1、1单元质检三 导数及其应用(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.如果一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( )A.7 米 /秒 B.6 米 /秒 C.5 米 /秒 D.8 米 /秒答案 C解析 根据瞬时速度的意义,可得 3 秒末的瞬时速度是 v=s|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直,则 a 等于( )x+1x-1A.2 B.-2 C. D.-12 12答案 B解析 因为 y=
2、的导数为 y= ,所以曲线在点(3,2) 处的切线斜率 k=- .x+1x-1 -2(x-1)2 12又因为直线 ax+y+3=0 的斜率为 -a,所以 -a =-1,解得 a=-2.(-12)3.若函数 y=ex+mx 有极值,则实数 m 的取值范围是( )A.m0 B.m1 D.m0,若 y=ex+mx 有极值,则必须使 y的值有正有负,故 m 时, f(x)0,f(x)单调递增 .则 f(x)的最小值为 f +ln20,所以无零点 .12 (12)=346.(2018 全国 ,文 6)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处
3、的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x答案 D解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 -x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x.由 f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x.7.已知当 x 时, a +ln x 恒成立,则 a 的最大值为 ( )12,2 1-xxA.0 B.1 C.2 D.3答案 A解析 令 f(x)= +lnx,则 f(x)= .1-xx x-1x2当 x 时, f(x)0.f (x)在区间 内单调递减,在区间(1
4、,2上单调递增,12,1) 在 x 上, f(x)min=f(1)=0,12,2a 0,即 a 的最大值为 0.38.已知函数 f(x)=ln x+tan 的导函数为 f(x),若方程 f(x)=f(x)的根 x0小于 1,(0g (1)=1.又 00,且 g(3)=0,则不等式 f(x)g(x)0,即 f(x)g(x)0, 当 x0 时, f(x)g(x)为增函数,且 f(3)g(3)=0,故当 00,解得 x ,344 344故 f(x)在 内递增,在 内递减,故 f(x)的最大值是 f ,a= .(0,344) (344,+ ) (344) 34411.若函数 f(x)= x2+x+1
5、在区间 内有极值点,则实数 a 的取值范围是( )x33-a2 (12,3)A. B. C. D.(2,52) 2,52) (2,103) 2,103)答案 C解析 若 f(x)= x2+x+1 在区间 内有极值点,则 f(x)=x2-ax+1 在区间 内有零点,且零点x33-a2 (12,3) (12,3)不是 f(x)的图象顶点的横坐标 .由 x2-ax+1=0,得 a=x+ .因为 x ,y=x+ 的值域是 ,1x (12,3) 1x 2,103)当 a=2 时, f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意 .所以实数 a 的取值范围是 ,故选 C.(2,103)12.已知函数 f
6、(x)=x3+ax2+bx 有两个极值点 x1,x2,且 x10),1x 1-xx当 x(0,1)时, g(x)0,则函数 g(x)单调递增;当 x(1, + )时, g(x)1,解得 a2,即实数 a 的取值范围是(2, + ).16.(2018 东北三省三校一模)已知函数 f(x)=xln x+ x2,x0是函数 f(x)的极值点,给出以下几个命题:12 0 ;f (x0)+x00.1e 1e其中正确的命题是 .(填出所有正确命题的序号) 答案 解析 由已知得 f(x)=lnx+x+1(x0),不妨令 g(x)=lnx+x+1(x0),由 g(x)= +1,当 x(0, + )时,1x有
7、g(x)0 总成立,所以 g(x)在(0, + )上单调递增,且 g 0,又 x0是函数 f(x)的极值点,所(1e)=1e以 f(x0)=g(x0)=0,即 g g(x0),所以 00,所以 f(x)=0 有两个不相等的实数根 .7所以不存在实数 a,使得 f(x)是( - ,+ )内的单调函数 .18.(12 分)已知 f(x)=x3- x2-2x+5.12(1)求 f(x)的单调区间;(2)过点(0, a)可作 y=f(x)的三条切线,求 a 的取值范围 .解 (1)f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),故 f(x)在 ,(1,+ )内单调递增,在 内单调递减 .(- ,-2
8、3) (-23,1)(2)设切点为( x0,f(x0),则切线的方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0),即 y-( -2x0+5)=(3 -x0-2)(x-x0).x30-12x20 x20又点(0, a)在切线上,故 a- =(3 -x0-2)(0-x0),(x30-12x20-2x0+5) x20即 a=-2 +5.x30+12x20令 g(x)=-2x3+ x2+5,12由已知得 y=a 的图象与 g(x)=-2x3+ x2+5 的图象有三个交点, g(x)=-6x2+x,12令 g(x)=0,得 x1=0,x2= ,g(x1)=5,g(x2)=5 ,16 1216故 a 的取值
9、范围为 .(5,51216)19.(12 分)已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为 -1.(1)求 a 的值及函数 f(x)的极值;(2)证明:当 x0 时, x2ln2 时, f(x)0,f(x)单调递增,所以当 x=ln2 时, f(x)取得极小值,极小值为 f(ln2)=2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值 .(2)证明 令 g(x)=ex-x2,则 g(x)=ex-2x.由(1),得 g(x)=f(x) f(ln2)=2-ln40,故 g(x)在 R 上单调递增 .因为 g(0)=10,所以当 x0,g
10、(x)g(0)0,即 x21.12x(1)解 函数 f(x)的定义域为(0, + ),f(x)= -1= .1x 1-xx令 f(x)0,解得 01.故函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1, + ).(2)证明 根据题意得 g(x)=lnx+ -m(x0).12x因为 x1,x2是函数 g(x)=lnx+ -m 的两个零点,12x所以 lnx1+ -m=0,lnx2+ -m=0.12x1 12x2两式相减,可得 ln ,x1x2= 12x2- 12x1即 ln ,故 x1x2= ,x1x2=x1-x22x2x1 x1-x22lnx1x2因此 x1= ,x2= .x1x2
11、-12lnx1x2 1-x2x12lnx1x2令 t= ,其中 00 恒成立,故 h(t)1,故 x1+x21.1t t-1t2lnt21.(12 分)已知函数 f(x)=ex-x2+a,xR 的图象在 x=0 处的切线方程为 y=bx.(e2 .718 28)(1)求函数 f(x)的解析式;(2)当 xR 时,求证: f(x) -x2+x;(3)若 f(x)kx 对任意的 x(0, + )恒成立,求实数 k 的取值范围 .(1)解 f (x)=ex-x2+a,f (x)=ex-2x.由已知,得 解得f(0)=1+a=0,f(0)=1=b, a= -1,b=1. 函数 f(x)的解析式为 f(
12、x)=ex-x2-1.(2)证明 令 (x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则 (x)=ex-1.由 (x)=0,得 x=0.当 x( - ,0)时, (x)0, (x)单调递增 .故 (x)min= (0)=0,从而 f(x) -x2+x.(3)解 f(x)kx 对任意的 x(0, + )恒成立 k 对任意的 x(0, + )恒成立 .f(x)x令 g(x)= ,x0,f(x)x则 g(x)=xf(x)-f(x)x2 =x(ex-2x)-(ex-x2-1)x2= .(x-1)(ex-x-1)x2由(2)可知当 x(0, + )时,e x-x-10 恒成立,由 g(x)0,得 x1;由 g
13、(x)0,若 x( - ,0),则 f(x)=x(ex+1+2a)0,函数 f(x)单调递增; 当 - 0,函数 f(x)单调递增,若e2x(ln( -2a)-1,0),则 f(x)=x(ex+1+2a)0,函数 f(x)单调递增; 当 a=- 时, f(x)=x(ex+1+2a)0 恒成立,函数 f(x)单调递增;e2 当 a0,函数 f(x)单调递增,若 x(0,ln( -2a)-1),则 f(x)=x(ex+1+2a)0,函数 f(x)单调递增 .(2)当 a=0 时, f(x)=(ex-e)ex有唯一零点 x=1,不符合题意;由(1)知,当 a0 时,若 x( - ,0),则函数 f(x)单调递减,若 x(0, + ),则函数 f(x)单调递增,当 x - 时, f(x) + ;当 x + 时, f(x) + ,f(0)=-e0 时,函数 f(x)有两个零点 .11
