1、- 1 -江西省吉安市 2019 届高三数学上学期五校联考试题 文（含解析）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设复数 满足 ，则 （ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由 可得 ，从而得 ，进而可得 .【详解】由 ，得 .所以 . .故选 B.【点睛】本题主要考查了复数的乘除运算，共轭复数的概念，属于基础题.2.已知集合 ，若全集为 R，则 A 的补集等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解分式不等式可得集合 A，再由补集的定义求解即可.【详解】集合 或 ，若全集为
2、 R，则 A 的补集等于 .故选 A.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解及补集的定义，属于基础题.3.已知直线 ， ，平面 ， ；命题 p:若 ,则 / ；命题 :若 , , ,则 ，下列是真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】D- 2 -【解析】【分析】由线面的平行关系先判断命题 p,q 的真假，进而可得选项.【详解】命题 p 为假，因为 可能在面 内；由线面平行的性质可知命题 为真.所以 为真，故选 D.【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，考查含有简单逻辑连接词命题真假性的判断，属于基础题.4.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【
3、答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的 与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为 ，高为 三棱锥的底面是两直角边分别为 的直角三角形，高为 则几何体的体积故本题答案选 5.已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦的二倍角公式可得 ，由诱导公式可得 ，从而可- 3 -得解.【详解】由 可得： .由诱导公式可得:.故选 D.6.已知数列 an， bn满足 ， an+1 an 2， , 则数列 的前 项的和为（ ）A. （4 91） B. （4 101） C. （4 91） D. （4 101）【答案】D【解析】【分析】由等差数列和等比数列的通项公式求得
4、an和 bn，从而得 ，进而利用等比数列求和公式求解即可.【详解】由 an+1 an 2，所以数列 an是等差数列，且公差是 2， bn是等比数列，且公比是 2又因为 1，所以 an +（ n1） d2 n1所以 b2n1 22n2 2 2n2 设 ，所以 2 2n2 ，所以 4，所以数列 n是等比数列，且公比为 4，首项为 1由等比数列的前 n 项和的公式得：其前 10 项的和为 （4 101） 故选： D【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于基础题.- 4 -7.若直线 始终平分圆 的周长，则 的取值范围是 ( )A. (0,1) B. (0，1) C. (，1)
5、D. (，1)【答案】C【解析】试题分析：直线 平分圆 ，圆心 在直线 上，即 ，可化为 ， ， ， 考点：1.直线与圆的位置关系；2.二次函数求最值8.已知点 F， A 分别为双曲线 C： 的左焦点、右顶点，点 B(0， b)满足，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出 FB AB，利用勾股定理求得 a 和 c 关系，整理成关于 e 的方程求得双曲线的离心率【详解】 0， FB AB| FB|2+|AB|2| FA|2，即 c2+b2+a2+b2（ a+c） 2，整理得 c2 a2 ac0，等式除以 a2得 e2 e10求得 e （舍负） e
6、故选： D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质解题过程中关键是利用了勾股定理找到了 a 和- 5 -c 的关系，属于基础题.9.已知 是边长为 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出 、 和 ，计算 的最小值即可【详解】以 BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 设 P（x，y） ，则 所以 所以当时， 取得最小值是 故选：B【点睛】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是中档题10.函数 y= sin2x 的图象可能是A. B. - 6 -C. D. 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性
7、，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.详解：令 ， 因为 ，所以 为奇函数，排除选项 A,B;因为 时， ，所以排除选项 C，选 D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复11.设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于 ， ，则 与 的面积之比 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别过 A， B 作准线 l 的垂线 AP
8、， BN，由| BF|4，可得点 B 的坐标，进而可得直线 AB 的方程，与抛物线联立可得点 A 坐标，利用 即可得解.【详解】抛物线的准线方程为 l： x2，分别过 A， B 作准线 l 的垂线 AP， BN，则| BN| BF|4，- 7 - B 点横坐标为 2，不妨设 B（2，4） ，则直线 AB 的方程为： y2 x8，联立方程组 ，得 x210 x+160，设 A 横坐标为 x0，则 x0+2 ，故而 x0 | AP| x0+2 ， 故选： D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，考查了学生的转化与划归的能力，属于中档题.12.已知定义在 e，+）上的函数 f（
9、 x）满足 f（ x）+ xlnxf（ x）0 且 f（2018）0，其中 f（ x）是函数 的导函数， e 是自然对数的底数，则不等式 f（ x）0 的解集为（ ）A. e，2018） B. 2018，+） C. （ e，+） D. e， e+1）【答案】A【解析】【分析】由已知条件构造辅助函数 g（ x） f（ x） lnx，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可 f（ x）0 的解集【详解】定义在 e，+）上的函数 f（ x）满足 f（ x）+ xlnxf（ x）0，设 g（ x） f（ x） lnx， g（ x） f（ x） lnx 0 在 e，+）恒成立，-
10、 8 - g（ x）在 e，+）单调递减， f（2018）0 g（2018） f（2018） ln20180，要求 f（ x）0， lnx0，只需 g（ x）0 即可. g（ x）0 g（2018） ， x2018， e x2018，故选： A【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，重点考查了构造新函数的解法，属于中档题.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13.已知函数 若 ，则实数 _【答案】【解析】分析：先求出内层 ，再求外层 f（2）即可.详解：ff（1）= ，ff（1）=f（2）=a2 2=4a= 故答案为： 点睛：(1)求
11、分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围14.已知 x,y 满足约束条件 ，若 的最大值为 2，则 m 的值为_【答案】5【解析】- 9 -【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解 m 即可【详解】 x， y 满足约束条件 的可行域如图：表示经过可行域内一点（ x， y）与点 Q（1，0）的直线的斜率，当取直线
12、 x1 与 x+y m0 的交点 A（1， m1）时， 取最大值 2，即 ，得 m5，故答案为 5.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求斜率型目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是画出目标函数对应定点的位置；接着连接定点和可行域内的点，判断出边界位置；然后两点求斜率的公式计算出边界位置连线的斜率；最后求出目标函数对应斜率的取值范围.属于基础题.15.对于正项数列 ，定义 为 的“光”值，现知某数列的“光”值为 ，则数列 的通项公式为_.【答案】【解析】由 Hn 可得- 10 -a12 a23 a3 nan ，a12 a23 a3( n1) an
13、1 得 nan ，所以 an .16.在 中，角 所对的边为 ，若 边上的高为 ，当 取得最大值时的 _【答案】【解析】【分析】先根据已知得到 ,再利用正余弦定理求得 即得最大值.【详解】设 边上的高为 ，即 ，由面积公式得， ，即 ，由 ，在 中由余弦定理 ，即，其中 ，当 时，最大值 ， ，.【点睛】(1)本题主要考查三角形的面积公式和正余弦定理，考查三角恒等变换和三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题关键是 .- 11 -三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建
14、立极坐标系.（1）求圆 的普通方程；（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 ： 与圆 的交点为 、 ，与直线的交点为 ,求线段 的长.【答案】 （1） ；（2）1.【解析】【分析】参数方程化为普通方程可得圆 的普通方程为 .圆 的极坐标方程得 ，联立极坐标方程可得 ， ，结合极坐标的几何意义可得线段 的长为 1.【详解】 圆 的参数方程为消去参数可得圆 的普通方程为 .化圆 的普通方程为极坐标方程得 ，设 ,则由 解得 ， ，设 ,则由 解得 ， ，.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的应用，极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.已知函数 ( )(1)求函
15、数 的最小正周期及单调递增区间； (2) 内角 的对边长分别为 ，若 且 求角 B 和角C.- 12 -【答案】 （）函数 的最小正周期为 ；递增区间为 ( Z )；（） .【解析】试题分析：（1）将函数中的两角差余弦先展开，再合并同类项，利用和角公式化简求出函数解析式，由三角函数性质即可求函数的单调递增区间；（2）将 代入函数解析式可得 ，可求 ，再由正弦定理求出 ，求得 或 ，再求 ，且 ，舍去不符合题意的解即可试题解析：（1）故函数 的递增区间为（2） ， 即 由正弦定理得： ， ， 或 当 时， ；当 时， （舍）所以 考点：1两角和与差公式；2三解函数的单调性；3正、余弦定理19.已
16、知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是首项为 2 的等比数列，且公比大于0， , ， .（）求 和 的通项公式；（）求数列 的前 n 项和 .【答案】 （I） ， .（II） .【解析】- 13 -试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列首项 和公差 及等比数列的公比 ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（I）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .由已知 ，得 ，而 ，所以 .又因为 ，解得 .所以， .由 ，可得 .由 ，可得 ，联立，解得 ， ，由此可得 .所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项
17、公式为 .（II）解：设数列 的前 项和为 ，由 ， ，有 ，故 ，上述两式相减，得得 .所以，数列 的前 项和为 .【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.20.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，- 14 -为 与 的交点， 为棱 上一点.（1）证明：平面 平面 ；（2）若 平面 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】
18、试题分析：（1）由已知得 由此能证明平面 平面（2）由已知得 ，取 中点 ，连结 ，由此利用 可求得三棱锥 的体积试题解析：（1） 平面 平面 ， 四边形 是菱形， 又 ， 平面 而 平面 ，平面 平面 ；（2）连接 ， 平面 ，平面 平面 ， 是 的中点， 是 的中点取 的中点 ，连接 ，四边形 是菱形， ， ，又 ， 平面 ，且 ，- 15 -故 .点睛：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的灵活应用21.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆 ，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆 M.(1)求椭圆 M 的方程；(2)
19、设直线 l 与椭圆 交于 两点，且与椭圆 仅有一个公共点，试判断 的面积是否为定值( 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2)6.【解析】分析：()由相似椭圆的定义可得，椭圆 的离心率 ，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，于是可得 ，从而可得椭圆 的方程；()设直线 .由 得， ，利用判别式为零可得 ，联立与 ，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得 .详解：()由条件知，椭圆 的离心率 ，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，椭圆 的方程为 . ()当直线 的斜率存在时，设直线 .- 16 -由 得， .令 得， .联立 与
20、 ，化简得 .设 A( )，B( )，则 ，而原点 O 到直线 的距离 .当直线 的斜率不存在时， 或 ，则 ，原点 O 到直线 的距离 ， .综上所述， 的面积为定值 6. 点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22.已知函数 （ ， ）.（1）如果曲线 在点 处的切线方程为 ，求 、 值；（2）若 ， ，关于 的不等式 的整数解有且只有一个，求 的取值范围.【答案】 （1） （2） .
21、【解析】分析：（1）由曲线 在 处的切线方程为 ，得 ，求出 的值即可；（2）构造函数，通过对构造函数求导，并分类讨论，即可求得 的取值范围详解：（1）函数 的定义域为 ，.- 17 -因为曲线 在点 处的切线方程为 ，所以 得 ，解得 .（2）当 时， ，关于 的不等式 的整数解有且只有一个.等价于关于 的不等式 的整数解有且只要一个，构造函数，所以 .当 时，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 在内单调递增.因为 ，所以在 上存在唯一的整数 使得 ，即.当 时，为满足题意，函数 在 内不存在整数使 ，即 在 上不存在整数使 .因为 ，所以 .当 时，函数 ，所以 在 内为单调递减函数，所以 ，即；当 时， ，不符合题意.综上所述， 的取值范围为 .点睛：本题考查了导数几何意义，以及导数在函数中的综合应用，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化和化归思想，以及数形结合思想的应用- 18 -
