1、- 1 -2018-2019 学年高一下学期月考一试卷数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分。第卷共 2 页，第卷共 2页。共 150 分。考试时间 120 分钟。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1已知ABC 中，a= ，b= ，B=60，那么角 A 等于A135 B90 C45 D302已知数列3，7，11，15，则下列选项能表示数列的一个通项公式的是Aa n=4n7 Ba n=（1） n（4n+1）Ca n=（1） n（4n1） Da n=（1） n+1（4n1）3在ABC 中，b=17，c=24，B=45，则此三角形
2、解的情况是A一解 B两解 C一解或两解 D无解4数列a n的通项公式为 an=3n228n，则数列a n各项中最小项是A第 4 项 B第 5 项 C第 6 项 D第 7 项5在等差数列中，a 9=3，则此数列前 17 项和等于A51 B34 C102 D不能确定6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a 2+c2b 2）tanB= ac，则角 B 的值为A B C 或 D 或7数列a n满足 a1=3，a 2=6，a n+2=an+1a n（nN *） ，则 a1000=A3 B6 C3 D68设ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcosC+cc
3、osB=asinA，则ABC 的形状为（ ）A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰直角三角形9设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，若 ，则 =- 2 -A1 B1 C2 D10已知ABC 中，a=1，B=45，ABC 的面积为 2，则三角形外接圆的半径为A B C D11若数列a n是等差数列，首项 a10，a 2003+a20040，a 2003a 20040，则使前 n 项和Sn0 成立的最大自然数 n 是A4005 B4006 C4007 D400812ABC 中，边长 a、b 是方程 的两根，且 2cos（A+B）=1 则边长 c 等于（ ）A B C2 D第卷（非选择题
4、共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13在ABC 中， （b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则 = 14定义“等和数列”：在一个数列中，如果任意相邻两项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做数列的公和，已知数列a n是等和数列，S n是其前 n 项和，且 a1=2，公和为 5，则 S9= 15如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC= ，AB=3 ，AD=3，则 BD 的长为 16设 Sn是等比数列a n的前 n 项和，S 4=5S2，则此数列的公比 q= 三、解答题（本大题共 6 个小题，
5、共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsinA（）求 B 的大小；（）若 ，c=5，求 b- 3 -18 （本小题满分 12 分）已知在等差数列a n中，a 3=5，a 1+a19=18（1）求公差 d 及通项 an（2）求数列 a n的前 n 项和 Sn及使得 Sn的值取最大时 n 的值19 （本小题满分 12 分）已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c且 = （I） 求 的值；（II）若 cosB= ，b=2，求ABC 的面积 S20 （本小题满分
6、 12 分）已知数列a n满足 a1=1，a n+1= ， （nN *）（1）证明数列 是等差数列，并求出通项 an（2）若 a 1a2+a2a3+a3a4+an1 an ，求 n 的值21 （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinA=（ bc）sinB+（ cb）sinC（1）求角 A 的大小；（2）若 a= ，cosB= ，D 为 AC 的中点，求 BD 的长- 4 -22 （本小题满分 12 分）已知数列 ， 是其前 项和，且满足 naSn *32()nnaSN（1）求证：数列 为等比数列；12n（2）记 ，求 的表达式1nnTSS
7、nT- 5 -高一（下）月考数学试卷参考答案与试题解析CCBBA DCCAB BD一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1已知ABC 中，a= ，b= ，B=60，那么角 A 等于（ ）A135 B90 C45 D30【考点】HQ：正弦定理的应用【分析】先根据正弦定理 将题中所给数值代入求出 sinA 的值，进而求出 A，再由 ab 确定 A、B 的关系，进而可得答案【解答】解析：由正弦定理得： ，A=45或 135abABA=45故选 C2已知数列3，7，11，15，则下列选项能表示数列的一个通项公式的是（ ）Aa n=4n7 Ba n=（1） n（4n+1）Ca n=
8、（1） n（4n1） Da n=（1） n+1（4n1）【考点】82：数列的函数特性【分析】对通项的符号与绝对值分别考虑即可得出【解答】解：设此数列为a n则第 n 项的符号为（1） n，其绝对值为：3，7，11，15，为等差数列，|an|=3+4（n1）=4n1a n=（1） n（4n1） 故选：C3在ABC 中，b=17，c=24，B=45，则此三角形解的情况是（ ）A一解 B两解 C一解或两解 D无解- 6 -【考点】HX：解三角形【分析】由 csinBb，即可得出解的情况【解答】解：过点 A 作 ADBD点 D 在B 的一条边上，h=csinB=12 17=b=AC，因此此三角形两解故
9、选：B4数列a n的通项公式为 an=3n228n，则数列a n各项中最小项是（ ）A第 4 项 B第 5 项 C第 6 项 D第 7 项【考点】85：等差数列的前 n 项和；82：数列的函数特性【分析】设 an为数列的最小项，则 ，解不等式组可得 n 的范围，进而可得答案【解答】解：设 an为数列的最小项，则 ，代入数据可得 ，解之可得 n ，故 n 唯一可取的值为 5故选 B5在等差数列中，a 9=3，则此数列前 17 项和等于（ ）A51 B34 C102 D不能确定【考点】8E：数列的求和【分析】由等差数列a n的性质可得：a 1+a17=2a9=6，再利用前 n 项和公式即可得出【解
10、答】解：由等差数列a n，a 9=3，a 1+a17=2a9=6，- 7 -此数列前 17 项的和 S17= =173=51故选：A6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a 2+c2b 2）tanB= ac，则角 B 的值为（ ）A B C 或 D 或【考点】HS：余弦定理的应用【分析】通过余弦定理及 ，求的 sinB 的值，又因在三角形内，进而求出 B【解答】解：由 ，即 ，又在中所以 B 为 或故选 D7数列a n满足 a1=3，a 2=6，a n+2=an+1a n（nN *） ，则 a1000=（ ）A3 B6 C3 D6【考点】8H：数列递推式【分析】由已知可
11、得：a n+6=an即可得出【解答】解：a 1=3，a 2=6，a n+2=an+1a n（nN *） ，a 3=63=3，a 4=36=3，a 5=6，a 6=3，a 7=3，a 8=6，a n+6=an则 a1000=a1666+4=a4=3故选：C8设ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcosC+ccosB=asinA，则ABC 的形状为（ ）- 8 -A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰直角三角形【考点】HP：正弦定理【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得 sinA的值进而求得 A，判断出三角形的形状【解答】解：b
12、cosC+ccosB=asinA，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin 2A，sinA0，sinA=1，A= ，故三角形为直角三角形，故选：C9设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，若 ，则 =（ ）A1 B1 C2 D【考点】8F：等差数列的性质【分析】利用 ，求出 13（a 1+6d）=7（a 1+3d） ，利用 = ，可得结论【解答】解： ，13（a 1+6d）=7（a 1+3d） ，d= a1， = =1，故选 A10已知ABC 中，a=1，B=45，ABC 的面积为 2，则三角形外接圆的半径为（ ）A B C D- 9 -【考点】HP：正弦定理【分
13、析】利用三角形面积计算公式可得：c利用余弦定理可得 b再利用正弦定理即可得出三角形外接圆的半径【解答】解：由题意可得： ，解得 c=4 b 2=1+ 24 cos45=25，b=5三角形外接圆的半径= = = 故选：B11若数列a n是等差数列，首项 a10，a 2003+a20040，a 2003a 20040，则使前 n 项和Sn0 成立的最大自然数 n 是（ ）A4005 B4006 C4007 D4008【考点】84：等差数列的通项公式【分析】对于首项大于零的递减的等差数列，第 2003 项与 2004 项的和大于零，积小于零，说明第 2003 项大于零且 2004 项小于零，且 20
14、03 项的绝对值比 2004 项的要大，由等差数列前 n 项和公式可判断结论【解答】解：解法 1：由 a2003+a20040，a 2003a20040，知 a2003和 a2004两项中有一正数一负数，又 a10，则公差为负数，否则各项总为正数，故 a2003a 2004，即 a20030，a 20040S 4006= = 0，S 4007= （a 1+a4007）=4007a 20040，故 4006 为 Sn0 的最大自然数选 B解法 2：由 a10，a 2003+a20040，a 2003a20040，同解法 1 的分析得 a20030，a 20040，- 10 -S 2003为 Sn
15、中的最大值S n是关于 n 的二次函数，如草图所示，2003 到对称轴的距离比 2004 到对称轴的距离小， 在对称轴的右侧根据已知条件及图象的对称性可得 4006 在图象中右侧零点 B 的左侧，4007，4008 都在其右侧，S n0 的最大自然数是 400612ABC 中，边长 a、b 是方程 的两根，且 2cos（A+B）=1 则边长 c 等于（ ）A B C2 D【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】由已知可得 cos= ，结合三角形的内角和 A+B+C= 及诱导公式可知 cosC= ，根据方程的根与系数的关系，利用余弦定理，代入已知可求 c【解答】解：在ABC 中，2cos（A+B
16、）=1，A+B+C=180，2cos=1，cos= 即 cosC= ，a，b 是方程 的两个根，a+b=2 ，ab=2，由余弦定理可知 c= = = ，故选 D- 11 -二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13在ABC 中， （b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则 = 2 【考点】HP：正弦定理【分析】由已知，设： ，xR，解得： ，利用正弦定理即可计算得解【解答】解：（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，可设： ，xR，解得： ， = = =2故答案为：214定义“等和数列”：在一个数列中，如果任意相邻两项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫
17、做等和数列，这个常数叫做数列的公和，已知数列a n是等和数列，S n是其前 n 项和，且 a1=2，公和为 5，则 S9= 22 【考点】8B：数列的应用【分析】由新定义得到 an+an+1=5 对一切 nN *恒成立，进一步得到数列的通项公式，则答案可求【解答】解：根据定义和条件知，a n+an+1=5 对一切 nN *恒成立，a 1=2，a n= S 9=4（a 2+a3）+a 1=22故答案为：2215如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC= ，AB=3 ，AD=3，求 BD 的长- 12 -【考点】HR：余弦定理【分析】由条件利用诱导公式求得 cosBA
18、D= ，再利用余弦定理求得 BD 的长【解答】解：在ABC 中，ADAC，sinBAC= ，AB=3 ，AD=3，sinBAC=sin（ +BAD）=cosBAD= 再由余弦定理可得 BD 2=AB2+AD22ABADcosBAD=18+918 =3，故 BD= 16设 Sn是等比数列a n的前 n 项和，S 4=5S2，则此数列的公比 q=【考点】89：等比数列的前 n 项和【分析】对 q 分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：q=1 时不满足条件，舍去q1 时，S 4=5S2，则 = ，1q 4=5（1q 2） ，（q 21） （q 24）=0，q1，解得 q=1，或2三、解
19、答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsinA（）求 B 的大小；（）若 ，c=5，求 b【考点】HQ：正弦定理的应用；HS：余弦定理的应用【分析】 （1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角 B 的正弦值，再由ABC 为锐角三角形可得答案（2）根据（1）中所求角 B 的值，和余弦定理直接可求 b 的值【解答】解：（）由 a=2bsinA，- 13 -根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA，所以 ，由ABC 为锐角三角形得 （）根据余弦定理，得 b2=
20、a2+c22accosB=27+2545=7所以， 18已知在等差数列a n中，a 3=5，a 1+a19=18（1）求公差 d 及通项 an（2）求数列 a n的前 n 项和 Sn及使得 Sn的值取最大时 n 的值【考点】85：等差数列的前 n 项和【分析】 （1）利用等差数列a n通项公式列出方程组，求出首项、公差，由此能求出公差 d及通项 an（2）利用通项公式前 n 项和公式求出数列的前 n 项和，再由配方法能求出使得 Sn的值取最大时 n 的值【解答】解：（1）等差数列a n中，a 3=5，a 1+a19=18，a 3=5，a 1+a19=18， ， ，a n=112n（2） =（n
21、5） 2+25，n=5 时，S n最大19已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c且 = （I）求 的值；（II）若 cosB= ，b=2，求ABC 的面积 S【考点】HX：解三角形；GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】 （）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得 sinC 和 sinA的关系式，则 的值可得（）先通过余弦定理可求得 a 和 c 的关系式，同时利用（）中的结论和正弦定理求得 a- 14 -和 c 的另一关系式，最后联立求得 a 和 c，利用三角形面积公式即可求得答案【解答】解：（）由正弦定理设则 = = =整理求得 sin（A+B）=2s
22、in（B+C）又 A+B+C=sinC=2sinA，即 =2（）由余弦定理可知 cosB= = 由（）可知 = =2再由 b=2，联立求得 c=2，a=1sinB= =S= acsinB=20已知数列a n满足 a1=1，a n+1= ， （nN *）（1）证明数列 是等差数列，并求出通项 an（2）若 a 1a2+a2a3+a3a4+an1 an ，求 n 的值【考点】8K：数列与不等式的综合；8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】 （1）利用数列的递推关系式，转化推出数列 是等差数列，然后求解通项公式即可（2）利用裂项消项法求出数列的和，然后求解不等式即可得到结果【解答】解： ，数列
23、是等差数列，- 15 - （2）= ，21在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinA=（ bc）sinB+（ cb）sinC（1）求角 A 的大小；（2）若 a= ，cosB= ，D 为 AC 的中点，求 BD 的长【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理【分析】 （I）由已知，利用正弦定理可得 a2=（ bc）b+（ cb）c，化简可得 2bc=（b 2+c2a 2） ，再利用余弦定理即可得出 cosA，结合 A 的范围即可得解 A 的值（）ABC 中，先由正弦定理求得 AC 的值，再由余弦定理求得 AB 的值，ABD 中，由余弦定理求得 BD 的值【解答】解：（
24、I） ，由正弦定理可得： a2=（ bc）b+（ cb）c，即 2bc= （b 2+c2a 2） ，由余弦定理可得：cosA= = ，A（0，） ，A= （）由 cosB= ，可得 sinB= ，再由正弦定理可得 ，即 ，得 b=AC=2ABC 中，由余弦定理可得 BC2=AB2+AC22ABACcosA，- 16 -即 10=AB2+42AB2 ，求得 AB=32ABD 中，由余弦定理可得 BD2=AB2+AD22ABADcosA=18+16 =13，BD= 22已知数列 na， S是其前 n项和，且满足 *32()naSN（1）求证：数列 12为等比数列；（2）记 1nnT ，求 T的表达式（1）证明： 时， 1132aSa，所以 1当 2n时，由 n，得 13aS，-得 112nnnS12()2nnSa，即 ，所以 33aa，又 1302a，所以 n是首项为 2，公比为 3 的等比数列（2）由（1）得 1nn，即 13na，将其代入得(2)4S，所以 1+nnTS23()4 1(5723)4n (13)(4)4n9(1)8n- 17 -
