1、1课时作业 51 椭圆基础达标一、选择题1若直线 x2 y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A. y21x25B. 1x24 y25C. y21 或 1x25 x24 y25D以上答案都不对解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在 x 轴上时， c2， b1， a25，所求椭圆的标准方程为 y21.x25当焦点在 y 轴上时，b2， c1， a25，所求椭圆的标准方程为 1.y25 x24答案：C22019武汉高中调研曲线 C1： 1 与曲线 C2： 1(09 k0，所以曲线 C2是焦点在 x 轴上的椭圆，记其长半轴长为 a2，短半轴长为
2、b2，半焦距为 c2，则 c a b 25 k(9 k)16.曲线 C12 2 2也是焦点在 x 轴上的椭圆，记其长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，半焦距为 c1，则c a b 25916，所以曲线 C1和曲线 C2的焦距相等，故选 D.21 21 21答案：D32019湖北中学联考已知椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，过 F2且垂x24 y23直于长轴的直线交椭圆于 A， B 两点，则 ABF1内切圆的半径为( )A. B1432C. D.45 34解析：不妨设 A 点在 B 点上方，由题意知： F2(1,0)，将 F2的横坐标代入椭圆方程 1 中，可得 A 点纵坐标为 ，故|
3、AB|3，所以内切圆半径 r (其中 S 为x24 y23 32 2SC 68 34 ABF1的面积， C 为 ABF1的周长)故选 D.一题多解 由椭圆的通径公式得| AB| 3，则 S ABF1 233，又易得2b2a 12ABF1的周长 C4 a8，则由 S ABF1 Cr 可得 r .故选 D.12 34答案：D42019石家庄质量检测倾斜角为 的直线经过椭圆 1( ab0)的右焦点 4 x2a2 y2b2F，与椭圆交于 A、 B 两点，且 2 ，则该椭圆的离心率为( )AF FB A. B.32 23C. D.22 33解析：由题可知，直线的方程为 y x c，与椭圆方程联立得Err
4、or!，( b2 a2)y22 b2cy b40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! ，又 2 ，( c x1， y1)2( x2 c， y2)，AF FB y12 y2，可得Error!， ， e ，故选 B.12 4c2a2 b2 23答案：B52019陕西西安八校联考某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )3A. B.12 24C. D.22 32解析：依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为 a，则斜边长为 a，圆锥的底面
5、半径为 a、母线长为 a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为222a、短轴长为 a，其离心率 e ，选 C.21 (a2a)2 22答案：C二、填空题6椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，以 FA 为直径的圆经过椭圆的上x2a2 y2b2顶点 B，则椭圆的离心率为_解析：以 FA 为直径的圆经过椭圆的上顶点 B，则 ，FB AB 所以 0， ( c， b)， ( a， b)，FB AB FB AB 所以 b2 ac0，即 a2 c2 ac0.FB AB 两边同除以 a2，得 e2 e10，所以 e .5 12答案：5 127已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 F(2,0)，且长轴长与
6、短轴长的比是 2 ，3则椭圆 C 的方程是_解析：设椭圆 C 的方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由题意知Error!解得 a216， b212.所以椭圆 C 的方程为 1.x216 y212答案： 1x216 y21282019山西月考设 F1、 F2为椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，经过 F1x2a2 y2b2的直线交椭圆 C 于 A， B 两点，若 F2AB 是面积为 4 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为3_4解析： F2AB 是面积为 4 的等边三角形，3 AB x 轴， A， B 两点的横坐标为 c，代入椭圆方程，可求得| F1A| F1B| .b2a又| F1F2|
7、2 c， F1F2A30， 2c .b2a 33又 S F2AB 2c 4 ， a2 b2 c2 ，12 2b2a 3由解得 a29， b26， c23，椭圆 C 的方程为 1.x29 y26答案： 1x29 y26三、解答题92019贵州适应性考试设 F1， F2分别是椭圆 E： 1( ab0)的右、右焦点，x2a2 y2b2E 的离心率为 ，点(0,1)是 E 上一点22(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 F1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点，且 2 ，求直线 BF2的方程BF1 F1A 解析：(1)由题意知， b1，且 e2 ，c2a2 a2 b2a2 12解得 a22，所以椭圆
8、E 的方程为 y21.x22(2)由题意知，直线 AB 的斜率存在且不为 0，故可设直线 AB 的方程为 x my1，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得( m22) y22 my10，则 y1 y2 ，2mm2 2y1y2 ，1m2 2因为 F1(1,0)，所以 (1 x2， y2)， ( x11， y1)，BF1 F1A 由 2 可得， y22 y1，BF1 F1A 由可得 B ，(12， 144)5则 kBF2 或 ，146 146所以直线 BF2的方程为y x 或 y x .146 146 146 146102019广东深圳模拟已知椭圆 C： 1( ab0)的
9、离心率为 ，其右顶点x2a2 y2b2 33与上顶点的距离为 ，过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆相交于 A、 B 两点5(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M 是 AB 中点，且点 Q 的坐标为 ，当 QM AB 时，求直线 l 的方程(25， 0)解析：(1)由题意可知 a2 b25，又 e ， a2 b2 c2，ca 33所以 a ， b ，所以椭圆 C 的方程为 1.3 2x23 y22(2)若直线 l 的斜率不存在，此时 M 为原点，满足 QM AB，所以，方程为 x0.若直线 l 的斜率存在，设其方程为 y kx2， A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线方程与椭圆方程
10、联立可得Error!即(23 k2)x212 kx60，x1 x2 ， 12k2 3k2由题意可知 72 k2480，即 k 或 kb0)的左、右顶点分别是x2a2 y2b2A， B，左、右焦点分别是 F1， F2，若| AF1|，| F1F2|，| F1B|成等比数列，则椭圆 C 的离心率为( )A. B.55 226C. D.12 33解析：| AF1|，| F1F2|，| F1B|成等比数列，| F1F2|2| AF1|F1B|，即 4c2( a c)(a c)，即 4c2 a2 c2，即 5c2 a2，即 a c，5椭圆 C 的离心率 e ，故选 A.ca 55答案：A122019湖南长沙模拟椭圆 x2 1(0 ，所以 b0)(y12) 94 x2a2 y2b2的左、右焦点 F1， F2，与椭圆在第一象限的交点为 A，且 F1， E， A 三点共线，则该椭圆的方程为_解析：对于 x2 2 ，当 y0 时， x ，(y12) 94 2 F1( ，0)， F2( ，0)， E 的坐标为 ，直线 EF1的方程为 ，2 2 (0，12) y 012 0 x 20 2即 y x ，由Error!24 12得点 A 的坐标为( ，1)，2则 2a| AF1| AF2|4， a2， b22，7该椭圆的方程为 1.x24 y22答案： 1x24 y22
