1、- 1 -2018 年秋四川省宜宾市四中高二期末模拟考试数学（理）试题时间：120 分钟 满分：150 分第卷（选择题 共 60 分）一选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从孝感地区中小学生中抽取部分学生,进行肺活量调查.经了解,该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样2.若 ,则下列不等关系中不一定成立的是 0abA. B. C. D. cacb2abab
2、3.抛物线 的焦点坐标是 2yxA. B. C. D. 10,410,810,810,44.设 x R,则“ x1”是“ x2+x-20”的A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.一次数学考试后,某老师从自己所带的两个班级中各抽取 6 人,记录他们的考试成绩,得到如图所示的茎叶图。已知甲班 6 名同学成绩的平均数为 82,乙班 6 名同学成绩的中位数为 77,则xyA.3 B.-3 C.4 D.-46.一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5 的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点距离都大于1 的地方的概率为- 2 -A. B. C. D. 1213161
3、27.直线 与圆 的位置关系是 ()yax29yA.相离 B.相交 C.相切 D.不确定8.抛物线 上一点到直线 的距离最短的点的坐标是 2 40xA. B. C. D. ,41,39,241,9.在正方体 中, 为棱 的中点,则异面直线 与 所成角的正切1ABCDE1CAECD值为A. B. C. D. 232527210.设 是椭圆 : 长轴的两个端点,若 上存在点 满足 , AB C1xym CM10AB则 的取值范围是 mA. B. C. D.0,19,0,39,0,14,3411.已知双曲线 的离心率为 ,过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲21(0,)xyab2x线交于 两点.设 到双
4、曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ,且 则,AB, 1d2126,d双曲线的方程为A. B. C. D. 2139xy2193xy241xy21412.已知 a+b+c=1,且 a,b,c0,则 的最小值为 22abcaA.1 B.3 C.6 D.9第卷（非选择题 共 90 分）二填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）- 3 -13.直线 与直线 互相垂直,则 _(2)10mxy(1)0mxym14.若 满足约束条件 ,则 的最大值为_.,y530xz15.在平面直角坐标系中,经过三点 的圆的方程为_.,1,2016.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是球 的直径
5、,若平面SABC OSC O平面 , ,三棱锥 的体积为 ,则球 的表面积为SC,SAB9 _.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本大题满分 10 分）设 关于 的不等式 的解集是 函数 的定义域为 . :p x1xa;|0x:qy2axR若 是真命题 , 是假命题 ,求实数 的取值范围 .qpqa18.（本大题满分 12 分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 .现采用分层抽样的方法240,16从中抽取 名同学去某敬老院参加献爱心活动.7（）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?（）设抽出的 名同学
6、分别用 表示,现从中随机抽取 名同学承担敬老,ABCDEFG2院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设 为事件“抽取的 名同学来自同一年级”,求事件 发生的概率.M2M19.（本大题满分 12 分）- 4 -CABA1B1C1已知抛物线 过点 且点 到其准线的距离为 .20ypx02,Ay4（）求抛物线的方程;（）直线 与抛物线交于两个不同的点 ,若 ,求实数 的值.: lm PQO m20.（本大题满分 12 分）如图，斜三棱柱 中， 为锐角，底面 是以 为斜边的等腰直角1ABC1BCABC三角形， 1（）证明：平面 平面 ；1（）若直线 与底面 成角为 ，160
7、，求二面角 的余弦值1ABC1AB21.（本大题满分 12 分）某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数 与销售价格 (单位:万01xy元/辆)进行整理,得到如下的对应数据:使用年数 x 2 4 6 8 10销售价格 y 16 13 9.5 7 4.5（）试求 关于 的回归直线方程 (参考公式: xybxa)12 ,niiiiiybaxC AB A1B1 C1- 5 -（）已知每辆该型号汽车的收购价格为 万元,根据 中所求的回20.51.7.2x1归方程,预测 为何值时,销售一辆该型号汽车所获得的利润 最大?(利润=销售价格收购价x z格)22.（本大题满分 12 分）如图，从椭圆 上一点
8、向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ，又:C21(0)xyabPxF点 是椭圆与 轴正半轴的交点，点 是椭圆与 轴正半轴的交点，且ABy,/,|2BOPF（）求 的方程；C（）过 且斜率不为 的直线 l与 相交于 两点，线段 的中点为 ，直线 与0C,MNNEO直线 相交于点 ，若 为等腰直角三角形，求4xDFl的方程2018 年秋四川省宜宾市四中高二期末模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.C 10.A 11.A 12.D二、填空题- 6 -13. 或 14. 15. 16.36012920xy三、解答题17.由题意:对于命题
9、关于 的不等式 的解集是 即 ;:p 1xa;|x:01pa对于命题 函数 的定义域为 ,:q2yaxR所以 ,且 ,即 .0a140:2qa 为真, 为假, 一真一假,p“p 真 假时, , 假 真时, .q2a1综上, .10,a18.（1）解:由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 32,:由于采用分层抽样的方法从中抽取 名同学,7因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 人, 人, 人.（2）(i)解:从抽出的 名同学中随机抽取 名同学的所有可能结果为2共 种.,ABCDAEFGBCBG1(ii)解:由 ,不妨设抽出的 名同学中,来自甲年级的是17,A来自乙年级的是
10、来自丙年级的是,DE,FG则从抽出的 名同学中随机抽取的 名同学来自同一年级的所有可能结果为72共 种.,ABC5所以,事件 发生的概率为M.21P19.（1）已知抛物线 过点 且点 到其准线的距离为 ,20ypx0,Ay4则 , ,24p4故抛物线的方程为: .28yx（2）由 得 ,2xm220m- 7 -设 ,则 ,12,PxyQ2118,xymx,22 22218, 8mxm ,O120,xy或 ,0经检验,当 时,直线与抛物线交点中有一点与原点 重合,不符合题意, O当 时, ,符合题意,8m2460综上,实数 的值为 . 20.解：（1）因为 ， ， ，所以 平面 ACB1C1BA
11、C1B因为 平面 ，所以平面 平面 A（2）因为 平面 ，在平面 内作 ，垂足为 ，所111D以 平面 因为 底面 成角为 ，所以 1BD6060因为 ， ，所以 平面 ，所以 ，四边形1AC1BC1B1C1BC是菱形因为 为锐角，所以 ，于是 是 中点12D设 ，以 为坐标原点， 为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系2BDxyz则 ， ， ， ，(,0)A(1,)(,0)C1(,3)B， ，2C230,A设 是平面 的一个法向量，1(,)xyzm1则 ，即 ，0ABC1230yz可以取 (3,)设 是平面 的一个法向量，2xyzn1AB则 ，即 ，可以取 10AB2230y(3,1
12、)n因为 ，二面角 平面角是钝角，7cos,|mn1CABD x AB C yz A1B1 C1- 8 -故二面角 的余弦值是 1CAB721.（1）由表中数据,计算,124680,639.574.1055xy,1 20.235.8.iiiy52222144iix由最小二乘法求得 , ,58.1.0b10.45618.7aybx 关于 的回归直线方程为yx458.7y（2）根据题意利润函数为,2 21.458.70.10.5.315zxx当 时,利润 取得最大值32.xz22.解：（）令 ， 得 .所以 .直线 的斜率 .直线xc2byaP2(,)bcaOP21bkac的斜率 .故 解得 ，
13、.由已知及 ，得AB2bka2|FA，ac所以 ，解得 .所以， ，(12)2c2ab所以 的方程为 C2184xy（）易得 ， 可设直线 的方程为 ， ， ， ,0Fl2xky1,Mxy2,Nxy联立方程组 消去 ，整理得 ， 2184xky， ， x40由韦达定理，得 ， ，12ky12yk- 9 -所以 ， ，即12yk121224kyxk24,kE所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 ，OEyxy,D所以直线 的斜率为 ，所以直线 与 恒保持垂直关系，DF204kFl故若 为等腰直角三角形，只需 ， M M即 ，22 21114kxyky解得 ，又 ，所以 ，1y840x所以 ，从而直线 的方程为： 或 kl2y20xy
