1、- 1 -江西省新余四中、上高二中 2019 届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 M= ，集合 N= ，(e 为自然对数的底数)则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ， ，故 考点：集合的运算2.若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 的共轭复数 为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ，得 ，则复数 z 的共轭复数 为 故选：B3.若 为偶函数，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分
2、析：因为 当 时， ，成立,所以排除 C，当 时，- 2 -不成立，排除 B、D,故选 A.考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的奇偶性.4. 现有 5 人参加抽奖活动，每人依次从装有 5 张奖票(其中 3 张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：将 张奖票不放回地依次取出共有 种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到 张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有 种取法，所以概率为 ，故选 C.考点：古典概型及其概率的计算.5.在等差数列 中，
3、 ，则数列 的前 11 项和 ( )A. 8 B. 16 C. 22 D. 44【答案】C【解析】【分析】本道题利用 ,得到 ,再利用 ,计算结果,即可得出答案.【详解】利用等差数列满足 ,代入 ,得到,解得,故选 C.【点睛】本道题考查了等差数列的性质,利用好 和 ,即可得出答案.6.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )- 3 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合三视图,还原直观图,计算体积,即可得出答案.【详解】根据几何体的三视图得该几何体是四棱锥 M-PSQN 且四棱锥是棱长为 2 的正方体的一部分,直观图如图所示,由正方体的性质得,所以该四棱锥的体积为
4、:,故 A 正确.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,题目难度中等,可以借助立方体,进行实物图还原.7.已知函数 （ ， ）,其图像与直线 相邻两个交点的距离为,若 对于任意的 恒成立, 则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数的周期为 =，求得 =2再根据当 x（ ， ）时，sin（2x+）- 4 -0 恒成立，2k2（ ）+2 +2k+，由此求得 的取值范围【详解】函数 f(x)=2sin(x+)+1 ,其图象与直线 y=-1 相邻两个交点的距离为,故函数的周期为 =,所以 =2,于是 f(x)=2sin(2x+)+1.若 f(x)1 对 x
5、 恒成立 ,即当 x 时,sin(2 x+ )0 恒成立,则有 2k2 +2 +2k+,求得 2k+ 2k+ ,kZ,又| ,所以 .故答案为：D【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、值域，函数的恒成立问题，属于中档题对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数的单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.8.已知抛物线 上有三点 ， 的斜率分别为 3，6， ，则 的重心坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设 ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即
6、可得解.【详解】设 则 ，得 ，同理 ， ，三式相加得 ，故与前三式联立，得 ， ， ，- 5 -则 .故所求重心的坐标为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.9.已知函数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分析函数的性质，知函数为奇函数，且在定义域内单调递减，所以 可变形为： ，进而得 ，整理得：，利用几何意义可知满足条件的 表示的区域是圆 的内部（含边界） ，从而列不等式求解即可.【详解】易知函数的定义域为 R，由题意， ，可得 为奇函数，又
7、 是 上的减函数，故 ，所以满足条件的 表示的区域是圆 的内部（含边界） ，则点 到直线 的距离 ，所以 的取值范围是 ，故选 B.【点睛】本题考查函数性质与解析几何中直线与圆位置关系知识点的结合.10.在平面直角坐标系 中，已知两圆 ： 和 ： ，又 点坐标为 ，是 上的动点， 为 上的动点，则四边形 能构成矩形的个数为（ ）A. 0 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无数个- 6 -【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形 AMQN 能构成矩形的个数为无数个【详解】如图所示，任取圆 C2上一点 Q，以 AQ 为直径画圆，交圆 C1与 M、N 两点，则由圆
8、的对称性知，MN=AQ，且AMQ=ANQ=90，四边形 AMQN 是矩形，由作图知，四边形 AMQN 能构成无数个矩形故答案为：D.【点睛】(1)本题主要考查圆和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是“以 AQ 为直径画圆，交圆 C1与 M、N 两点” ，这样可以得到无数个矩形.11.如图所示,圆形纸片的圆心为 ,半径为 , 该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 ., ,G,H 为圆 上的点, 分别是以 , , , 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别以 , , ,DA 为折痕折起 使得 , ,G,H重合,得到四棱锥. 当正方形 ABCD 的边
9、长变化时，所得四棱锥体积(单位： )的最大值为( )- 7 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本道题先用 a 表示四棱锥的体积，构造新函数 ，求导，结合导函数与原函数的单调性，计算原函数的极值，即可得出答案。【详解】图形合并以后就是上图所示,则则 ,故四棱锥的体积为 .构造函数 ,求导,得到判定 ,故 在 递增,在其他区间递减;故当 , 取得最大值,也就是 取得最大值,将 代入,得到 ,故选 D.【点睛】本道题考查了利用导数判定原函数的单调性，先用 a 表示体积，然后结合导数与原函数的单调性，判定并计算极值，即可。- 8 -12.定义在 上函数 满足 ，且对任意的不相等的实数
10、 有成立，若关于 x 的不等式 在 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合题意可知 是偶函数,且在 单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数 ,计算最值,即可.【详解】结合题意可知 为偶函数,且在 单调递减,故可以转换为对应于 恒成立,即即 对 恒成立即 对 恒成立令 ,则 上递增,在 上递减,所以令 ,在 上递减所以 .故 ,故选 B.【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.二、填空题：本题共 4 题，每小题 5
11、 分，共 20 分13.已知向量 夹角为 ，且 ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】- 9 -对 两边平方,代入已知条件,解方程,即可得出答案.【详解】 ,解得【点睛】本道题考查了向量模长计算公式,对向量模长,化简时往往两边平方,即可得出答案.14.已知锐角三角形 中, 角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ,则的取值范围是_【答案】【解析】ca=2acosB，由正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB+sinA，可得：cosAsinBsinAcosB=sinA，即：sin（BA）=sinA，A，B 为锐角，可得：BA=
12、A，可得：B=2A（0， ） ，A（0， ） ，又C=3A（0， ） ，可得：A（ ， ） ，综上，可得 A（ ， ） ，可得：sinA（ ， ） ， =sinA（ ， ） 故答案为： .15.已知数列 满足 ，数列 是公比为 2 的等比数列，则_.【答案】【解析】- 10 -【分析】结合题意,计算出通项 ,然后利用消元法,计算 ,然后利用等比数列求和公式,计算结果,即可得出答案.【详解】由题可知, ,则 所以故 所以原式【点睛】本题主要考查了等比数列.对计算 可以考虑运用消元法进行解答.16.设函数 ,若函数 有 6 个不同的零点,则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】本道题一开始
13、结合导数，计算 的范围，然后运用换元思想，将函数问题转化成方程根问题，得到 ，运用对勾函数的性质，计算出 a 的范围，即可。【详解】已知函数 对其求导得,令 求得当 时, ,即函数 在 上单调递增,且 恒成立当 时, 函数 在 上单调递减当 时, 函数 在 上单调递增,故,又因为在 上,存在 x 使得- 11 -，所以当直线 与 有三个交点时，由题意知， 有 6 个不等的实数根，设则关于 t 的方程 有两个不等的实数根 ，且即 在 内有 2 个不等的实数根由于 当 时，等式成立当 时， ，故 a 的范围为【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,本题亮点在于将函数问题和方程根问题联系起来，
14、进一步计算出 a 的范围，属于难度较大的题型。三、解答题：(本大题共 6 小题共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.如图， 是等边三角形， 是 边上的动点（含端点） ，记 , .（1）求 的最大值；（2）若 ，求 的面积.【答案】(1)当 ，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值 ;(2) .【解析】【分析】（1）由题意可得 =+ ，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值。（2）根据三角函数差角公式求得 sin，再由正弦定理，求得 AB 的长度；进而求得三角形面积。- 12 -【详解】 （1）由ABC 是等边三角形，得 ，0 ，故 2cos cos =2c
15、os cos sin ，故当 ，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值（2）由 cos ，得 sin ，故 sin sin sin cos cos sin ，由正弦定理 ，故 AB BD 1 ，故 SABD ABBDsin B【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题。18.如图,三棱柱 的所有棱长均为 ,底面 侧面 , 为的中点, .(1)证明： 平面 .(2)若 是棱 上一点,且满足 ,求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1） ）取 的中点 ，连接 ，易证 为平行四边形，从而 .由底面 侧面 ，可得 侧
16、面 ，即 ，又侧面 为菱形，所以 ，从而 平面 ，可证得 AB1A 1P（2）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .利用向量法求解- 13 -试题解析;（1）取 的中点 ，连接 ，易证 为平行四边形，从而 .由底面 侧面 ，底面 侧面 ， ， 底面 ，所以侧面 ，即 侧面 ，又 侧面 ，所以 ，又侧面为菱形，所以 ，从而 平面 ，因为 平面 ，所以.（2）由（1）知， ， ， ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .因为侧面 是边长为 2 的菱形，且 ，所以 ， ， ， ， ，得 .设 ，得，所以 ，所以 .而.所以，解得 .所以 ， ，.设平面 的法向量 ，由 得 ，取 .而侧面
17、 的一个法向量 .设二面角 的大小为 .则19.某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续 5 天的售出和收益情况，如下表：- 14 -售出水量 x（单位：箱） 7 6 6 5 6收益 y（单位：元） 165 142 148 125 150() 若 x 与 y 成线性相关，则某天售出 8 箱水时，预计收益为多少元？() 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前 200 名，获一等奖学金 500 元；考入年级 201500 名，获二
18、等奖学金 300 元；考入年级 501 名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ，获二等奖学金的概率均为 ，不获得奖学金的概率均为 .在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额 X 的分布列及数学期望。附： ， 。【答案】 （）186 元；（） （1） ；（2）分布列见解析，期望为 600.【解析】试题分析：()由题意可求得回归方程为 ，据此预测售出 8 箱水时，预计收益为 186 元；() (1)由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是 ；(2) 由题意可得 X 的取
19、值可能为 0，300，500，600，800，1000，据此求得分布列，然后计算可得数学期望为 600. 试题解析：- 15 -，当 时，即某天售出 8 箱水的预计收益是 186 元。() 设事件 A 为“学生甲获得奖学金” ，事件 B 为“学生甲获得一等奖学金” ，则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为 X 的取值可能为 0，300，500，600，800，1000， ， ， 即 的分布列为：（元）20.设常数 在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ： ，曲线 ： 与 轴交于点 、与 交于点 、 分别是曲线 与线段 上的动点- 16 -（1）用 表示点 到点 距离；（2）设 ，
20、 ，线段 的中点在直线 ，求 的面积；（3）设 ，是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析.【解析】【分析】（1）方法一：设 B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得直线 PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得AQP 的面积；（3）设 P 及 E 点坐标，根据直线 kPFkFQ=1，求得直线 QF 的方程，求得 Q 点坐标，根据+ = ，求得 E 点
21、坐标，则（ ） 2=8（ +6） ，即可求得 P 点坐标【详解】 （1）方法一：由题意可知：设 ，则 ， ；方法二：由题意可知：设 ，由抛物线的性质可知： ， ；（2） ， ， ，则 ， ， ，设 的中点 ，- 17 -，则直线 方程： ，联立 ，整理得： ，解得： ， （舍去） ， 的面积 ；（3）存在，设 ， ，则 ， ，直线 方程为 ， ， ，根据 ，则 ， ，解得： ，存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上，且 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题21.已知函数 .- 18 -（I）讨论函数的单调性,并证明当 时， ;（）证明：当
22、 时，函数 有最小值，设 最小值为 ，求函数 的值域.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根据函数单调递增得 ，即得不等式， （2）利用（1）结论可得函数 的导数在区间 内单调递增，根据零点存在定理可得 有一唯一零点且 从而可得 在 处取最小值，利用 化简 ，得最后再利用导数研究函数 单调性，即得函数 的值域.试题解析：（1）由 得故 在 上单调递增， 当 时，由上知 ，即 ，即 ，得证. （2）对 求导，得 ， 记 ， 由（）知，函数 区间 内单调递增， 又 ， ，所以存在唯一正实数 ，使得 于是，当 时， ， ，
23、函数 在区间 内单调递减；- 19 -当 时， ， ，函数 在区间 内单调递增所以 在 内有最小值 ， 由题设即 又因为 所以 根据（）知， 在 内单调递增， ，所以 令 ，则 ，函数 在区间 内单调递增，所以 ，即函数 的值域为 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系 的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线 的参数方程为 ,圆 的极坐标方程为 .（1）求直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程；（2）设曲线 与直线 交于 两点,若 点的直角坐标为 ,求 的值.【答案
24、】 （1）直线 的普通方程为： ，C 的直角坐标方程为 ；（2） 【解析】试题分析：（1）消去参数 可得直线的普通方程，由公式 可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）直线 的参数方程是过 点的标准参数方程，因此把直线 参数方程代入圆 的直角坐标方程，方程的解 ，则 ，由韦达定理可得- 20 -试题解析：（1）直线 的普通方程为： ，所以 所以曲线 C 的直角坐标方程为 （或写成 ） .（2）点 P（2，1）在直线 上，且在圆 C 内，把 代入 ,得,设两个实根为 ,则 ，即 异号.所以 .考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用23.已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若不等式 的解集为 ， ，且满足 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（）通过讨论 x 的范围得到关于 x 的不等式组，解出即可；（）求出 B，根据集合的包含关系求出 a 的范围即可.详解：(1) 可化为，或 ，或 ，或 ，或 ； 不等式的解集为 ；(2)易知 ；所以 ，所以 在 恒成立；在 恒成立； 在 恒成立；详解：本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题目，解含有绝对值的不等式，一般是零点分区间去掉绝对值，分段解不等式.- 21 - 22 -
