1、1课时作业 45 空间向量及其运算基础达标一、选择题1已知 a(2,3，4)， b(4，3，2)， b x2 a，则 x( )12A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)解析：由 b x2 a，得 x4 a2 b(8,12，16)(8，6，4)12(0,6，20)答案：B2对于空间一点 O和不共线的三点 A， B， C，有 6 2 3 ，则( )OP OA OB OC A O， A， B， C四点共面 B P， A， B， C四点共面C O， P， B， C四点共面 D O， P， A， B， C五点共面解析：由 6 2 3 ，OP OA OB OC 得 2( )
2、3( )，即 2 3 ，故 ， ， 共面，又它们有公OP OA OB OP OC OP AP PB PC AP PB PC 共点 P，因此， P， A， B， C四点共面，故选 B.答案：B3已知空间四边形 OABC中， a， b， c，点 M在 OA上，且 OM2 MA， NOA OB OC 为 BC中点，则 ( )MN A. a b c B a b c12 23 12 23 12 12C. a b c D. a b c12 12 12 23 23 12解析：显然 ( ) .MN ON OM 12OB OC 23OA 答案：B4已知四边形 ABCD满足： 0， 0， 0， 0，则该四边形AB
3、 BC BC CD CD DA DA AB 为( )A平行四边形 B梯形2C长方形 D空间四边形解析：由 0， 0， 0， 0，知该四边形一定不是平面图AB BC BC CD CD DA DA AB 形答案：D52019日照调研已知 A(4,1,3)， B(2，5,1)， C为线段 AB上一点，且 ，ACAB 13则 C点的坐标为( )A( ， ， ) B( ，3,2)72 12 52 83C( ，1， ) D( ， ， )103 73 52 72 32解析：由题意知 2 ，设 C(x， y， z)，则 2(x4， y1， z3)AC CB (2 x，5 y,1 z)，Error! Error
4、!即 C( ，1， )103 73答案：C二、填空题6已知空间四边形 OABC，点 M， N分别是 OA， BC的中点，且 a， b， c，OA OB OC 用 a， b， c表示向量 _.MN 解析：如图所示， ( ) ( )( ) ( 2 ) ( )MN 12MB MC 12 OB OM OC OM 12OB OC OM 12OB OC OA (b c a)12答案： (b c a)127若 a(0,1，1)， b(1,1,0)，且( a b) a，则实数 的值为_解析：因为( a b) a，所以( a b)a a2 ba( )2 (010)0，解得 2.2答案：238已知 a(1,2，2
5、)， b(0,2,4)，则 a， b夹角的余弦值为_解析：cos a， b .ab|a|b| 2515答案：2515三、解答题9已知空间三点 A(0,2,3)， B(2,1,6)， C(1，1,5)(1)求以 ， 为边的平行四边形的面积；AB AC (2)若| a| ，且 a分别与 ， 垂直，求向量 a的坐标3 AB AC 解析：(1)由题意可得： (2，1,3)， (1，3,2)，AB AC 所以 cos ， ，AB AC AB AC |AB |AC | 2 3 61414 714 12所以 sin ， ，AB AC 32所以以 ， 为边的平行四边形的面积：AB AC S2 | | |sin
6、 ， 14 7 .12AB AC AB AC 32 3(2)设 a( x， y， z)，由题意得Error!解得Error! 或Error!所以 a(1,1,1)或 a(1，1，1)10如图所示，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都等于 1，点 E， F， G分别是 AB， AD， CD的中点，计算：(1) ；EF BA (2) ；EF DC (3)EG的长解析：设 a， b， c.AB AC AD 4则| a| b| c|1， a， b b， c c， a60， c a， a， b c，EF 12BD 12 12 BA DC (1) ( a)EF BA (12c 12a) a2 ac
7、 .12 12 14(2) (c a)(b c)EF DC 12 (bc ab c2 ac) .12 14(3) a b a c bEG EB BC CG 12 12 12 a b c，12 12 12| |2 a2 b2 c2 ab bc ca ，则| | .EG 14 14 14 12 12 12 12 EG 22能力挑战11如图所示，在四棱锥 P ABCD中， PC平面 ABCD， PC2，在四边形 ABCD中， B C90， AB4， CD1，点 M在 PB上， PB4 PM， PB与平面 ABCD成 30的角求证：(1)CM平面 PAD；(2)平面 PAB平面 PAD.证明：以 C为
8、坐标原点， CB所在直线为 x轴， CD所在直线为 y轴，CP所在直线为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz. PC平面 ABCD， PBC为 PB与平面 ABCD所成的角， PBC30，5 PC2， BC2 ， PB4，3 D(0,1,0)， B(2 ，0,0)， A(2 ，4,0)， P(0,0,2)， M ，3 3 (32， 0， 32) (0，1,2)， (2 ，3,0)， .DP DA 3 CM (32， 0， 32)(1)设 n( x， y， z)为平面 PAD的一个法向量，由Error! 即Error!令 y2，得 n( ，2,1)3 n 201 0，CM 3 32 3
9、2 n .又 CM平面 PAD，CM CM平面 PAD.(2)解法一 由(1)知 (0,4,0)， (2 ，0，2)，BA PB 3设平面 PAB的一个法向量为 m( x0， y0， z0)，由Error! 即Error!令 x01，得 m(1,0， )，3又平面 PAD的一个法向量 n( ，2,1)，3 mn1( )02 10，3 3平面 PAB平面 PAD.解法二 取 AP的中点 E，连接 BE，则 E( ，2,1)， ( ，2,1)3 BE 3 PB AB， BE PA.又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，BE DA 3 3 . BE DA.BE DA 又 PA DA A， BE平面 PAD.又 BE平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.6
