1、1单元质检五 平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 6分,共 72分)1.(2018浙江,4)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是( )21-iA.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i答案 B解析 =1+i,21-i= 2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2 复数 的共轭复数为 1-i.21-i2.已知 O是 ABC所在平面内一点, D为边 BC的中点,且 2 =0,则( )OA+OB+OCA. =2 B. C. =3 D.2AOOD AO=OD AOOD AO=OD答案 B解析 由 2 =0,得 =-2
2、 =2 ,OA+OB+OC OB+OC OAAO即 =2 =2 ,所以 ,故选 B.OB+OCODAO OD=AO3.若非零向量 a,b满足 a(2a+b),且 a与 b的夹角为 ,则 = ( )23 |a|b|A. B. C. D.212 14 32答案 B解析 a(2a+b),且 a与 b的夹角为 ,23 a(2a+b)=2a2+ab=2|a|2- |a|b|=0.12又 |a|0, |b|0, 2|a|= |b|,12 ,故选 B.|a|b|=1424.已知菱形 ABCD的边长为 a, ABC=60,则 =( )BDCDA.- a2 B.- a2 C. a2 D. a232 34 34
3、32答案 D解析 如图,设 =a, =b,BA BC则 =( )BDCDBA+BC BA=(a+b)a=a2+ab=a2+aacos60=a2+ a2= a2.12 325.(2018河北衡水中学模拟)已知复数 z=a+ (aR,i 为虚数单位),若复数 z的共轭复数的虚部a+i3-i为 - ,则复数 z在复平面内对应的点位于( )12A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 A解析 由题意,得z=a+ =a+ ,a+i3-i (a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10 .z=13a-110-(a+3)i10又复数 z的共轭复数的虚部为 - ,
4、12- =- ,解得 a=2.a+310 12z= i,52+12 复数 z在复平面内对应的点位于第一象限 .36.已知向量 =(2,2), =(4,1),在 x轴上存在一点 P使 有最小值,则点 P的坐标是( )OA OB APBPA.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)答案 C解析 设点 P坐标为( x,0),则 =(x-2,-2), =(x-4,-1), =(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-AP BP APBP6x+10=(x-3)2+1.当 x=3时, 有最小值 1.APBP 点 P坐标为(3,0) .7.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c
5、=(3,4),若 为实数,(b + a)c,则 的值为( )A.- B.- C. D.311 113 12 35答案 A解析 由题意,得 b+ a=(1,0)+ (1,2)=(1+ ,2 ).因为 c=(3,4),(b+ a)c,所以(b + a)c=0,即(1 + ,2 )(3,4)=3+3+ 8= 0,解得 =- ,故选 A.3118.如图,在正方形 ABCD中, E为 BC的中点, F为 AE的中点,则 =( )DFA.-12AB+34ADB.12AB+23ADC.13AB-12ADD.12AB-34AD答案 D4解析 由题意,得 .DF=AF-AD,AE=AB+BEE 为 BC的中点,
6、 F为 AE的中点, .AF=12AE,BE=12BC )-DF=AF-AD=12AE-AD=12(AB+BEAD= .又 ,12AB+14BC-AD BC=AD .DF=12AB-34AD9.已知向量 a,b满足 |a|=1,|b|=2,且向量 a,b的夹角为 .若 a- b与 b垂直,则实数 的值为( )4A.- B. C.- D.12 12 24 24答案 D解析 因为 a- b与 b垂直,且 ab=12cos ,4= 2所以(a - b)b= -4= 0,解得 = ,故选 D.22410.已知向量 =(2,0),向量 =(2,2),向量 =( cos , sin ),则向量 与向量 的
7、夹角的OB OC CA 2 2 OA OB取值范围是( )A. B. C. D.0,4 4,512 512,2 12,512答案 D解析由题意,得 =(2+ cos ,2+ sin ),所以点 A的轨迹是圆( x-2)2+(y-2)2=2,OA=OC+CA 2 2如图,当 A为直线 OA与圆的切点时,向量 与向量 的夹角分别达到最大值和最小值,故选 D.OA OB511.(2018四川重庆二诊)已知向量 a,b满足 |a-b|=3,且 b=(0,-1).若向量 a在向量 b方向上的投影为 -2,则 |a|=( )A.2 B.2 C.4 D.123答案 A解析 由 |a-b|=3,得 |a-b|
8、2=(a-b)2=a2-2ab+b2=9,所以 ab= .|a|2+|b|2-92 =|a|2-82由向量 a在向量 b方向上的投影为 -2,得 =-2,ab|b|=|a|2-82即 |a|2=4,所以 |a|=2,故选 A.12.已知 | |=| |=2,点 C在线段 AB上,且 | |的最小值为 1,则 | -t |(tR)的最小值为( )OA OB OC OAOBA. B. C.2 D.2 3 5答案 B解析 依题意,可将点 A,B置于圆 x2+y2=4上;由点 C在线段 AB上,且 | |的最小值为 1,得原点 O到OC线段 AB的距离为 1, AOB=180-230=120,( -t
9、 )2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4OAOB+3的最小值为 3,因此 | -t |的最小值为 .(t+12)2 OAOB 3二、填空题(本大题共 4小题,每小题 7分,共 28分)13.已知 i为虚数单位,且复数 z满足 =2i,则 |z|= . (z-i)(1+i)2+i答案 17解析 由 =2i,得 z= +i=1+4i,(z-i)(1+i)2+i 2i(2+i)1+i所以 |z|= .12+42= 1714.在矩形 ABCD中, AB=2,BC=1,E为 BC的中点 .若 F为该矩形内(含边界)任意一点,则 的最大AEAF值为 . 6答案92解析以 A为坐标原点
10、, AB所在直线为 x轴, AD所在直线为 y轴,建立平面直角坐标系,则 E .(2,12)设 F(x,y),则 0 x2,0 y1,则 =2x+ y,AEAF12令 z=2x+ y,当 z=2x+ y过点(2,1)时, 取最大值 .12 12 AEAF 9215.若向量 a,b满足:a =(- ,1),(a+2b)a,(a +b)b,则 |b|= . 3答案 2解析 a=(- ,1),| a|=2.3 (a+2b)a,(a +b)b, (a+2b)a=0,(a+b)b=0,即 |a|2+2ab=0, |b|2+ab=0. 由 - 2,得 |a|2=2|b|2,则 |b|= .216.在平面直
11、角坐标系中,已知 A(1,0),B(0,-1),P是曲线 y= 上的一个动点,则 的取1-x2 BPBA值范围是 . 答案 0, +127解析 如图,画出函数 y= 的图象 .1-x2这是以 O(0,0)为圆心,以 1为半径的一个半圆 .不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆 .设 的夹角为 ,BP与 BA则 0,90 .当 0,45时,cos(45 - )= ,|BP|2当 45,90时,cos( - 45)= .|BP|2因为 y=cosx,xR 是偶函数,所以 | |=2cos(- 45), 0,90 .BP=| | |cos= 2 cos(- 45)cosBPBABPBA 2=2cos2+ 2sin cos= sin2+ cos2+ 1= sin(2+ 45)+1.2因为 0,90,所以 2+ 4545,225 .当 2+ 45=90,即 = 22.5时, 取最大值 +1,BPBA 2当 2+ 45=225,即 = 90时, 取最小值 0,BPBA所以 的取值范围是0, +1.BPBA 28
