1、1单元质检七 不等式、推理与证明(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 72 分)1.(2018 山东济宁期末)已知 a0,b0,且 成等差数列,则 a+9b 的最小值为( )1a,12,1bA.16 B.9 C.5 D.4答案 A解析 成等差数列, =1.1a,12,1b 1a+1ba+ 9b=(a+9b) =10+ 10 +2 =16,(1a+1b) ab+9ba ab9ba当且仅当 ,且 =1,即 a=4,b= 时等号成立 .ab=9ba 1a+1b 43故选 A.2.正弦函数是奇函数, f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f
2、(x)=sin(x2+1)是奇函数 .以上推理( )A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确答案 C解析 因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确 .3.若 x,y 满足约束条件 则 z=x+2y 的取值范围是 ( )x 0,x+y-3 0,x-2y 0, A.0,6 B.0,4 C.6,+ ) D.4,+ )答案 D2解析 画出约束条件 所表示的平面区域为图中阴影部分所示,x 0,x+y-3 0,x-2y 0 由目标函数 z=x+2y 得直线 l:y=- x+ z,12 12当 l 经过点 B(2,1)时, z 取最小值, zmin=2+21=4.
3、又因为 z 无最大值,所以 z 的取值范围是4, + ),故选 D.4.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( )A.0,2 B.-2,0C.-2,+ ) D.(- ,-2答案 D解析 2x+2y=12 ,2x+y 2 x+y,即 2x+y2 -2.x+y -2.(12)25.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三个空盒 .每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒 .重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红
4、球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析 若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选 B.36.已知实数 x,y 满足 则 z=4x+3y 的最大值为( )x+y 1,x-y -1,2x-y 2,A.3 B.
5、4 C.18 D.24答案 D解析 画出满足条件 的平面区域,如图所示:x+y 1,x-y -1,2x-y 2 由 解得 A(3,4),由 z=4x+3y 得 y=- x+ z,结合图象得直线过点 A(3,4)时, z 最大, zx-y= -1,2x-y=2, 43 13的最大值是 24,故选 D.7.已知不等式 0 对满足 abc 恒成立,则 的取值范围是( )1a-b+ 1b-c+ c-aA.(- ,0 B.(- ,1) C.(- ,4) D.(4,+ )答案 C解析 变形得 0 的解集为 x| x0 的解集为( )x12A. B.x|-1312C.x|-32答案 C4解析 由题意知 a0
6、,且 ,- 是关于 x 的方程 ax2-5x+b=0 的两根, 解得 a=30,b=-5,12 13 -13+12=5a,-1312=ba,bx 2-5x+a0 为 -5x2-5x+300,x2+x-60),即800x+x8 800xx8 800x=x8x=80 时等号成立,故选 B.10.已知实数 x,y 满足约束条件 若 z= 的最小值为 - ,则正数 a 的值为( )x-y+1 0,2x+y-a 0,2x-y-4 0. y+1x+1 14A. B.1 C. D.76 34 89答案 D解析 实数 x,y 满足约束条件 的可行域如图阴影部分 .x-y+1 0,2x+y-a 0,2x-y-4
7、 0已知 a0,由 z= 表示过点( x,y)与点( -1,-1)的直线的斜率,且 z 的最小值为 - ,y+1x+1 14所以点 A 与点( -1,-1)连线的斜率最小,5由 解得 A ,z= 的最小值为 - ,即2x+y-a=0,2x-y-4=0, (1+a4,a2-2) y+1x+1 14=- ,解得 a= .故选 D.(y+1x+1)min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8 14 8911.(2018 山东烟台二模)已知 P(x,y)为区域 内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,y2-4x2 0,a x 0z=x-2y 的最小值是( )A.-5 B.-3 C.- D.02 2
8、 2答案 A解析 画出不等式组表示的平面区域,如图所示,则 A(a,2a),B(a,-2a),S ABO= |a|4a|=2a2=4,12解得 a=- (正值舍去),2所以 A ,B .(- 2,-2 2) (- 2,2 2)由目标函数的几何意义可得,当 z=x-2y 过点 B 时取得最小值,此时 z=x-2y=- -22 =-52 2.2故选 A.12.已知任意非零实数 x,y 满足 3x2+4xy (x2+y2)恒成立,则实数 的最小值为( )A.4 B.5 C. D.115 72答案 A解析 依题意,得 3x2+4xy3 x2+x2+(2y)2=4(x2+y2)(当且仅当 x=2y 时等
9、号成立) .因此有 4,当且仅当 x=2y 时等号成立,3x2+4xyx2+y2即 的最大值是 4,结合题意得 ,3x2+4xyx2+y2 3x2+4xyx2+y26故 4,即 的最小值是 4.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 7 分,共 28 分)13.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数( V)棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10正方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 . 答案 F+V-E=2解析 三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;正方体中 6+8-12=2;由此归纳可得 F+V-E=2.14.已知 f(x)=lg(
10、100x+1)-x,则 f(x)的最小值为 . 答案 lg 2解析 f (x)=lg(100x+1)-x=lg =lg(10x+1 )lg2, 当且仅当 x=0 时等号成立,100x+110x 0-xf (x)的最小值为 lg2.15.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,xn,都有 f .若 y=sin x 在区间(0,)内是凸函数,则在 ABC 中,sin f(x1)+f(x2)+f(xn)n (x1+x2+xnn )A+sin B+sin C 的最大值是 . 答案332解析 由题意知,凸函数 f(x)满足 f .f(x1)+f(x2)+f(xn
11、)n (x1+x2+xnn )y= sinx 在区间(0,)内是凸函数 .7 sinA+sinB+sinC3sin =3sin .A+B+C3 3=33216.已知实数 x,y 满足约束条件 则 23x+2y的最大值是 . x 0,x y,2x-y 1,答案 32解析 设 z=3x+2y,由 z=3x+2y,得 y=- x+ .32 z2作出不等式组 对应的平面区域如图阴影部分所示,x 0,x y,2x-y 1由图象可知当直线 y=- x+ 经过点 B 时,直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距最大,此时 z 也最大 .32 z2 32 z2由 解得 即 B(1,1).x=y,2x-y=1, x=1,y=1,故 zmax=31+21=5,则 23x+2y的最大值是 25=32.
