1、1单元质检六 数列( B)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.已知等差数列 an的公差和首项都不等于 0,且 a2,a4,a8成等比数列,则 =( )a1+a5+a9a2+a3A.2 B.3 C.5 D.7答案 B解析 设 an的公差为 d.由题意,得 =a2a8,a24 (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),d 2=a1d.d 0, d=a 1, =3.a1+a5+a9a2+a3 =15a15a12.在单调递减的等比数列 an中,若 a3=1,a2+a4= ,则 a1=( )52A.2 B.4 C. D.22 2答案
2、 B解析 设 an的公比为 q.由已知,得 a1q2=1,a1q+a1q3= ,52 ,q2- q+1=0,q+q3q2 =52 52q= (q=2 舍去), a 1=4.123.(2018 河北唐山期末)在数列 an中, a1=1,an+1=2an,Sn为 an的前 n 项和 .若 Sn+ 为等比数列,则 = ( )A.-1 B.1 C.-2 D.2答案 B解析 由题意,得 an是等比数列,公比为 2,S n=2n-1,Sn+= 2n-1+. Sn+ 为等比数列, - 1+= 0,2= 1,故选 B.4.(2018 陕西西安八校联考)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S6S7S5,
3、则满足 SnSn+1S7S5, 6a1+ d7a1+ d5a1+ d,652 762 542a 70,S 13= =13a70,12(a1+a12)2 满足 SnSn+10,a 2n-1两边取以 2 为底的对数可得 log2(an+1)=log2(an-1+1)2=2log2(an-1+1),则数列log 2(an+1)是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,log 2(an+1)=2n-1,an= -1,22n-1又 an= +2an-1(n2),可得 an+1= +2an(nN *),a 2n-1 a2n两边取倒数可得1an+1= 1a2n+2an= 1an(an+2)= ,12(1an-
4、 1an+2)即 ,因此 bn= ,2an+1=1an- 1an+2 1an+1+ 1an+2=1an- 1an+14所以 Sn=b1+bn= =1- ,1a1- 1an+1 122n-1故答案为 1- .122n-1三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分)已知数列 an的前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且 ,an,Sn成等差数列 .12(1)求数列 an的通项公式;(2)数列 bn满足 bn=(log2a2n+1)(log2a2n+3),求数列 的前 n 项和 Tn.1bn解 (1) ,an,Sn成等差数列, 2an=Sn+ .12 12当 n=1 时,2 a1=S
5、1+ ,即 a1= ;12 12当 n2 时, an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 =2,anan-1故数列 an是首项为 ,公比为 2 的等比数列,即 an=2n-2.12(2)b n=(log2a2n+1)(log2a2n+3)=(log222n+1-2)(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1), .1bn= 12n-1 12n+1=12( 12n-1- 12n+1)T n=12(1-13)+(13-15)+( 12n-1- 12n+1)= .12(1- 12n+1)= n2n+110.(15 分)已知数列 an和 bn满足 a1=2,b1=1,2an+1=an,b1
6、 b2+ b3+ bn=bn+1-1.12 13 1n(1)求 an与 bn;(2)记数列 anbn的前 n 项和为 Tn,求 Tn.解 (1) 2an+1=an, an是公比为 的等比数列 .12又 a1=2,a n=2 .12n-1= 12n-2b 1+ b2+ b3+ bn=bn+1-1, 12 13 1n 当 n=1 时, b1=b2-1,故 b2=2.5当 n2 时, b1+ b2+ b3+ bn-1=bn-1, 12 13 1n-1- ,得 bn=bn+1-bn,得 ,故 bn=n.1n bn+1n+1=bnn(2)由(1)知 anbn=n .12n-2= n2n-2故 Tn=
7、 ,12-1+220 n2n-2则 Tn= + .12 120+221 n2n-1以上两式相减,得 Tn= + ,故 Tn=8- .12 12-1+120 12n-2- n2n-1=2(1-12n)1-12 - n2n-1 n+22n-211.(15 分)设 an是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 Sn(nN *),bn是等差数列 .已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求 an和 bn的通项公式;(2)设数列 Sn的前 n 项和为 Tn(nN *), 求 Tn; 证明 -2(nN *).nk=1(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2
8、n+2(1)解 设等比数列 an的公比为 q.由 a1=1,a3=a2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,可得 q=2,故 an=2n-1.设等差数列 bn的公差为 d.由 a4=b3+b5,可得 b1+3d=4.由 a5=b4+2b6,可得 3b1+13d=16,从而 b1=1,d=1,故 bn=n.所以,数列 an的通项公式为 an=2n-1,数列 bn的通项公式为 bn=n.(2) 解 由(1),有 Sn= =2n-1,1-2n1-2故 Tn= (2k-1)= 2k-n= -n=2n+1-n-2.nk=1 nk=1 2(1-2n)1-2 证明 因为 ,(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2) = k2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1所以, + -2.nk=1(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(233-222)+(244-233) (2n+2n+2-2n+1n+1)=2n+2n+26
