1、第6讲 基本不等式,第6讲 基本不等式 1.已知正实数x,y满足(x-1)(y+1)=16,则x+y的最小值为 .,答案 8,解析 由题意可得y= -10,所以1x17,所以x+y=(x-1)+ 8,当且仅当 x=5时取等号,所以x+y的最小值为8.,2.若实数x,y满足x2+y2=2(x+y),则x+y的最大值是 .,答案 4,解析 因为x2+y2=(x+y)2-2xy=2(x+y),所以(x+y)2-2(x+y)=2xy ,即 (x+y)2- 2(x+y)0,所以0x+y4,故x+y的最大值是4.,3.设x0,则y=3-3x- 的最小值为 .,答案 3+4,解析 x0,y=3-3x- =3
2、+(-3x)+ 3+2 =3+4 ,当且仅当 x=- 时等号成立,故所求最小值为3+4 .,4.若圆(x-1)2+(y+2)2=1上总存在两点关于直线ax-by-2=0(a0,b0)对称,则 + 的最小值为 .,答案 +,解析 由题意可知,圆心(1,-2)在直线ax-by-2=0(a0,b0)上,所以a+2b-2=0(a 0,b0),即 +b=1(a0,b0),所以 + = + + +2 = + ,当且仅当 =,即a=2 -2,b=2- 时取等号,故 + 的最小值为 + .,5.若正数x,y满足 + =1,则x+y的最小值为 .,答案 2+2,解析 x+y=x+(y+2)-2=x+(y+2)
3、-2=2+ + 2+2 ,当且仅 当 = ,且 + =1,即x=y= +1时等号成立,故x+y的最小值为2+2 .,题型一 直接利用基本不等式求最值,例1 (1)(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC= 120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 . (2)(2018扬州高三考前调研)已知函数f(x)=x2+2 x-b+1(a,b为正实数)只有一 个零点,则 + 的最小值为 .,答案 (1)9 (2),解析 (1)以点B为原点,BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则D(1,0),C ,A , 由点A、D、C三点共线可得
4、= ,化简得ac=a+ c,则 + =1,则4a+c=(4a+c) =5+ + 5+2 =9, 当且仅当c=2a时取等号,故4a+c的最小值为9. (2)函数f(x)=x2+2 x-b+1(a,b为正实数)只有一个零点,则=4a-4(-b+1)=0,即a +b=1.令b+1=t,t1,则b=t-1,t1,a+b=a+t-1=1,a+t=2,故 + = + = + -,2= (a+t)-2= -2 -2= -2= .,【方法归纳】 (1)基本不等式是解决最值问题的重要工具,条件是“一正二 定三相等”,应用时要注意对条件的逐一验证,尤其是等号成立的条件.(2) “1”的代换是基本不等式应用的常用题
5、型,灵活应用“1”的代换凑出应用 基本不等式的条件是解题的关键.(3)分母是多项式,不便于利用基本不等式 时,可通过换分母,变为单项式,再利用基本不等式求解最值,同时要注意对条 件“一正二定三相等”的逐一检验.,1-1 已知正实数m,n满足m+n=3,则 + 的最小值为 .,答案 3,解析 令n+1=t,t1,则n=t-1,m+n=m+t-1=3,m+t=4,故 + =m+ + =m+ +t+ -2=2+ + =2+ (m+t) =2+ 2+ + 2 = 3,当且仅当m=t=2时取等号,故 + 的最小值为3.,1-2 已知正数a,b满足2a+b=1,则 + 的最大值为 .,答案,解析 令a+1
6、=m,b+2=n,m1,n2,则a=m-1,b=n-2, 2a+b=2(m-1)+n-2=2m+n-4=1,则2m+n=5,所以 + = (2m+n)= = ,所以 + = + =2- 2-= ,当且仅当n=2m= 时取等号,故 + 的最大值为 .,题型二 基本不等式与构造法、放缩法的综合,例2 (1)已知a1,b2,则 的最小值为 . (2)已知正数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S= + 的最小值是 .,答案 (1)6 (2)3+2,解析 (1)构造图形(如图),在直角三角形中,由勾股定理可得(a+b)2=( +)2+9,则 =( + )+ 6, 当且仅当 + =3时取等号,故 的最
7、小值为6.,(2)由题意可得x,y,z(0,1),x2+y2=1-z2=(1+z)(1-z)2xy,则 ,当且仅当x=y时取等号,则 S= + + = (1-z)+z=3+ + 3+2 =3+2,当且仅当 = ,1-z= z,z= -1时取等号,故当x=y= ,z= -1时, S取得最小值3+2 .,【方法归纳】 (1)当目标函数与基本不等式的应用在形式上相差较大时,可 根据目标函数的特征构造出相应的图形,再结合图形对目标函数化简、求解; (2)当目标函数较复杂时,可根据已知条件对目标函数化简,必要时可利用放 缩法.,2-1 (2018江苏扬州中学高三模拟)已知x,y均为非负实数,且x+y1,
8、则4x2+4y2 +(1-x-y)2的取值范围为 .,答案,解析 因为x,y0,所以 x2+y2(x+y)2.令t=x+y,则0t1.故4x2+4y2+ (1-x-y)24t2+(1-t)2=5t2-2t+14,当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号;另 一方面,4x2+4y2+(1-x-y)22t2+(1-t)2=3t2-2t+1 , 当x=y= 时取等号.所以4x2+4y2+(1-x-y)2 .,题型三 利用基本不等式解决实际问题,例3 (2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/ 次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存
9、储费用之和最小, 则x的值是 .,答案 30,解析 设一年的总运费与总存储费用之和为f(x)万元,一年购买 次,则一年 的总运费与总存储费用之和f(x)= 6+4x=4 4 =120,当且 仅当x=30时取等号,故一年的总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.,【方法归纳】 基本不等式是解决实际问题中最值问题的常用方法,解题步 骤如下:一是由实际问题建立目标函数,即将实际问题转化为数学问题;二是 利用基本不等式求解最值,注意对条件逐一检验,尤其是等号成立的条件,若 等号取不到,则应用函数在定义域上的单调性求解.,3-1 某城市有一直角梯形绿地ABCD,其中ABC=BAD=90,AD=DC=2 km,BC=1 km,现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF,将绿地分成 面积相等的两部分. (1)如图,若E为CD的中点,F在边界AB上,求灌溉水管EF的长度;(2)如图,若F在边界AD上,求灌溉水管EF的最短长度.,解析 (1)因为AD=DC=2BC=2,ABC=BAD=90, 所以AB= .取AB中点G,连接EG,如图, 则四边形BCEF的面积为 S梯形ABCD=S梯形BCEG+SEFG, 即 (1+2)= + GF , 解得GF= ,所以EF= = (km). 故灌溉水管EF的长度为 km.,
