1、1单元质检二 函数(时间:100 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知函数 f(x)= 则 f(f(1)=( )2x-4,x0,2x,x 0,A.2 B.0 C.-4 D.-6答案 C解析 函数 f(x)=2x-4(x0),2x(x 0),则 f(f(1)=f(2-4)=f(-2)=-4.故选 C.2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0, + )内单调递增的是( )A.y=- B.y=-x21xC.y=e-x+ex D.y=|x+1|答案 C解析 选项 A 中函数是奇函数,不合题意;选项 B 中函数在区间(0, + )内单调递减,不合
2、题意;选项 D 中函数为非奇非偶函数,不合题意;故选 C.3.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间( - ,0上 f(x)是减函数 .若 f(2)=0,则使得 f(x)时, f12=f ,则 f(6)=( )(x+12) (x-12)A.-2 B.-1 C.0 D.2答案 D解析 由题意可知,当 -1 x1 时, f(x)为奇函数;当 x 时,由 f =f 可得 f(x+1)=f(x).12 (x+12) (x-12)所以 f(6)=f(51+1)=f(1).而 f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2.所以 f(6)=2.故选 D.5.设 a=log32,b=ln 2,c=
3、 ,则( )5-12A.alog2e1,所以 a2=log24log23,所以 c0,2x,x 0, 12A.-1 B. C.-1 或 D.1 或 -2 2 2答案 C解析 由题意得 log2a=12,a0 或 2a=12,a 0,故 a= 或 a=-1.故选 C.27.已知函数 f(x)= -sin x,则 f(x)在0,2上的零点个数为( )(12)x3A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 函数 f(x)= -sinx 在0,2上的零点个数为函数 y= 的图象与函数 y=sinx 的图象在(12)x (12)x0,2上的交点个数,在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可
4、知,两个函数的图象在区间0,2上有两个不同的交点,故选 B.8.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且当 x0,1时, f(x)=log2(x+1),则 f(31)=( )A.0 B.1 C.-1 D.2答案 C解析 函数 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=-f(x), 函数 f(x)是奇函数 .f (x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即 f(x+2)=-f(x).f (x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数 f(x)是周期为 4 的函数 . 当 x0,1时, f(x)=log2(x+1),f (31)=f(32-1)=f
5、(-1)=-f(1)=-log22=-1.故选 C.9.若函数 f(x)=ax-a-x(a0,且 a1)在 R 上为减函数,则函数 y=loga(|x|-1)的图象可以是( )4答案 C解析 由函数 f(x)=ax-a-x(a0,且 a1)在 R 上为减函数,得 01 或 x1 时,函数 y=loga(|x|-1)的图象是把函数 y=logax 的图象向右平移 1 个单位得到的,所以当 x1 时,函数单调递减,排除 D.所以选 C.10.已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A.f(x)在区间(0,2)内单调递增B.f(x)在区间(0,2)内单调递减C.y=f(x)的图象关于直
6、线 x=1 对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 C解析 f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2) .当 x(0,1)时, x 增大, -x2+2x 增大,ln( -x2+2x)增大,当 x(1,2)时, x 增大, -x2+2x 减小,ln( -x2+2x)减小,即 f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项 A,B;因为 f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故排除选项 D.故选 C.11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1与仓
7、库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比 .据测算,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1,y2分别是2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )A.5 千米处 B.4 千米处 C.3 千米处 D.2 千米处答案 A5解析 设仓库到车站的距离为 x 千米,由题意,得 y1= ,y2=k2x,其中 x0.k1x由当 x=10 时,两项费用 y1,y2分别是 2 万元和 8 万元,可得 k1=20,k2= ,故 y1+y2= x245 20x+45=8,当且仅当 x,即 x=5 时取等号,故选 A.20x45x 20x=451
8、2.设 minm,n表示 m,n 二者中较小的一个,已知函数 f(x)=x2+8x+14,g(x)=min (x0).若 x1 -5,a(a -4),x2(0, + ),使得 f(x1)=g(x2)成立,则 a 的(12)x-2,log24x最大值为( )A.-4 B.-3 C.-2 D.0答案 C解析 由题意得 g(x)=log24x,00 值范围是 . 答案 ( ,+ )2解析 作出函数 f(x)= 的图象,如图所示 .2-(13)x(x 0)12x2+1(x0)7直线 y=mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线,当斜率 m0 时,直线 y=mx 与函数 f(x)的图象只有一个公共点;当 m
9、0 时,直线 y=mx 始终与函数 y=2- (x0)的图象有一个公共点,故要使直线(13)xy=mx 与函数 f(x)的图象有三个公共点,必须使直线 y=mx 与函数 y= x2+1(x0)的图象有两个公共点,12即方程 mx= x2+1 在 x0 时有两个不相等的实数根,即方程 x2-2mx+2=0 的判别式 = 4m2-420,且122m0,解得 m .故所求实数 m 的取值范围是( ,+ ).2 2三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(10 分)已知函数 f(x)=m+logax(a0,且 a1)的图象过点(8,2)和(1, -1).(1)求函数 f(x)的解析式;(2
10、)令 g(x)=2f(x)-f(x-1),求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值 .解 (1)由 解得f(8)=2,f(1)= -1,得 m+loga8=2,m+loga1= -1, m= -1,a=2, 故函数解析式为 f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-1+log2(x-1)=log2 -1(x1).x2x-1因为x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=(x-1)+ +22 +2=4,1x-1 (x-1)1x-1当且仅当 x-1= ,即 x=2 时,等号成立,1x-1函数 y=log2x 在(0, + )内单调递增,
11、所以 log2 -1log 24-1=1,x2x-1故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1.18.(12 分)已知函数 g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间2,3上有最大值 4 和最小值 1.设 f(x)= .g(x)x(1)求 a,b 的值;8(2)若当 x -1,1时,不等式 f(2x)-k2x0 有解,求实数 k 的取值范围 .解 (1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因为 a0,所以 g(x)在区间2,3上是增函数,故 解得g(2)=1,g(3)=4, a=1,b=0.(2)由已知可得 f(x)=x+ -2,1x所以 f(2x)-k2x0 可化为 2x+ -2
12、k2x,12x可化为 1+ -2 k.(12x)2 12x令 t= ,则 k t2-2t+1.12x因为 x -1,1,所以 t .12,2记 h(t)=t2-2t+1,因为 t ,所以 h(t)max=1.12,2所以 k1,即实数 k 的取值范围是( - ,1.19.(12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x(xN *)千件,需另投入成本为 C(x)万元,当年产量不足 80 千件时, C(x)= x2+10x(万元);当年产量不少于 80 千件时, C(x)=51x+ -1 13 10000x450(万元) .通过市场分析,当每件售价为 500 元时,该厂年内生产
13、的商品能全部销售完 .(1)写出年利润 L(单位:万元)关于年产量 x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解 (1)当 0950.10000x综上所述,当 x=100 时, L(x)取得最大值 1000,即年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大 .20.(12 分)已知二次函数 y=f(x)在 x= 处取得最小值 - (t0),且 f(1)=0.t+22 t24(1)求 y=f(x)的表达式;(2)若函数 y=f(x)在区间 上的最小值为 -5,求此时 t 的值 .-1,12解 (1)设 f(x)=a (a0).(x-
14、t+22)2-t24因为 f(1)=0,所以( a-1) =0.t24又因为 t0,所以 a=1,所以 f(x)= (t0) .(x-t+22)2-t24(2)因为 f(x)= (t0),(x-t+22)2-t24所以当 -1 时,t+22 12f(x)在 上的最小值 f(x)min=f =-5,所以 t=- (舍去) .-1,12 (12)=(12-t+22)2-t24 212综上,得 t=- .9221.(12 分)已知函数 f(x)=loga(ax-1)(a0,a1) .(1)当 a= 时,求函数 f(x)的定义域 .12(2)当 a1 时,求关于 x 的不等式 f(x)m 对任意实数
15、x1,3恒成立,求实数 m 的取值范围 .解 (1)当 a= 时, f(x)=lo ,12 g12(12x-1)故 -10,解得 x1),定义域为 x(0, + ),易知 f(x)在(0, + )上为增函数,由 f(x)0,xm 对任意实数 x1,3恒成立,故 m0 时, f(x)0.f (x2)+f(-x1)=f(x2-x1)f(x2).f (x)在( - ,+ )内是减函数 . 对任意 x -3,3,恒有 f(x) f(-3).f (3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-23=-6,f (-3)=-f(3)=6,f (x)在 -3,3上的最大值为 6.(3)f (x)为奇函数, 整理原不等式得 f(ax2)+2f(-x)ax-2,即( ax-2)(x-1)0. 当 a=0 时, x( - ,1);当 a=2 时, x x|x1,且 xR;当 a2a或 x2 时, x .x|x1综上所述,当 a=0 时,原不等式的解集为( - ,1);当 a=2 时,原不等式的解集为 x|x1,且 xR;12当 a2a或 x2 时,原不等式的解集为 .x|x1
