1、- 1 -江苏省苏州市 2018-2019 学年高一第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上 ）1.已知集合 A1，2，5， B2，3，则 A B_【答案】 【解析】【分析】集合 A、 B 的公共元素是 2，进而可得到集合 A、 B 的交集。【详解】集合 A、 B 的公共元素是 2，则 A B2.【点睛】本题考查了集合的交集，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。2.函数 的定义域为_【答案】【解析】【分析】由对数的真数大于 0，列出不等式求解即可。【详解】由题意， ，解得 ，故
2、函数 的定义域为 .【点睛】本题考查了函数定义域的求法，考查了对数的性质，属于基础题。3.已知角 的终边经过点 P(1，2)，则 tan 的值是_【答案】-2【解析】【分析】由任意角的三角函数定义，可求出 tan 的值。【详解】因为角 的终边经过点 P(1，2)，所以 tan = =-2.【点睛】本题考查了任意角的三角函数定义，考查了学生对三角函数定义的掌握，属于基础题。4.已知向量 (3，5)， (4，1)，则向量 的坐标为_【答案】- 2 -【解析】【分析】由 即可得到答案。【详解】由题意， .【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及运算，考查了学生对平面向量知识的掌握，属于基础题。5.已知
3、 ，且 是第四象限角，则 的值是_【答案】【解析】【分析】由 是第四象限角，可得 ，进而可以求出 ，结合 ，可得到答案。【详解】因为 是第四象限角，所以 ，则 ，则 .【点睛】本题考查了三角函数求值，考查了三角函数诱导公式，属于基础题。6.下列函数中，定义域是 R 且在定义域上为减函数的是_ ； ； ； 【答案】【解析】【分析】对四个函数逐个分析，满足题意；是单调递增函数；定义域不是 R；不是递减函数。【详解】 ，故 的定义域是 R 且在定义域上为减函数； ，为定义域上的增函数，不满足题意； ，定义域为 ，不满足题意；，在定义域上不是单调函数，不满足题意。故答案为.【点睛】本题考查了函数的定义
4、域，考查了函数单调性的判断，涉及指数函数、对数函数、一次函数与分段函数，属于基础题。- 3 -7.已知函数 ，若 ，则 x 的值是_【答案】【解析】当 ，解得 （舍去） ，当 ，解得 或 （舍去） ，当 ，解得（舍去） ，综上故填 8.已知函数 的零点 (n， n1)， ，则 n 的值是_【答案】1【解析】【分析】分析可得函数 是 上的增函数， ， ，可知零点在(1，2)上，进而可得到答案。【详解】因为函数 和 都是 上的增函数，所以函数 是 上的增函数，由于 ， ，故函数 的零点 (1，2)，即 n=1.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了函数的单调性，属于基础题。9.计算：
5、_【答案】7【解析】【分析】由指数与对数的运算性质，化简即可得到答案。【详解】 ， ，故 3+4=7.【点睛】本题考查了指数与对数式子的运算性质，考查了学生的计算能力，属于基础题。10.把函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，则得到的图象的函数解析式为_- 4 -【答案】【解析】【分析】利用三角函数图象的伸缩、平移变换规律，即可得到答案。【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得到 .【点睛】由函数 ysin x 的图象通过变换得到 y Asin(x )的图象，有两种主
6、要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。11.某次帆船比赛 LOGO（如图 1）的设计方案如下：在 Rt ABO 中挖去以点 O 为圆心， OB 为半径的扇形 BOC（如图 2） ，使得扇形 BOC 的面积是 Rt ABO 面积的一半设 AOB (rad)，则 的值为_【答案】 【解析】【分析】设 ， ，进而表示出三角形 的面积和扇形 的面积，然后建立关系式可得到 的值。【详解】设 ， ，则三角形 的面积为 ，扇形 的面积为 ，则 ，故 ，因为 ，所以 .【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了扇形的面积公式，考查了学生分析问题、解决问题能力，属于中档题。- 5 -12.如下图，在长方
7、形 ABCD 中， M， N 分别为线段 BC， CD 的中点，若 ， R，则 的值为_【答案】【解析】【分析】设 ， ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立坐标系，用坐标表示 ，即可求出 的值，进而得到答案。【详解】设 ， ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示坐标系，则 ， ， ， ， ， ，则， ， ，即 ，则 即 ，解得 ， ，则 .【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量在平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题。13.如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB6cm， AD10cm，沿着过 C 点的直线将矩形右下角折
8、起，- 6 -使得右下角顶点 B 落在矩形的左边 AD 上设折痕所在的直线与 AB 交于 M 点，记翻折角 BCM 为 ，则 tan 的值是_【答案】【解析】【分析】设顶点 B 对折后交 AD 于 N，设 ，由题中关系可得 ，即可求出 ，进而由 可得到答案。【详解】设顶点 B 对折后交 AD 于 N，设 ，则 ，则 ，故 ，即 ，解得 ，则 .【点睛】本题考查了平面几何的翻折问题，考查了直角三角形在解决几何问题中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题。14.已知函数 ，设函数 ，若函数 在 R 上恰有两个不同的零点，则 k 的值为_【答案】【解析】【分析】由题意知 在 R 上恰有两个不同
9、的解，即函数 与 的图象有- 7 -两个不同交点，结合函数 的表达式画出 的图象，即可得到答案。【详解】由题意知 在 R 上恰有两个不同的解，即函数 与的图象有两个不同交点，当 时， ， ，则 ，当时，取得最小值为 ；当 时， ， ，则 ，当时，取得最大值为 .可画出函数 的图象，可知当 时，函数 与 的图象有两个不同交点。【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解。
10、二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）15.设全集 UR，已知集合 A1，2， B ，集合 C 为不等式组 的解集(1)写出集合 A 的所有子集；(2)求 和 【答案】 （1） ； （2）- 8 -【解析】【分析】（1）对集合 A1，2，写出它的子集即可；（2）先求出集合 C，由补集和并集的概念求出 和 即可。【详解】 （1）因为集合 ，所以它的子集 , , , ;（2）因为 , 所 ;由 ，解得 ，所以所以【点睛】本题考查了集合的子集，考查了集合的补集与并集的求法，考查了不等式的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题
11、。16.设向量 (cos x，1)， ( ，4sin x)（1）若 ，求 tanx 的值；（2）若( ) ，且 ，求向量 的模【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由 ，建立等式关系进而可以得到 tanx 的值；（2）由( ) ，建立等式关系可以得到 的值，结合 可以求出向量 ，进而得到答案。【详解】 （1）因为 ，所以因为 ，所以 ，即 .（2）因为 ,即所以 ，即 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，此时 ，所以 .【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，平面向量共线的坐标表示，向量的模，考查了三角函数的化简与求值，属于中档题。- 9 -17.已知函数 是定义在 R
12、上的偶函数，当 x0 时， （1）当 x0 时，求函数 的表达式；（2）记集合 M ，求集合 M【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）当 时， ，代入 x0 时 的解析式，利用偶函数的性质 ，即可得到答案；（2）分情况讨论，当 时， ；当 时，分别求解即可。【详解】 （1）因为当 时， ,所以 ，又因为函数 为偶函数，所以 ，所以 时，函数 的表达式为 .（2）当 时， ，若 ，则 ,显然不成立；当 时，若 ，则 ,即 ,平方后有 ，解得 ，适合题意.综上可知， .【点睛】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关
13、于 的方程(组)，从而得到 的解析式。18.某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼 AB 的高度已知测角仪器距离地面的高度为 h 米，现有两种测量方法：方法 I（如图 1）用测角仪器，对准教学楼的顶部 A，计算并记录仰角 (rad)；后退 a 米，重复中的操作，计算并记录仰角 (rad)方法 II（如图 2）用测角仪器，对准教学楼的顶部 A 底部 B，测出教学楼的视角- 10 - ACB (rad)，测试点与教学楼的水平距离 b 米请你回答下列问题：（1）用数据 ， ， a， h 表示出教学楼 AB 的高度；（2）按照方法 II，用数据 ， b， h 表示出教学楼 AB 的高度【答案】 （1
14、） ； （2） .【解析】【分析】（1）由 ， ，可得 ，进而可求出 的表达式；（2）过 作 ，垂足为 ，可表示出 ， ，结合与 ，可得到 的表达式，进而得到教学楼高度的表达式。【详解】 （1）由题意得： ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，所以教学楼 AB 的高度为 .(2)如下图，过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 ，因为 ，所以 .- 11 -所以 ，所以教学楼 的高度为 ，故教学楼 的高度为 .【点睛】利用直角三角形的性质是解决本题的关键，本题涉及多个直角三角形，利用公共边构造等量关系，考查了学生对所学知识的应用，属于中档题。19.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(3，4)， B(5
15、，12)（1）求 的值；（2）若 AOB 的平分线交线段 AB 于点 D，求点 D 的坐标；（3）在单位圆上是否存在点 C，使得 64？若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1）63； （2） ； （3）单位圆上存在点 或 ，满足题意.【解析】【分析】（1）分别表示出 与 ，即可求出 ；（2）设点 ，由 与 平行可得到，再由 ，得到 ，即可求出 的值，进而得到答案；（3）假设单位圆上存在点 满足条件，用向量的坐标表示出 ，结合，即可求出点 C 的坐标。【详解】 （1）因为 ，- 12 -所以 ；（2）设点 ,则 ，因为点 在线段 上，所以 ,即有 ，化简得 , 再设 ，
16、因为 ，同理 ，可知 ,化简得 ， 由解得 ， ，即点 的坐标为 .（3）假设单位圆上存在点 满足条件，则；当 时， ，即 ，又因为 ，所以 ，可知 或 .所以，当 为第二象限角时， ;当 为第四象限角时， .综上所述，单位圆上存在点 或 ,满足题意。【点睛】本题考查了向量的数量积，共线向量的性质及向量的坐标运算，考查了学生对向量知识的理解及运用，属于中档题。20.定义：若对定义域内任意 x，都有 （ a 为正常数） ，则称函数 为“ a 距”增函数（1）若 ， (0， )，试判断 是否为“1 距”增函数，并说明理由；- 13 -（2）若 ， R 是“ a 距”增函数，求 a 的取值范围；（3
17、）若 ， (1， )，其中 k R，且为“2 距”增函数，求 的最小值【答案】 （1）见解析； （2） ； （3） .【解析】【分析】（1）利用“1 距”增函数的定义证明 即可；（2）由“ a 距”增函数的定义得到 在 上恒成立，求出 a 的取值范围即可；（3）由 为“2 距”增函数可得到 在 恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到 的取值范围，再由，可讨论出 的最小值。【详解】 （1）任意 , ,因为 , , 所以 ，所以 ，即 是“1 距”增函数。（2） .因为 是“ 距”增函数，所以 恒成立，因为 ,所以 在 上恒成立，所以 ，解得 ，因为 ,所以 .（3）因为 ， ，且为“2 距”增函数，所以 时， 恒成立，即 时， 恒成立，所以 ，当 时， ，即 恒成立，所以 , 得 ;当 时， ，得 恒成立，- 14 -所以 ,得 ,综上所述，得 .又 ，因为 ,所以 ，当 时，若 ， 取最小值为 ；当 时，若 ， 取最小值.因为 在 R 上是单调递增函数，所以当 ， 的最小值为 ；当 时 的最小值为 ，即 .【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题。- 15 -
