、BC， AC 为直径， ABC90， AB BC， 在 上的投影| |cosAC AB AC ， | |2， | | |cos ， 4.故选 D.AC AB AB AC AB AC AB AC AB 答案：D382019武汉市高中调研测试已知平面向量 a， b， e 满足|e|1， ae1， be2，| a b|2，则 ab 的最大值为( )A1 B2C D52 54解析：不妨设 e(1,0)，则 a(1， m)， b(2， n)(m， nR)，则a b(1， m n)，所以| a b| 2，所以( m n)23，即1 m n 23 m2 n22 mn2 mn2 mn4 mn，当且仅当 m n
6、 时等号成立，所以 mn ，所以34ab2 mn ，综上可得 ab 的最大值为 .故选 D.54 54答案：D92019呼伦贝尔模拟 O 是平面上一定点， A， B， C 是该平面上不共线的三个点，一动点 P 满足： ( )， (0，)，则直线 AP 一定通过 ABC 的( )OP OA AB AC A外心 B内心C重心 D垂心解析：如图，取 BC 中点 D.因为 ( )， ( )，即 2 ，OP OA AB AC OP OA AB AC AP AD 所以 A， P， D 三点共线，所以 AP 一定通过 ABC 的重心答案：C102018天津卷如图，在平面四边形 ABCD 中， AB BC，
7、AD CD， BAD120，AB AD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为( )AE BE A. B.2116 32C. D325164解析：本题主要考查数量积的综合应用解法一 如图，以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(1,0)， B ， C(0， )，令 E(0， t)， t0， ， (1， t)(32， 32) 3 3 AE BE t2 t ， t0， ，(32， t 32) 32 32 3当 t 时， 取得最小值，( )min .故选 3221 34 AE BE AE BE 316 32 34 32 2116A
8、.解法二 令 (0 1)，由已知可得 DC ，DE DC 3 ，AE AD DC ，BE BA AE BA AD DC ( )( )AE BE AD DC BA AD DC | |2 2| |2AD BA AD DC BA DC 3 2 .32 32当 时， 取得最小值 .故选 A. 3223 14 AE BE 2116答案：A二、填空题112019广东五校高三第一次考试已知向量 a(1， )， b(3， m)，且 b 在 a3上的投影为 3，则向量 a 与 b 的夹角为_解析：因为 ab3 m，| a| 2，| b| ，由| b|cos a， b3 可3 1 3 9 m2得| b| 3，故
9、3，解得 m ，故| b| 2 ，故 cos a， bab|a|b| 3 3m2 3 9 3 35 ，故 a， b ，即向量 a 与 b 的夹角为 .323 32 6 6答案： 612已知 e1， e2 是平面单位向量，且 e1e2 .若平面向量 b 满足12be1 be21，则| b|_.解析： e1e2 ，12| e1|e2|cos e1， e2 ， e1， e260.12又 be1 be210， b， e1 b， e230.由 be11，得| b|e1|cos301，| b| .132 233答案：23313已知平面向量 a， b， c 不共线，且两两所成的角相等，若| a| b|2，|
10、 c|1，则| a b c|_.解析：平面向量 a， b， c 不共线，且两两所成的角相等，它们两两所成的角为120.| a b c|2( a b c)2 a b2 c22 ab2 bc2 ac| a|2| b|2| c|22| a|b|cos1202| b|c|cos1202| a|c|cos1202 22 21 2222 221 221 1，| a b c|1.(12) ( 12) ( 12)答案：1142018上海卷在平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)、 B(2,0)， E、 F 是 y 轴上的两个动点，且| |2，则 的最小值为_EF AE BF 解析：本题主要考查数量积的运算以及
11、二次函数的最值问题设 E(0， m)， F(0， n)，又 A(1,0)， B(2,0)， (1， m)， (2， n)AE BF 2 mn，AE BF 6又知| |2，| m n|2.EF 当 m n2 时， mn2( n2) n2 n22 n2( n1) 23.AE BF 当 n1，即 E 的坐标为(0,1)， F 的坐标为(0，1)时， 取得最小值3.AE BF 当 m n2 时， mn2( n2) n2 n22 n2( n1) 23.AE BF 当 n1，即 E 的坐标为(0，1)， F 为坐标为(0,1)时， 取得最小值3.AE BF 综上可知， 的最小值为3.AE BF 答案：3能
12、力挑战152018浙江卷已知 a， b， e 是平面向量， e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b24 eb30，则| a b|的最小值是( ) 3A. 1 B. 13 3C2 D2 3解析：本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离设 a， b， e，以 O 为原点， 的方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，OA OB OE OE 则 E(1,0)不妨设 A 点在第一象限， a 与 e 的夹角为 ，点 A 在从原点出发，倾斜角 3为 ，且在第一象限内的射线上设 B(x， y)，由 b24 eb30，得 3x2 y24 x30，即( x2
13、) 2 y21，即点 B 在圆( x2) 2 y21 上运动而 a b，| a b|的最小值即为点 B 到射线 OA 的距离的最小值，即为圆心(2,0)到射线BA y x(x0)的距离减去圆的半径，所以| a b|min 1.选 A.3 3一题多解 将 b24 eb30 转化为 b24 eb3 e20，即( b e)(b3 e)0，( b e)( b3 e)设 e， a， b， 3 e， 2 e，则 ，OE OA OB ON OM EB NB 点 B 在以 M 为圆心，1 为半径的圆上运动，如图7| a b| |，| a b|的最小值即为点 B 到射线 OA 的距离的最小值，即为圆心 MBA
14、到射线 OA 的距离减去圆的半径| |2， AOM ，OM 3| a b|min2sin 1 1. 3 3答案：A16定义平面向量的一种运算 a b| a b|a b|sin a， b ，其中 a， b是a 与 b 的夹角，给出下列命题：若 a， b90，则 a b a2 b2；若| a| b|，则( a b)( a b)4 ab；若| a| b|，则 a b2| a|2；若 a(1,2)， b(2,2)，则( a b) b .10其中真命题的序号是_解析：中，因为 a， b90，则 a b| a b|a b| a2 b2，所以成立；中，因为| a| b|，所以( a b)，( a b)90，
15、所以( a b)( a b)|2 a|2b|4| a|b|，所以不成立；中，因为| a| b|，所以 a b| a b|a b|sin a， b| a b|a b| 2| a|2，所以成立；|a b|2 |a b|22中，因为 a(1,2)， b(2,2)，所以 a b(1,4)，sin( a b)， b ，所以( a b) b3 ，所以不成立33434 5 5 33434 453434答案：817如图，设 (0，)，且 .当 xOy 时，定义平面坐标系 xOy 为 2仿射坐标系，在 仿射坐标系中，任意一点 P 的斜坐标这样定义： e1， e2分别为 x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若 xe
16、1 ye2，则记为 ( x， y)，那么在以下的结论中，正OP OP 确的是_(填序号)设 a( m， n)， b( s， t)，若 a b，则 m s， n t；设 a( m， n)，则| a| ；m2 n2设 a( m， n)， b( s， t)，若 a b，则 mt ns0；设 a( m， n)， b( s， t)，若 a b，则 ms nt0；设 a(1,2)， b(2,1)，若 a 与 b 的夹角为 ，则 . 3 23解析：显然正确；|a| me1 ne2| ，m2 n2 2mncos因为 ，所以错误； 2由 a b，得 b a( R)，所以 s m ， t n ，所以 mt ns0，故正确；因为 ab( me1 ne2)(se1 te2) ms nt( mt ns)cos ms nt，所以错误；根据夹角公式 ab| a|b|cos a， b ，又| a| b| ， ab45 e1e2，5 4e1e2所以 45 e1e2(54 e1e2)cos ， 3故 e1e2 ，12即 cos ，所以 ，正确12 23答案：9
