1、1单元质检六 数列( A)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6小题,每小题 7分,共 42分)1.已知等差数列 an的前 n项和为 Sn,a6=15,S9=99,则等差数列 an的公差是( )A. B.4 C.-4 D.-314答案 B解析 数列 an是等差数列, a6=15,S9=99,a 1+a9=22, 2a5=22,a5=11. 公差 d=a6-a5=4.2.已知公比为 的等比数列 an的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a16=( )32A.4 B.5 C.6 D.7答案 B解析 由等比中项的性质,得 a3a11= =16.a27因为数列 an
2、各项都是正数,所以 a7=4.所以 a16=a7q9=32.所以 log2a16=5.3.在等差数列 an中,已知 a4=5,a3是 a2和 a6的等比中项,则数列 an的前 5项的和为( )A.15 B.20 C.25 D.15或 25答案 A解析 设 an的公差为 d. 在等差数列 an中, a4=5,a3是 a2和 a6的等比中项, 解得a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d), a1= -1,d=2, S 5=5a1+ d=5(-1)+54=15.故选 A.5424.已知等差数列 an和等比数列 bn满足 3a1- +3a15=0,且 a8=b10,则 b3b17=
3、( )a282A.9 B.12 C.16 D.36答案 D解析 由 3a1- +3a15=0,得 =3a1+3a15=3(a1+a15)=32a8,即 -6a8=0.a28 a28 a28因为 a8=b100,所以 a8=6,b10=6,所以 b3b17= =36.b2105.设公比为 q(q0)的等比数列 an的前 n项和为 Sn,若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 a1=( )A.-2 B.-1 C. D.12 23答案 B解析 S 2=3a2+2,S4=3a4+2,S 4-S2=3(a4-a2),即 a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q0,解得 q= ,代入 a1(1+q)
4、=3a1q+2,解得 a1=-1.326.已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数,当 x0 时, f(x)=x(1-x).若数列 an满足 a1= ,且 an+1=12,则 f(a11)= ( )11-anA.2 B.-2 C.6 D.-6答案 C解析 设 x0,则 -x0.因为 f(x)是定义在 R上的奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=-x(1+x)=x(1+x).由 a1= ,且 an+1= ,12 11-an得 a2= =2,11-a1= 11-12a3= =-1,11-a2= 11-2a4= ,11-a3= 11-(-1)=12所以数列 an是以 3为周期的周期数列,3即 a11
5、=a33+2=a2=2.所以 f(a11)=f(a2)=f(2)=2(1+2)=6.二、填空题(本大题共 2小题,每小题 7分,共 14分)7.(2018福建莆田质检)已知数列 an满足 a1=1,an-an+1=2anan+1,则 a6= . 答案111解析 由 an-an+1=2anan+1,得 =2,1an+1-1an即数列 是以 =1为首项,2 为公差的等差数列 .1an 1a1所以 +52=11,即 a6= .1a6=1a1 1118.已知等比数列 an满足 a2+8a5=0,设 Sn是数列 的前 n项和,则 = . 1an S5S2答案 -11解析 设 an的公比为 q.由 a2+
6、8a5=0,得 a1q+8a1q4=0,解得 q=- .易知 是等比数列,公比为 -2,首项为 ,12 1an 1a1所以 S2= =- ,S5= ,1a11-(-2)21-(-2) 1a11a11-(-2)51-(-2) =11a1所以 =-11.S5S2三、解答题(本大题共 3小题,共 44分)9.(14分)记 Sn为等差数列 an的前 n项和,已知 a1=-7,S3=-15.(1)求 an的通项公式;(2)求 Sn,并求 Sn的最小值 .解 (1)设 an的公差为 d,由题意得 3a1+3d=-15.由 a1=-7得 d=2.所以 an的通项公式为 an=2n-9.(2)由(1)得 Sn
7、=n2-8n=(n-4)2-16.所以当 n=4时, Sn取得最小值,最小值为 -16.410.(15分)已知数列 an满足 an=6- (nN *,n2) .9an-1(1)求证:数列 是等差数列;1an-3(2)若 a1=6,求数列lg an的前 999项的和 .(1)证明 (n2), 数列 是等差数列 .1an-3- 1an-1-3= an-13an-1-9- 1an-1-3=an-1-33an-1-9=13 1an-3(2)解 是等差数列,且 ,d= ,1an-3 1a1-3=13 13 (n-1)= .a n= .1an-3= 1a1-3+13 n3 3(n+1)n lgan=lg(
8、n+1)-lgn+lg3.设数列lg an的前 999项的和为 S,则 S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=3+999lg3.11.(15分)设数列 an满足 a1=2,an+1-an=322n-1.(1)求数列 an的通项公式;(2)令 bn=nan,求数列 bn的前 n项和 Sn.解 (1)由已知,当 n1 时,an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1.而 a1=2,所以数列 an的通项公式为 an=22n-1.(2)由 bn=nan=n22n-1知Sn=12+223+325+n22n-1. 从而 22Sn=123+225+327+n22n+1. - ,得(1 -22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1,即 Sn= (3n-1)22n+1+2.195
