1、1第 20 讲 数列的综合应用1.(2018 江苏淮阴中学高三阶段考试)正项等比数列a n中,a 1= ,a3+a5=10,则 log2a1+log2a2+log2a10= 12. 2.(2018 江苏常州模拟)各项均为正数的等比数列a n中,若 a2a3a4=a2+a3+a4,则 a3的最小值为 . 3.(2018 江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知ABC 的三边长成公比为 的等比数列,则ABC 最2大角的余弦值为 . 4.(2017 江苏盐城模拟)已知数列a n满足 an= (kN *),若 a1=1,则 S20= 2an-1-2,n=2k+1,an-1+1,n=2k . 5.(201
2、8 徐州铜山高三第三次模拟)设 Sn是等比数列a n的前 n 项和,S 3,S9,S6成等差数列,且 a2+a5=2am,则 m= . 6.(2018 江苏盐城高三(上)期中)设数列a n共有 4 项,满足 a1a2a3a40,若对任意的 i,j(1ij4,且i,jN *),ai-aj仍是数列a n中的某一项.现有下列命题:数列a n一定是等差数列;存在 1ik)恒成立,则称数列a n是“R(k)数列”.(1)已知 an= 判断数列a n是不是“R(2)数列”,并说明理由;2n-1,n为奇数,2n,n为偶数, (2)已知数列b n是“R(3)数列”,且存在整数 p(p1),使得 b3p-3,b
3、3p-1,b3p+1,b3p+3成等差数列,证明:b n是等差数列.2答案精解精析1.答案 35解析 设正项等比数列a n的公比为 q,q0,则 a3+a5= q2+ q4=10,q=2,an= 2n-1=2n-2,log2an=n-2,则12 12 12log2a1+log2a2+log2a10=-1+0+1+8= =35.10722.答案 3解析 a 2a3a4=a2+a3+a4, = +a3+a3q, = +q+13,a 30,则 a3 ,当且仅当 q=1 时取等号,则 a3的最小a33a3q a231q 3值为 .33.答案 -24解析 设三角形的三边长为 ,a, a,则最大角的余弦值
4、为 =- .a2 2 a22+a2-2a22a22 244.答案 2056解析 a 1=1,a2=2,a3=2,a4=3,a5=4,a6=5,奇数项是等比数列,偶数项比前面相邻的奇数项多 1,则S20=2S 奇 +10= 2+10=2056.1-2101-25.答案 8解析 设等比数列a n的公比为 q,由 S3,S9,S6成等差数列,得 S3+S6=2S9,则(a 1+a2+a3)(2+q3)=2(a1+a2+a3)(1+q3+q6),a1+a2+a30,则 2+q3=2+2q3+2q6,q3=- ,则 a2+a5=a2+a2q3= a2=2am=2a2qm-12 122, = , =2,m
5、=8.14(-12)m-23 m-236.答案 解析 根据题意:对任意 i,j(1ij4),有 ai-aj仍是该数列的某一项,令 i=j,则 0 为数列的某一项,即 a4=0,则 a3-a4=a3a n,a30.必有 a2-a3=a3,即 a2=2a3,而 a1-a2=a2或 a3,若 a1-a2=a2,则 a1=4a3,a1-a3=3a3,而 3a3a 2,a3,a4,舍去;若 a1-a2=a3a n,此时 a1=3a3,可得数列a n为 3a3,2a3,a3,0(a30).据此分析选项:易得正确.7.解析 (1)当 n 为奇数时,a n+1-an=2(n+1)-(2n-1)=30,所以 a
6、n+1a n.an-2+an+2=2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an;当 n 为偶数时,a n+1-an=2(n+1)-1-2n=10,所以 an+1a n.3an-2+an+2=2(n-2)+2(n+2)=4n=2an.所以,数列a n是“R(2)数列”.(2)证明:由题意可得 bn-3+bn+3=2bn,则数列 b1,b4,b7,是等差数列,设其公差为 d1,数列 b2,b5,b8,是等差数列,设其公差为 d2,数列 b3,b6,b9,是等差数列,设其公差为 d3.因为 bnb n+1,所以 b3n+1b 3n+2b 3n+4,所以 b1+nd1b 2+nd2b 1
7、+(n+1)d1,所以 n(d2-d1)b 1-b2,n(d 2-d1)b 1-b2+d1.若 d2-d1 时,不成立;b1-b2d2-d1若 d2-d10,则 n 时,不成立;b1-b2+d1d2-d1若 d2-d1=0,则和都成立,所以 d1=d2.同理得:d 1=d3,所以 d1=d2=d3,记 d1=d2=d3=d.设 b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=,则 b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-b3p+1+(n-p-1)d=b3p-1-b3p+1+d=d-.同理可得:b 3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-,所以 bn+1-bn=d-,所以b n是等差数列.
