1、1课时作业 39 数学归纳法基础达标一、选择题1用数学归纳法证明 2n2n1， n的第一个取值应是( )A1 B2C3 D4解析： n1 时，2 12,2113,2 n2n1 不成立；n2 时，2 24,2215,2 n2n1 不成立；n3 时，2 38,2317,2 n2n1 成立 n的第一个取值应是 3.答案：C2用数学归纳法证明“当 n为正奇数时， xn yn能被 x y整除”的第二步是( )A假使 n2 k1 时正确，再推 n2 k3 时正确(其中 kN *)B假使 n2 k1 时正确，再推 n2 k1 时正确(其中 kN *)C假使 n k时正确，再推 n k1 时正确(其中 kN
2、*)D假使 n k时正确，再推 n k2 时正确(其中 kN *)解析：因为 n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第 k个正奇数也成立，即假设 n2 k1 时正确，再推第 k1 个正奇数，即 n2 k1 时正确答案：B 3利用数学归纳法证明“( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)，nN *”时，从“ n k”变成“ n k1”时，左边应增乘的因式是( )A2 k1 B2(2 k1)C. D.2k 1k 1 2k 3k 1解析：当 n k(kN *)时，左式为( k1)( k2)( k k)；当 n k1 时，左式为(k11)( k12)( k1 k1)( k1 k
3、)(k1 k1)，则左式应增乘的式子是 2(2 k1) 2k 1 2k 2k 1答案：B4用数学归纳法证明：首项是 a1，公差是 d的等差数列的前 n项和公式是 Sn na1d时，假设当 n k时，公式成立，则 Sk( )n n 122A a1( k1) d B.k a1 ak2C ka1 d D( k1) a1 dk k 12 k k 12解析：假设当 n k时，公式成立，只需把公式中的 n换成 k即可，即 Sk ka1d.k k 12答案：C5凸 n边形有 f(n)条对角线，则凸( n1)边形的对角线的角数 f(n1)为( )A f(n) n1 B f(n) nC f(n) n1 D f(
4、n) n2解析：边数增加 1，顶点也相应增加 1个，它与和它不相邻的 n2 个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加 n1 条答案：C二、填空题6用数学归纳法证明 (n1且 nN *)时，第一步要证明的不等1n 1 1n 2 13n56式是_解析： n1，第一步应证明当 n2 时不等式成立，即 .13 14 15 1656答案： 13 14 15 16567用数学归纳法证明 .假设 n k时，不等式成立，122 132 1 n 1 212 1n 2则当 n k1 时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式左边的分母可知，由 n k到 n k1 左边多出了 这一1 k 2
5、2项答案： 122 132 1 k 1 2 1 k 2 212 1k 38对任意 nN *,34n2 a2n1 都能被 14整除，则最小的自然数 a_.解析：当 n1 时，3 6 a3能被 14整除的数为 a3 或 5；当 a3 且 n2 时，3 103 5不能被 14整除，故 a5.答案：5三、解答题9证明：1 (nN *)12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n3证明：当 n1 时，左边1 ，右边 ，等式成立12 12 12假设当 n k(kN *，且 k1)时等式成立即 1 ，则当 n k1 时，12 12k 1 12k 1k 1 1k 2 12k左边1 12 1
6、2k 1 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 2 1k 2 12k 12k 1 ( 1k 1 12k 2) ，1 k 1 1 1 k 1 2 1 k 1 k 1 k 1 k 1当 n k1 时等式也成立，由知，对一切 nN *等式都成立10求证： (n2， nN *)1n 1 1n 2 12n1324证明：(1)当 n2 时，左边 ，不等式成立12 1 12 2 7121324(2)假设当 n k(k2， kN *)时成立，即 .1k 1 1k 2 12k1324则当 n k1 时， 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k
7、 11324 12k 112k 2 1k 1 .1324 12k 1 12k 2 1324 12 2k 1 k 1 1324当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)可知，对一切 n2， nN *均成立，故原不等式成立能力挑战11已知数列 an中， a15， Sn1 an(n2 且 nN *)(1)求 a2， a3， a4并由此猜想 an的表达式(2)用数学归纳法证明 an的通项公式解析：(1) a2 S1 a15， a3 S2 a1 a210， a4 S3 a1 a2 a320.猜想： an52 n2 (n2， nN *)(2)当 n2 时， a252 22 5 成立. 4假设当 n k时猜想成立，即 ak52 k2 (k2 且 kN *)则 n k1 时，ak1 Sk a1 a2 ak551052 k2 5 52 k1 .5 1 2k 11 2故当 n k1 时，猜想也成立由可知，对 n2 且 nN *，都有 an52 n2 ，于是数列 an的通项公式为anError!
