1、1第 7 讲 不等式的恒成立与存在性问题1.(2017 镇江高三期末)已知函数 f(x)=x2-kx+4,对任意 x1,3,不等式 f(x)0 恒成立,则实数 k 的最大值为 . 2.若对任意 x(0,+),y(0,+),(m-1)x+my2 恒成立,则实数 m 的最小值为 . 2xy3.(2018 江苏海安高级中学高三上学期阶段测试)已知不等式(ax+3)(x 2-b)0 对任意 x(0,+)恒成立,其中 a,b 是整数,则 a+b 的取值集合为 . 4.(2018 徐州铜山高三第三次模拟)当 00,关于 x 的不等式 NN,M-Na3x-2xb3x+2x的最小值为 1,则 的最小值为 .
2、ab6.(2018 江苏海安高级中学阶段检测)记数列a n的前 n 项和为 Sn,若不等式 + m 对任意等差数列a2nS2nn2 a21an及任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 . 7.已知函数 f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若xR,f(x)0 恒成立 ,求实数 a 的取值范围;(2)若x-1,1,f(x)0 恒成立 ,求实数 a 的取值范围;(3)若 x-1,1,f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围.8.对于定义在区间 D 上的函数 f(x),若存在正整数 k,使不等式 0,y0)时等号成立,m2,即 m 的最小值为 2.3.答案 -2,8解析 当 b0 时,由(
3、ax+3)(x 2-b)0 得到 ax+30 在 x(0,+)上恒成立,则 a 不存在;当 b0 时,由(ax+3)(x 2-b)0,可设 f(x)=ax+3,g(x)=x2-b,又函数 f(x)、g(x)的大致图象如图所示,那么由题意可知:再由 a,b 是整数得到a0 可得 log2a3x-4x 2-x,即 x2-(3log2a+1)x+4log2a0 在 R 上有解,则2x2-x=(3log 2a+1)2-16log2a0,解得 log2a 或 log2a1,则 00 在(0,1)上恒成立,所以 f(x)在(0,1)上单调递增.f(0)a3x-2xb3x+2x (a+b)6xln32(b3
4、x+2x)2= ,f(1)= ,a-1b+1 3a-23b+2f(x)在(0,1)上的值域为 .(a-1b+1,3a-23b+2)N1 时,f(x)在 x-1,1上单调递增,则f(x)min=f(-1)=3-3a0,a1,舍去;当-1a1 时,f(x) min=f(-a)=-a2-a+20,-2a1,则-1a1;当 a(13|x|) max=13,所以 a 取值范围为 ,1 .13(2)g(x)是 D(2)型函数.证明如下:先证明 g(x)h(2)= 1,所以 1,8e2 x2+x+2ex即 ex-x2-x .12记 r(x)= ,00,当 x0 ,只要证 r(x)1 时,有 lnx1,所以 p(x)= - - =- .12 1x0 2 1+ 32 2 12由得 g(x)2,结论获证.12
